岳 平，胡 飛

（西南通信研究所，四川 成都 610041）

0 引言

深空通信的特點(diǎn)是通信距離長(zhǎng)、信號(hào)衰減大以及地面信噪環(huán)境惡劣，這樣較難進(jìn)行信號(hào)處理。構(gòu)造逼近香農(nóng)極限的信道糾錯(cuò)編碼且能在深空環(huán)境中得到應(yīng)用是深空通信研究中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，糾錯(cuò)編碼能有效地提高系統(tǒng)的利用效率。一直以來(lái)，深空通信將級(jí)聯(lián)碼作為信道編碼技術(shù)，傳統(tǒng)方式是將卷積碼作為內(nèi)碼，RS碼作為外碼。由于深空通信的發(fā)展，傳統(tǒng)編碼技術(shù)已經(jīng)難以滿足需求，同時(shí)，碼率較低，碼長(zhǎng)較長(zhǎng)的碼字的設(shè)計(jì)得以實(shí)現(xiàn)，可以將其應(yīng)用到深空通信。

1977年，Paul D. Shaft首先研究了用于擴(kuò)頻通信的低碼率（碼率1/2到1/64）卷積碼。1990年，A. J. Viterbi提出了一類由Hadamard碼卷積級(jí)聯(lián)構(gòu)造的低碼率正交卷積碼（碼率低至 1/512）。基于Turbo碼的思想，1997年又提出了低碼率的串接Hadamard碼，其后Ping L等提出了低碼率的Turbo-Hadamard碼[1]，其碼率為7/370，誤碼率為510-時(shí)，可達(dá)到-1.2 dB，但存在誤碼平臺(tái)。

繼Gallager在1962年提出了低密度奇偶校驗(yàn)碼（LDPC）后，Tanner于1981年提出了廣義低密度奇偶校驗(yàn)碼（GLDPC）的概念[2-3]。最近Yue Guosen和Ping L等基于 LDPC碼的思想提出了 LDPC-Hadamard碼[4]，距-1.6 dB的距離更近，LDPC碼沒有誤碼平臺(tái)，LDPC- Hadamard碼也是沒有誤碼平臺(tái)的。

文獻(xiàn)[4]描述了 LDPC-Hadamard 碼的構(gòu)造原理，并提出了優(yōu)化方法。為了將其應(yīng)用到深空通信系統(tǒng)中，本文基于文獻(xiàn)[4]的設(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)出了一種低碼率的LDPC-Hadamard 碼。

本文首先給出了 LDPC-Hadamard碼的基本構(gòu)造模型并分析了譯碼過(guò)程；列出了LDPC-Hadamard碼基本模型的不足，接著改進(jìn)和構(gòu)造了低碼率的碼字并進(jìn)行仿真，分析了碼率和碼長(zhǎng)，研究了它們對(duì)碼字性能的影響；最后是全文總結(jié)。

1 LDPC-Hadamard碼

1.1 LDPC-Hadamard編碼結(jié)構(gòu)

構(gòu)造 LDPC[5]碼實(shí)際上就是對(duì)校驗(yàn)矩陣進(jìn)行設(shè)計(jì)。在校驗(yàn)矩陣H中，每行表示一個(gè)約束方程，每列表示一個(gè)符號(hào)變量，Tanner圖中分別用校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)和變量節(jié)點(diǎn)表示。如果校驗(yàn)矩陣中的任意一個(gè)元素= 1，則表示第i個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)與第j個(gè)變量節(jié)點(diǎn)相連，否則不相連。度為j的變量節(jié)點(diǎn)是一個(gè)( j ,1)的重復(fù)碼，度為j的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)是一個(gè)(j, j - 1 )的單奇偶校驗(yàn)碼。

將LDPC碼的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)由單奇偶校驗(yàn)碼約束換成其它分組碼約束，就構(gòu)成了GLDPC碼[6]，如果將單奇偶校驗(yàn)碼約束換成 Hadamard碼約束則構(gòu)成了LDPC-Hadamad碼。

1.2 LDPC-Hadamard譯碼方法

因子圖用來(lái)描述一個(gè)全局函數(shù)的乘積因子和變量之間的關(guān)系。一個(gè)因子圖包含有兩類節(jié)點(diǎn)，分別是函數(shù)節(jié)點(diǎn)jf和變量節(jié)點(diǎn)iυ。若iυ是jf的自變量，那兩點(diǎn)連一條線。SP算法使消息在因子圖上傳遞，來(lái)計(jì)算某個(gè)變量的邊緣函數(shù)。符號(hào)表示從節(jié)點(diǎn)υi傳給節(jié)點(diǎn)fj的消息，符號(hào)表示節(jié)點(diǎn)jf傳給節(jié)點(diǎn)iυ的消息。SP算法消息更新的規(guī)則為：

其中 n (q)表示因子圖與節(jié)點(diǎn)q相連的節(jié)點(diǎn)集合，υQj表示與第j個(gè)因子有關(guān)的變量集合。邊緣函數(shù)即為進(jìn)入每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)的消息之積。

