張永康，許 莉

（無錫市政設(shè)計研究院有限公司，江蘇 無錫 214072）

0 引言

鋼筋混凝土構(gòu)件在扭矩作用下處于三維應(yīng)力狀態(tài)，且平截面假定不能適用，準確的理論計算難度大。對于非線性混凝土材料和開裂后的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，有限元分析也尚不完備。至今工程中受扭構(gòu)件的設(shè)計主要采用基于試驗結(jié)果的經(jīng)驗公式，或者根據(jù)簡化力學模型推導的近似計算式。本文就主要介紹鋼筋混凝土構(gòu)件抗扭強度計算的簡化力學模型中的一種——板-桁模型。

1 鋼筋混凝土構(gòu)件抗扭強度計算的簡化力學模型介紹

鋼筋混凝土構(gòu)件抗扭強度計算的簡化力學模型主要有兩種：斜彎破壞模型和桁架模型。

斜彎破壞模型是1959年蘇聯(lián)學者根據(jù)頂面受壓的彎扭型和側(cè)面受壓的扭剪型二種破壞模式提出來的。它假定構(gòu)件破壞時，形成了由三面斜裂縫和與構(gòu)件軸線成一定角度的受壓區(qū)構(gòu)成的一個空間拗曲破壞面；其斜裂縫傾角不變（多假定為45°）；受壓區(qū)混凝土的壓應(yīng)力為均勻分布。計算時不考慮混凝土的抗拉作用，與破壞面相交的縱筋和箍筋都屈服，受壓混凝土達到抗壓極限強度，按極限平衡條件，推導出構(gòu)件抗扭強度計算公式。對彎剪扭作用下的斜彎破壞模型，計算時分別令彎矩和剪力為零，即得純扭構(gòu)件的強度公式。后來，Gesund等對此理論先后進行了部分修正和完善。

1929年，德國Rausch首先提出采用“空間桁架理論”，計算構(gòu)件的抗扭強度。以后1968年P(guān).Lampert等提出了變角桁架模型，即認為混凝土斜壓桿傾角不一定為45°，它主要與縱筋和箍筋的相對用量有關(guān)。1973年，M.P.Collins應(yīng)用虛功原理及最小勢能條件，推出了其自稱為“斜壓場理論”的計算模型。實質(zhì)上，“斜壓場理論”仍屬于桁架模型的范疇。上世紀八十年代以來，桁架模型理論的重大進展，是它與混凝土軟化本構(gòu)關(guān)系的結(jié)合。在變角桁架模型的基礎(chǔ)上綜合了平衡方程，變形協(xié)調(diào)方程和混凝土的軟化本構(gòu)關(guān)系，就形成了混凝土軟化變角空間桁架模型——簡稱軟化桁架模型。近期國內(nèi)外的研究多以此為基礎(chǔ)。康谷貽、云衛(wèi)亭等，應(yīng)用軟化桁架模型理論，對扭矩較大的彎扭，剪扭，偏壓扭及彎剪扭構(gòu)件進行了許多研究。

許多研究工作者通過近年來的研究認為，采用桁架模型可能是解決剪切和扭轉(zhuǎn)問題的更有希望的途徑。這是因為：第一，它對構(gòu)件開裂后的抗剪、抗扭機理給出了清晰的概念；第二，它不僅可以作為強度而且可以作為變形的統(tǒng)一計算模型，并有可能使抗剪、抗扭強度計算方法得到統(tǒng)一；第三，它有可能更合理地解決軸向力、彎矩、剪力和扭矩共同作用下復合受力構(gòu)件的設(shè)計計算方法；第四，能夠較合理地考慮預應(yīng)力的作用和影響，使得非預應(yīng)力和預應(yīng)力構(gòu)件的設(shè)計計算方法也能獲得統(tǒng)一并協(xié)調(diào)；第五，它可以適用于任意形狀的截面，甚至于開口薄壁截面的鋼筋混凝土構(gòu)件。

