陳勝垚 席 峰 劉 中

(南京理工大學(xué)電子工程系 南京 210094)

1 引言

壓縮感知(CS)理論是由Donoho[1]和Candes等人[2]從信號稀疏分解和逼近理論發(fā)展而來的一種新的信號低速率獲取理論，其核心思想是對信號同時(shí)進(jìn)行壓縮處理和采樣。當(dāng)信號是稀疏信號時(shí)，信號壓縮測量通過隨機(jī)線性投影，將高維信號映射到低維信號；當(dāng)隨機(jī)線性投影滿足約束等距性(RIP)條件[3]時(shí)，該稀疏信號可以精確重構(gòu)。

在初期的CS理論研究中，假定稀疏信號是固定時(shí)間長度的；然而在很多實(shí)際應(yīng)用中，稀疏信號通常是時(shí)變的，因此稀疏時(shí)變信號的CS理論研究受到了人們的關(guān)注。稀疏時(shí)變信號是指信號展開系數(shù)時(shí)變的稀疏信號[4]，系數(shù)時(shí)變有稀疏位置和幅度兩種時(shí)變的可能。對稀疏位置已知而僅幅度時(shí)變時(shí)的信號，稀疏時(shí)變信號退化為一般時(shí)變信號，可采用最小均方(LMS)算法或遞歸最小二乘(RLS)算法估計(jì)時(shí)變的幅度，因此稀疏時(shí)變信號的CS主要針對稀疏位置時(shí)變信號的研究。在過去的幾年里，針對稀疏時(shí)變的CS，人們提出了塊處理和序處理兩類算法[4-7]。塊處理算法假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)信號的稀疏結(jié)構(gòu)和稀疏系數(shù)的幅度保持不變，而在不同的時(shí)間段信號的稀疏結(jié)構(gòu)和稀疏系數(shù)的幅度發(fā)生變化，因此，可通過對稀疏信號分塊處理的方式實(shí)現(xiàn)“塊時(shí)變信號”的CS[4]。序處理算法主要研究的是稀疏系數(shù)快變的信號，即每個(gè)新的測量時(shí)刻稀疏信號的稀疏結(jié)構(gòu)和稀疏系數(shù)的幅度都可能發(fā)生改變的信號。人們基于不同應(yīng)用背景和目標(biāo)函數(shù)提出了不同的CS方法，詳見文獻(xiàn)[5-7]。

上述稀疏時(shí)變信號在線估計(jì)方法均建立在線性測量的基礎(chǔ)上，本文將研究基于混沌非線性測量的稀疏時(shí)變信號在線估計(jì)問題。混沌壓縮感知(Chaotic Compressed Sensing, ChaCS)是文獻(xiàn)[8]首次提出的一種基于混沌系統(tǒng)的非線性壓縮感知理論。其基本思想是將稀疏信號激勵(lì)混沌系統(tǒng)，根據(jù)混沌信號的類隨機(jī)行為，產(chǎn)生具有隨機(jī)性的輸出，混沌系統(tǒng)輸出的降采樣即為壓縮測量。ChaCS測量系統(tǒng)與基于隨機(jī)濾波的線性測量系統(tǒng)[9]類似，其中混沌系統(tǒng)起到了隨機(jī)濾波的作用；與隨機(jī)濾波線性測量系統(tǒng)相比，ChaCS測量系統(tǒng)不僅實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡單，同時(shí)混沌系統(tǒng)對稀疏信號的混沌化過程增加了壓縮測量數(shù)據(jù)的保密性。在信號重構(gòu)方面，ChaCS根據(jù)混沌系統(tǒng)脈沖同步理論實(shí)現(xiàn)信號重構(gòu)。構(gòu)造一個(gè)激勵(lì)信號是可編程信號源的響應(yīng)混沌系統(tǒng)，其中可編程信號源由控制算法決定，當(dāng)響應(yīng)混沌系統(tǒng)同驅(qū)動(dòng)混沌系統(tǒng)同步時(shí)，可編程信號源的輸出即為重構(gòu)的稀疏信號。在信號異地重構(gòu)時(shí)，如第2節(jié)所述，不需要從測量系統(tǒng)傳輸大量測量系統(tǒng)數(shù)據(jù)至ChaCS重構(gòu)系統(tǒng)。

本文將ChaCS理論擴(kuò)展到稀疏時(shí)變信號情況下，根據(jù)現(xiàn)有的ChaCS重構(gòu)系統(tǒng)，以離散時(shí)間稀疏時(shí)變信號為例，建立基于RLS準(zhǔn)則的稀疏約束目標(biāo)函數(shù)，通過求解不同時(shí)刻的稀疏約束目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)對稀疏時(shí)變信號的在線估計(jì)。為了驗(yàn)證本文方法的正確性，本文以Henon系統(tǒng)為例仿真分析頻域稀疏時(shí)變信號的估計(jì)性能，仿真結(jié)果表明了該方法的有效性。

