孫愛慧

（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000）

1 引言及引理

本文研究如下反應(yīng)擴(kuò)散方程

其中p≥1，0＜q＜1，λ＞0，β＞0，Ω奐R（NN＞2）是個(gè)邊界充分光滑的有界區(qū)域.

文[1]研究（1.1）-（1.3）解的存在性，熄滅現(xiàn)象是發(fā)展方程的一個(gè)重要特征，很多學(xué)者對解的熄滅性質(zhì)進(jìn)行研究；文[2]給出了問題（1.1）-（1.3）中q=1時(shí)，λ＞0，β＞0時(shí)解的熄滅條件及衰退估計(jì)，本文研究0＜q＜1且λ＞0，β＞0時(shí)解的熄滅條件，并給出衰退估計(jì).

引理1[3]設(shè)y（t）在[0，+∞）上是一個(gè)絕對連續(xù)的非負(fù)正數(shù)，且滿足

其中 α＞0且為常數(shù)，k∈（0，1），則有

引理2[4]（Gagliado-Nirenbery）設(shè) β≥0，N＞p≥1，β+1≤q且1≤則對于|u|βu∈w1，p（Ω），我們有

其中θ=（β+1）（r-1-q-1）（N-1-p-1+（β+1）r-1）-1，C~C（N，p，r）.

2 主要結(jié)論及證明

定理1假定0≤u0（x）∈L∝（Ω）∩w1,20（Ω）,λ1是方程-Δφ（x）=λφ（x），φ|鄣Ω=0的第一特征值，且 φ1是相應(yīng)于λ1的特征函數(shù)，||φ1||=1，（范數(shù)||·||p表示范數(shù)||·||Lp（Ω））.

如果 λ＜λ1，則問題（1.1）-（1.3）的廣義解在有限時(shí)間 T1內(nèi)熄滅且有

其中 k1，C，T1分別由（2.5）、（2.7）確定.

證明 在（1.1）兩端同乘u并在Ω上積分，注意到（1.2），則有

（1）首先考慮p=1情形，即

在（2.3）兩端同時(shí)取k1次方并利用Young-不等式有

取

顯然 k1∈（0，1），則上式化為

由（2.2），（2.4）以及 λ1為第一特征值有

由引理1則有

其中

（2）其次考慮p＞1情形.由于函數(shù) k2φ（x）（其中為問題（1.1）-（1.3）的解，則由（2.1）有

注意到λ1為第一特征值，則有重復(fù)q=1情形，可得出定理1結(jié)論.

[1]Ladyzenska O.A.,solonikav,V.A.Linear and Quasilinear Equations ofParabolic Type[M].Providence RI:Annear Math Soc,1968.

[2]S.LChen.The extinction behavior ofthe solutions for a class ofreaction-diffusion equations[J].Applied Mathematics and Mechanics,2001,22(11):1352-1356.

[3]W.J.Liu.Extinction properties ofsolutions for a class fast diffusive p-laplacian equation[J].Nonlinear Anal.TMAT,2011(4):4520-4532.

[4]C.S.chen,R.Y.Wang.L∞estimate ofsolution for the evolution.m-lapacian equation with initial value inLq(Ω)[J].Nonlinear Anal.,2002,48(4):607-616.