2 板-桁模型提出背景

軟化桁架模型理論不僅可以較準確地預測構(gòu)件的極限承載力，而且可以預測構(gòu)件開裂后加載全過程的變形。研究表明，軟化桁架模型有可能成為復合受力下鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)計算理論的基礎(chǔ)。近幾年來國內(nèi)外的許多研究者，應(yīng)用軟化桁架模型理論，對以扭為主的壓拉扭，彎扭，剪扭以及彎剪扭復合受力構(gòu)件，進行了強度和變形的分析研究，取得了較大成績。特別是對純扭和扭彎比及扭剪比較大的矩形截面鋼筋混凝土構(gòu)件，軟化桁架理論已能圓滿解決。但對于彎矩或剪力為主要成份，扭彎比及扭剪比較小的構(gòu)件，由于構(gòu)件的某一個側(cè)面上，桁架未能形成，因而，無法采用四面開裂的軟化桁架模型進行全過程分析。從而需要建立一種新的計算模型，適用于這種受力狀態(tài)。

天津大學近年的研究也說明，軟化變角桁架模型主要適用于扭矩為主要成分，扭彎比及扭剪比較大屬于扭型破壞的彎-扭構(gòu)件及剪-扭構(gòu)件。對于彎矩或剪力為主要成分，扭彎比及扭剪比較小屬于彎型和剪型破壞的彎-扭構(gòu)件和剪-扭構(gòu)件，由于構(gòu)件的一個側(cè)面桁架未能形成，因此，采用四面開裂的軟化變角桁架模型進行全過程分析時，存在問題較多。雖然，有的作者也曾提出四面開裂的軟化變角桁架模型，亦可能適用于彎矩或剪力為主要成分的彎、剪、扭復合受力構(gòu)件。但根據(jù)天津大學對彎-扭和剪-扭構(gòu)件的研究，其前景估計不一定是很樂觀的。從而，以軟化變角桁架模型為基礎(chǔ)，進一步改進或完善計算模型，使之適用于這種受力狀態(tài)，是一項十分重要的研究課題。而板-桁模型就是針對扭彎比及扭剪比較小的構(gòu)件，在軟化變角模型的基礎(chǔ)上的進一步改進和完善。

3 板-桁模型介紹

蘭州鐵道學院的劉鳳奎在軟化桁架模型理論的基礎(chǔ)上，根據(jù)小扭彎比構(gòu)件的受力特點，提出了彎、剪、扭共同作用下的板-桁模型理論。在彎、剪、扭共同作用下，可以將構(gòu)件的壓彎區(qū)比擬為不開裂的板，將腹板、底板比擬為因開裂而形成的桁架。這樣，整個構(gòu)件就可以比擬為：由兩個側(cè)面桁架和一個底部桁架，加一個頂部受壓板組成的空間復合受力結(jié)構(gòu)，簡稱為板-桁結(jié)構(gòu)。板-桁理論即以此為計算模型，見圖1（不失一般性的選取T形截面進行分析）。

圖1 板-桁理論計算模型

3.1 板-桁模型理論的基本假設(shè)