2 混沌壓縮感知

在圖1(a)所示的ChaCS測量系統(tǒng)中，假設(shè)驅(qū)動(dòng)混沌系統(tǒng)是一個(gè)P維離散混沌系統(tǒng)：

其中x∈RP,F(xn,t) ∈RP分別是系統(tǒng)式(1)的狀態(tài)向量及非線性矢量函數(shù)。在實(shí)現(xiàn)稀疏信號測量時(shí)，將稀疏信號sn激勵(lì)系統(tǒng)式(1)。不失一般性，假定sn加載在第1個(gè)狀態(tài)變量上，則P維離散自治混沌系統(tǒng)變?yōu)镻維離散非自治混沌系統(tǒng)。

圖1 混沌壓縮感知實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

其中l(wèi)為采樣間隔。我們將降采樣序列zm稱為信號sn的壓縮測量，而l稱為降采樣率。當(dāng)sn為長度為N的有限長度信號時(shí)，降采樣序列的長度為M=N/l。

為了重構(gòu)稀疏信號sn，我們可構(gòu)造如圖1(b)所示的同步系統(tǒng)，其中響應(yīng)混沌系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)式(2)一致。

與式(3)類似，我們以l為采樣間隔對進(jìn)行降采樣可得到降采樣序列為

控制算法的設(shè)計(jì)是 ChaCS重構(gòu)系統(tǒng)的核心問題之一。由系統(tǒng)式(5)可知，可表示為如下形式：

當(dāng)稀疏信號sn，可采用稀疏正則化NLS的代價(jià)函數(shù)提高估計(jì)性能。

3 基于混沌壓縮感知的稀疏時(shí)變信號在線估計(jì)

3.1 在線估計(jì)原理

在實(shí)際應(yīng)用中很多信號是時(shí)變的，而式(9)中的正則化的NLS準(zhǔn)則僅適用于估計(jì)固定激勵(lì)信號的系數(shù)，當(dāng)激勵(lì)信號的系數(shù)時(shí)變時(shí)，式(9)不能實(shí)時(shí)估計(jì)時(shí)變系數(shù)a。同文獻(xiàn)[6,7]思想一致，我們可以構(gòu)造l1范數(shù)正則下的稀疏信號的非線性遞歸最小二乘(NRLS)估計(jì)為

其中mM＞ 0 表示正則化參數(shù)，bM,m表示遺忘因子，式(10)被稱為稀疏NRLS(Sparse NRLS, SpaNRLS)估計(jì)。通過選擇不同的遺忘因子，NRLS對NLS準(zhǔn)則下的代價(jià)函數(shù)進(jìn)行了不同的加窗處理，從而能夠?qū)崟r(shí)估計(jì)時(shí)變系數(shù)。

遺忘因子選擇通常有無窮長矩形窗、無窮長指數(shù)衰減窗和有限長矩形窗3種形式[7]。對無窮長矩形窗，每個(gè)觀測數(shù)據(jù)具有相同的加權(quán)系數(shù)，這時(shí)式(10)的計(jì)算退化到文獻(xiàn)[8]中采用的估計(jì)方法。對無窮長指數(shù)衰減窗，隨著觀測數(shù)據(jù)的增加，式(10)的計(jì)算復(fù)雜度增加，實(shí)現(xiàn)起來困難。有限長矩形窗可保持式(10)的計(jì)算復(fù)雜度，實(shí)現(xiàn)相對簡單。為此，本文主要研究基于有限長矩形窗加權(quán)的稀疏時(shí)變信號的在線估計(jì)。

3.2 重構(gòu)算法

在有限長矩形窗加權(quán)情況下，式(10)轉(zhuǎn)化為

其中L是有限長矩形窗長度。在式(10)和式(11)中，觀測函數(shù)是的非線性函數(shù)，M+1時(shí)刻的目標(biāo)函數(shù)不能由M時(shí)刻的目標(biāo)函數(shù)遞歸表示，目前還沒有有效的算法能夠遞歸求解，每一時(shí)刻的目標(biāo)函數(shù)要獨(dú)立求解。但是，我們可以用“熱啟動(dòng)”思想[11]來求解，即以為初始搜索點(diǎn)，該方法可以提高算法的收斂速度。壓縮測量每向前滑動(dòng)一個(gè)采樣脈沖會(huì)得到一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，以M=L時(shí)刻式(11)的解為初始解，迭代求解不同時(shí)刻的稀疏系數(shù)估計(jì)。

本文借鑒文獻(xiàn)[12]中迭代加權(quán)最小二乘算法利用加權(quán)l(xiāng)2范數(shù)逼近l1范數(shù)的思想，提出一種迭代加權(quán)非線性最小二乘算法(Iterative Reweight Nonlinear Least-Squares, IRNLS)，從而使式(11)中的l1正則NLS問題轉(zhuǎn)化為一系列NLS問題。

在給定的觀測時(shí)刻M, IRNLS算法的具體流程

有限長矩形窗長度L的選擇會(huì)影響式(11)的求解性能，當(dāng)L較小時(shí)，求解目標(biāo)函數(shù)更容易到達(dá)局部最優(yōu)解，而選擇較大的L則會(huì)導(dǎo)致式(11)的計(jì)算復(fù)雜度增加，因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)我們傾向于在能夠估計(jì)出系數(shù)的前提下盡可能選擇較小的L。另外，有限長矩形窗可以每次向前滑動(dòng)多個(gè)觀測點(diǎn)，當(dāng)矩形窗每次向前滑動(dòng)d個(gè)觀測點(diǎn)時(shí)(1＜d≤L)，式(11)轉(zhuǎn)化為如下形式：