Tanner圖是一種特殊的因子圖，用 SP算法對(duì)LDPC碼和LDPC-Hadamard碼進(jìn)行迭代譯碼。｛rk｝表示接收信號(hào)，表示第k個(gè)符號(hào)從AWGN信道得到的消息；表示與第k個(gè)變量節(jié)點(diǎn)相連的邊的集合，Um與第m個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的邊的集合；rm,k表示第m個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳給第k個(gè)變量節(jié)點(diǎn)的外部消息，表示第k個(gè)變量節(jié)點(diǎn)傳給第m個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的外部消息； qk表示比特的后驗(yàn)對(duì)數(shù)似然比，而表示判決后得到的碼字，其中的 LDPC碼字由表示，H表示 LDPC碼的校驗(yàn)矩陣；r表示Hadamard的階數(shù)，H-1表示Hadamard碼譯碼器。譯碼算法如下：

（1）初始化

（2）迭代

1）水平步驟：

2）譯碼：

3）垂直步驟：

1.3 LDPC-Hadamard存在問(wèn)題分析

GLDPC的碼率可以由公式得出：

所以：

其中，cR是校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的平均碼率。設(shè)0＜R＜1，如果有多余的碼作為重復(fù)碼字，當(dāng)cR小于1/2時(shí)，碼字中包含有不可忽略的度1節(jié)點(diǎn)。

前面提到的LDPC-Hadamard碼存在較多度為1的變量節(jié)點(diǎn)，且其數(shù)目與 Hadamard碼的階數(shù)r（ 3r≥ ）成正比。進(jìn)行迭代譯碼時(shí)，度為1的節(jié)點(diǎn)的外信息不會(huì)被更新，碼字性能會(huì)受到影響。

從文獻(xiàn)[4]可知，為了接近信道的最大容量，變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的 EXIT曲線必須相匹配。由于變量節(jié)點(diǎn)的EXIT曲線是凹形的，而Hadamard碼的EXIT曲線既不是凹形也不是凸形，因此，它們的EXIT圖不能被優(yōu)化而相互匹配。

2 LDPC-Hadamard碼的改進(jìn)和優(yōu)化

[4]，對(duì) LDPC-Hadamard碼設(shè)計(jì)一種新的編碼結(jié)構(gòu)來(lái)解決上述問(wèn)題。

如圖1所示：①通過(guò)PEG算法構(gòu)造一個(gè)信息位為K，碼長(zhǎng)為 NL，碼率R的規(guī)則 LDPC碼，行重為ρ，列重為λ；②將LDPC碼字中與校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的所有變量比特映射成為階數(shù) r =ρ-2的Hadamard碼并除去它的信息比特，得到 M = NL-K個(gè)Hadamard碼字，每個(gè)Hadamard碼字長(zhǎng)為2r-ρ；③將LPDC碼字和這些Hadamard碼字組合在一起得到碼長(zhǎng)為的LDPC-Hadamard碼，碼率。表1是各種碼率的編碼參數(shù)。

圖 1 LDPC-Hadamard碼的構(gòu)造

表1 LDPC碼及各種碼率的LDPC-Hadamard碼

3 仿真結(jié)果與分析

仿真分析了LDPC碼[7]和LDPC-Hadamard碼的誤碼性能，其中LDPC采用了文獻(xiàn)[5]提出的編碼方案，LDPC-Hadamard碼如表1所示，碼字長(zhǎng)度分別為1 200和11 600。仿真結(jié)果如圖2所示。

由圖2知，LDPC-Hadamard碼性能比LDPC碼改善了 0.8 dB以上。對(duì)于兩種不同的 LDPCHadamard碼，碼長(zhǎng)11600的LDPC-Hadamard碼的誤碼性能比碼長(zhǎng)1200的LDPC-Hadamard誤碼性能更好，二者差距為0.4 dB，但是后者碼字長(zhǎng)度短很多，便于工程實(shí)際應(yīng)用。

圖2 不同碼率的碼字性能

圖3給出了表1中碼率為1/12、不同碼字長(zhǎng)度的 LDPC-Hadamard碼的誤碼性能對(duì)比，這些LDPC-Hadamard編碼采用了相同的編碼方法?？梢钥闯觯篖DPC-Hadamard碼字長(zhǎng)度越長(zhǎng)，其性能越好，大約改善了0.025 dB以上。但是，碼字過(guò)長(zhǎng)將導(dǎo)致譯碼延時(shí)過(guò)大，不便于工程應(yīng)用。

圖3 碼長(zhǎng)對(duì)譯碼性能的影響

4 結(jié)語(yǔ)

GLDPC碼[8-9]基于傳統(tǒng)LDPC編碼技術(shù)，采用級(jí)聯(lián)編碼思想來(lái)構(gòu)造新型編碼，其誤碼性能較好。LDPC-Hadamard碼是一種特殊的GLDPC碼，它將LDPC碼和 Hadamard碼級(jí)聯(lián)起來(lái)，其性能優(yōu)于LDPC碼。仿真結(jié)果表明，LDPC-Hadamard碼在碼率為 1/58、碼字長(zhǎng)度為 11600時(shí)，誤碼率為 1 0-5的信噪比可達(dá)到-0.7 dB，而碼率為1/12、碼字長(zhǎng)度為1 200的LDPC-Hadamard碼在誤碼率為 1 0-5的信噪比可達(dá)到-0.2 dB。LDPC-Hadamard編解碼技術(shù)能夠在極低信噪比的深空通信等環(huán)境中得到廣泛應(yīng)用。

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