板-桁理論是以扭彎比(φ=T/M)相對較小的情況下，T形截面的底部及腹板兩側(cè)均已開裂，而翼緣板尚未開裂為前提的，并以下列基本假定為基礎(chǔ)。

（1）開裂后，混凝上只能承受壓力，不承受拉力，并且忽略裂縫兩側(cè)混凝土骨料的相互咬合作用；

（2）鋼筋只承受軸向力，忽略其暗銷作用；

（3）混凝上的主壓應(yīng)力方向與主壓應(yīng)變方向重合，且與斜裂縫平行；

（4）所有的變形均為小變形，不考慮二次力的影響，按變形前的初始尺寸建立各類方程；

（5）僅考慮構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn)；

（6）對開裂部分的混凝土考慮其軟化;對不開裂的頂板混凝土，按復雜狀態(tài)下的強度關(guān)系確定其破壞條件，鋼筋則視作為理想的彈塑性材料；

（7）忽略頂板內(nèi)箍筋的作用。

3.2 板-桁模型理論的解法

采用板-桁理論分析彎、剪、扭共同作用下的鋼筋混凝土構(gòu)件，反映其受力與變形的基本未知參數(shù)共有41個，而板-桁模型理論共有38個獨立方程。其中:平衡方程10個，變形方程1個，協(xié)調(diào)方程9個，靜力等效關(guān)系10個，力素關(guān)系1個，鋼筋的本構(gòu)關(guān)系7個。理論上在給定扭彎比ψ和剪跨比 η 的情況下，分別以 εc、εcl、εcb、εcr為自變量，聯(lián)立求解上述38個方程，即可得到相應(yīng)的M,Q和T的解析解。對其求極值即可得到分別對應(yīng)于:εc、εcl、εcb、εc的四組解。顯然只有 M,Q和 T最小的那組解，才是構(gòu)件的極限強度Mu、Qu和Tu，其對應(yīng)的破壞條件，也才反映了構(gòu)件真實的破壞形態(tài)。用于計算的板-桁模型斷面圖見圖2。

3.2.1 平衡方程

圖2 板-桁模型斷面圖

由圖1可建立6個整體平衡方程。

由ΣX=0，得：2τc·tl=σcb·tb·sin（2ab）

由ΣY=0，得：

由ΣZ=0，得：

另外，對頂板混凝土的合力作用點（距梁頂/2）取矩，則由ΣMX=0，ΣMY=0和ΣMZ=0可以得到三個平衡方程。

圖3 節(jié)點受力平衡圖

由圖3可以建立4個節(jié)點平衡方程：其中在Z方向上，左、右兩節(jié)點可以分別建立一個平衡方程；而在X、Y兩個方向上，則由于左、右下角角部節(jié)點的受力相關(guān)性，每個方向上都只能建立一個方程。

3.2.2 變形方程

我們應(yīng)用變形體的虛功原理，即可得到板-桁結(jié)構(gòu)單位長扭轉(zhuǎn)角θ。由于頂部混凝土不開裂，為便于計算，在此忽略其剪切變形所吸收的微小虛功。由虛功原理即可得到θ表達式。

3.2.3 變形協(xié)調(diào)條件

（1）板-桁結(jié)構(gòu)側(cè)面和底部斜壓桿的曲率關(guān)系

彎、剪、扭共同作用下的構(gòu)件變形時，比擬的板-桁結(jié)構(gòu)，不僅發(fā)生由于彎矩和剪力引起的彎曲變形，同時由于扭矩的存在，還伴隨有扭轉(zhuǎn)翹曲變形，使板-桁表面成為雙曲拋物面?；谛∽冃蔚募俣ǎ梢苑謩e計算構(gòu)件由扭矩和彎剪引起的變形，然后取其代數(shù)和作為彎、剪、扭共同作用下構(gòu)件的變形。此處共可建立三個變形協(xié)調(diào)方程。

（2）頂板內(nèi)的平均曲率

（3）板-桁結(jié)構(gòu)兩側(cè)及底部箱壁內(nèi)混凝土斜壓桿的傾角a（ii=b,1,r）

為了得到斜壓桿的傾角ai，利用扭轉(zhuǎn)變形能最小的勢能駐值條件，即扭轉(zhuǎn)變形θ最小值條件=0。對變形方程應(yīng)用上述條件，并整理可得三個變形協(xié)調(diào)方程。

（4）頂板內(nèi)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系

忽略頂板的扭轉(zhuǎn)翹曲變形，則可把整個頂板看成一個整體，同一水平面處的應(yīng)變相同。又由于混凝土不開裂，故鋼筋與其周圍的混凝土具有相同的應(yīng)變。所以此處可得兩個變形協(xié)調(diào)方程。

3.2.4 靜力等效關(guān)系

靜力等效關(guān)系見圖4，在模型中，對混凝土斜壓桿的折算厚度及折算平均壓應(yīng)力、箱壁范圍內(nèi)頂板的折算厚度及折算平均壓應(yīng)力、頂板懸臂部分混凝土壓應(yīng)力的合力及其位置進行靜力等效，就可以得到十個靜力等效方程。

圖4 靜力等效關(guān)系

3.2.5 材料的本構(gòu)關(guān)系

由左右兩側(cè)受拉縱筋、頂板上下層受壓縱筋以及三個開裂面的箍筋的本構(gòu)關(guān)系，可以得到七個關(guān)于鋼筋本構(gòu)關(guān)系的方程。頂板混凝土處于正應(yīng)力和剪應(yīng)力共同作用下的復雜應(yīng)力狀態(tài)。其應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系屬于未開裂混凝土的本構(gòu)關(guān)系，暫且采用Hognestad建議的形式。對于構(gòu)件兩側(cè)及底面的混凝土的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，屬于開裂混凝土的本構(gòu)關(guān)系，應(yīng)考慮其軟化效應(yīng)。本文引用F.vecchio和M.P.collins的研究成果。但是要注意的是混凝土的這四個本構(gòu)關(guān)系是不獨立的，其己包容在靜力等效關(guān)系中。