如果稀疏信號的系數(shù)慢時(shí)變，可以選擇較大的d以減少式(13)中問題求解的次數(shù)，從而降低計(jì)算量。

4 仿真分析

本文以激勵(lì)信號是頻域稀疏時(shí)變信號的 Henon系統(tǒng)為例仿真研究 SpaNRLS算法估計(jì)稀疏時(shí)變信號的性能。下面對有限長矩形窗時(shí) SpaNRLS算法性能進(jìn)行仿真分析。外加激勵(lì)Henon混沌系統(tǒng)如下所述：

實(shí)驗(yàn)2研究不同的時(shí)間窗滑動(dòng)距離d對SpaNRLS算法估計(jì)時(shí)變系數(shù)性能的影響。試驗(yàn)中有限長矩形窗長度為L=64，每次向前滑動(dòng)的距離分別取d= 1 ,4,8,16個(gè)觀測點(diǎn)。時(shí)變系數(shù)的相對估計(jì)誤差如圖3所示，選擇不同的d, SpaNRLS算法均可以正確地估計(jì)出時(shí)變系數(shù)。當(dāng)d較小時(shí)，SpaNRLS算法可以更快速地跟蹤時(shí)變系數(shù)的變化，但此時(shí)求解式(13)的次數(shù)也相應(yīng)增加，從而需要更大的計(jì)算量。而當(dāng)d較大時(shí)，SpaNRLS算法跟蹤時(shí)變系數(shù)的速度變慢，不過此時(shí)求解式(13)的次數(shù)減小了，使得計(jì)算量也相應(yīng)減少。通過d的適當(dāng)選擇可折中考慮實(shí)現(xiàn)計(jì)算量和跟蹤時(shí)變系數(shù)的性能。

圖2 頻域稀疏時(shí)變信號的估計(jì)性能

圖3 不同時(shí)間窗滑動(dòng)距離時(shí)稀疏時(shí)變系數(shù)的估計(jì)性能

圖4 不同矩形窗長度時(shí)稀疏時(shí)變系數(shù)的估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)3研究不同的矩形窗長度L對SpaNRLS算法估計(jì)時(shí)變系數(shù)性能的影響。試驗(yàn)中選取d=4，窗長分別為L= 3 2,48,64,80。時(shí)變系數(shù)估計(jì)的相對誤差如圖4所示，為了便于比較，不同窗長情況下均選擇M=80為式(13)的初始求解時(shí)刻。由圖可知，當(dāng)時(shí)間窗長度L較小時(shí)(L=32), SpaNRLS算法不能正確估計(jì)出時(shí)變系數(shù)，因?yàn)長較小時(shí)式(12)可能存在更多的局部最優(yōu)解，從而更容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的系數(shù)估計(jì)。當(dāng)L較大時(shí)，正確估計(jì)出時(shí)變系數(shù)所需的時(shí)間增加了，這是因?yàn)闀r(shí)間窗跨越系數(shù)跳變時(shí)刻所持續(xù)的時(shí)間增加了。同時(shí)由于L的增加導(dǎo)致式(13)中NLS問題的維數(shù)增加，目標(biāo)函數(shù)對參數(shù)變化更加敏感，在時(shí)間窗跨越系數(shù)跳變時(shí)刻所持續(xù)的時(shí)間內(nèi)相對估計(jì)誤差也相應(yīng)增大，但最終能夠正確估計(jì)出時(shí)變系數(shù)。因此適當(dāng)選取較小的窗長L可以提高跟蹤時(shí)變系數(shù)的速度，同時(shí)較小的L還可以減小式(13)中NLS問題的維數(shù)，從而降低問題求解的計(jì)算復(fù)雜度。

5 結(jié)論

ChaCS是一種基于混沌系統(tǒng)的非線性壓縮感知方式，本文將這種壓縮感知推廣到稀疏時(shí)變信號情形。針對ChaCS結(jié)構(gòu)，本文構(gòu)造了基于RLS準(zhǔn)則的SpaNRLS估計(jì)算法，使得ChaCS能夠在線估計(jì)稀疏時(shí)變信號。SpaNRLS算法首先形成一個(gè) RLS準(zhǔn)則下的稀疏約束目標(biāo)函數(shù)，然后利用IRNLS算法求解該目標(biāo)函數(shù)，通過選擇適當(dāng)?shù)倪z忘因子，求解該目標(biāo)函數(shù)可以正確估計(jì)出稀疏時(shí)變信號的系數(shù)。離散時(shí)間信號仿真實(shí)驗(yàn)表明本文思想和方法是正確的和可行的。本文闡述的稀疏時(shí)變信號的ChaCS思想不僅適用于離散時(shí)間信號也適用于連續(xù)信號。

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