3.2.6 構(gòu)件的破壞準則

（1）混凝土斜壓桿的破壞條件

構(gòu)件的兩側(cè)面和底面形成的混凝土斜壓桿，承受偏心壓力，其破壞條件為：

（2）頂板混凝土的破壞條件

頂板混凝土按變形和強度雙重準則確定其破壞條件，即只要下述兩條中有一條滿足，即認為彎壓區(qū)已形成塑性鉸，構(gòu)件將失去承載能力。

（3）頂板開裂的條件

根據(jù)頂板單元體的應(yīng)力莫爾圓可知，頂板內(nèi)混凝土的主應(yīng)力為:

根據(jù)Kupfer破壞準則，頂板混凝土開裂條件為:

式中：ft為混凝土的軸心抗拉強度。

上式實際上界定了板-桁模型的適用范圍。當扭矩很大，使得上式成立時，頂板即開裂，該模型不再適用。另一方面，它也是用板-桁模型理論，預測頂板開裂荷載的判定條件。

3.3 板-桁模型的特點

板-桁模型理論，為開裂后的鋼筋混凝土構(gòu)件的受力分析，提供了一個十分有價值的方法和途徑。板-桁理論的計算值與試驗值的對比分析表明，兩者符合良好，偏差均在20﹪以內(nèi)，這說明板-桁模型理論是合理且可行的。

板-桁理論，除沿用了“軟化桁架理論”與“斜彎破壞理論”的部分基本假定外，不包含任何經(jīng)驗成份。依平衡方程，虛功原理，變形協(xié)調(diào)條件，靜力等效關(guān)系及材料的本構(gòu)關(guān)系，建立起來的基本方程，概念十分清晰、明確。計算公式中的各個參數(shù)，都有確定的物理意義。此外，該理論對構(gòu)件的工作狀態(tài)描述比較準確，主要表現(xiàn)在:

（1）在板-桁模型理論中，對開裂的底面及側(cè)面，考慮了混凝土的軟化，而對不開裂的頂板，考慮了壓剪復合受力的影響。

（2）板-桁模型理論，拋棄了平截面假定，從而可以區(qū)分彎拉區(qū)左右兩側(cè)縱筋的不同工作狀態(tài)，同時也將翼緣內(nèi)不同部位的縱筋作了區(qū)分。

（3）該理論將T形截面作為一個整體分析，從而避免了彎矩的分配問題。

（4）該理論還考慮了核芯混凝土的抗剪作用，使理論模型更符合實際情況。

板-桁模型理論，可以適用于矩形截面，T形截面乃至箱形截面的復合受力構(gòu)件，并為統(tǒng)一復合受力下鋼筋混凝土的計算模式創(chuàng)造了條件;同時，這一理論還能很好地解釋混凝土的抗剪，抗扭以及抗彎的工作機理。

4 結(jié)論

本文對鋼筋混凝土構(gòu)件抗扭計算簡化模型的種類、內(nèi)容和發(fā)展歷程做了介紹，并針對小彎扭比和小剪扭比構(gòu)件破壞時，三面開裂一面不開裂的情況，詳細地介紹了板-桁模型計算理論。板-桁模型計算理論是對軟化變角桁架模型的補充與完善，它以空間桁架模型為基礎(chǔ)，在考慮變角、混凝土軟化、變形協(xié)調(diào)和構(gòu)件一面未開裂等因素的基礎(chǔ)上，用38個方程和41個變量來描述小彎扭比和小剪扭比構(gòu)件的破壞全過程。板-桁模型計算理論為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)復合受力下的工作性能提供了清晰的概念，同時它可以邏輯地考慮軸向力以及預應(yīng)力的影響。因此，板-桁模型計算理論是十分有用并應(yīng)該受到重視的。

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