魏彬，李建華，鄧四二

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003；2.洛陽(yáng)軸研科技股份有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039)

作為轉(zhuǎn)子的重要支承部件，滾動(dòng)軸承的動(dòng)態(tài)特性直接影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。國(guó)、內(nèi)外學(xué)者在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究方面做了大量研究工作。文獻(xiàn)[1-2]研究了滾動(dòng)軸承支承的平衡轉(zhuǎn)子和不平衡轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為，并給出了軸承徑向游隙對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[3-4]從軸承的游隙、波紋度及不平衡力等因素對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究，指出軸承的變剛度頻率特性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性有著顯著的影響，當(dāng)軸承變剛度頻率與轉(zhuǎn)子固有頻率相等或外圈波紋度階數(shù)與滾動(dòng)體數(shù)目相等時(shí)都會(huì)引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振。文獻(xiàn)[5]分析了轉(zhuǎn)速和軸承游隙對(duì)不平衡彈性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[6]基于ADAMS研究了變載荷作用下計(jì)入軸承游隙時(shí)彈性轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，結(jié)果表明：轉(zhuǎn)子的彈性和軸承游隙對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性影響很大。上述研究均是基于將支承軸承簡(jiǎn)化為彈簧和阻尼的滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)研究，沒有考慮滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)特性和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的耦合問(wèn)題。鑒于此，文中在滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)[7]和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)[8]基礎(chǔ)上，建立滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)微分方程，采用Newmark-β積分法和Newton- Raphson迭代法對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行求解，就軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)和工況參數(shù)與軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性關(guān)系進(jìn)行理論分析。

1 動(dòng)力學(xué)分析模型

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡(jiǎn)圖如圖1所示。支承軸承B1，B2為角接觸球軸承，外圈固定不動(dòng)，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，內(nèi)圈與轉(zhuǎn)子緊配合。軸承承受的預(yù)緊力為Fa；轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承受徑向載荷Fr作用，其作用點(diǎn)在轉(zhuǎn)子質(zhì)心位置。系統(tǒng)坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)位于轉(zhuǎn)子質(zhì)心，x向?yàn)檩S向，y向?yàn)榇怪狈较颍瑉向?yàn)樗椒较颉?/p>

圖1 軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

1.1 軸承動(dòng)力學(xué)模型

角接觸球軸承在使用時(shí)為了提高其支承剛度，一般對(duì)其進(jìn)行軸向預(yù)緊。角接觸球軸承在軸向預(yù)緊力Fa作用下，鋼球與溝道間的接觸角變化示意圖如圖2所示。預(yù)緊力與接觸角的關(guān)系為

(1)

式中：α0為軸承原始接觸角；α為預(yù)緊后的軸承接觸角；Kn為載荷-變形常數(shù)；Z為鋼球個(gè)數(shù)；BDw為內(nèi)、外溝曲率中心的原始距離。

圖2 預(yù)緊力作用下軸承接觸角變化示意圖

預(yù)緊后鋼球和軸承內(nèi)、外圈間的接觸變形與接觸角之間的關(guān)系為

δ=BDw(cosα0/cosα-1) ，

(2)

聯(lián)立 (1)和(2)式即可求得在預(yù)緊力作用下軸承的接觸角。

角接觸球軸承所受載荷為通過(guò)轉(zhuǎn)子作用于內(nèi)圈上的外力，即軸承對(duì)轉(zhuǎn)子支承力{Fx,Fy,Fz,My,Mz}的反力以及軸向預(yù)緊力。圖3為角接觸球軸承在所受載荷作用下鋼球和套圈間的接觸角、變形與位移幾何關(guān)系圖。設(shè)軸承內(nèi)圈位移為{Δx,Δy,Δz,θy,θz}。圖3中x向表示軸承軸向方向；r向表示軸承徑向方向；Ob為位移后鋼球中心；O1為外溝道溝曲率中心；O20為位移前內(nèi)溝道溝曲率中心；O2為位移后內(nèi)溝道溝曲率中心；Dw為鋼球直徑；φj為第j個(gè)鋼球的方位角；R1(2)為溝道曲率中心到軸承軸線的徑向距離；f1(2)為溝道溝曲率半徑系數(shù)；α1(2)j為鋼球與溝道的工作接觸角，下標(biāo)1表示外溝道，下標(biāo)2表示內(nèi)溝道。

圖3 接觸角、變形和位移幾何圖

由圖3幾何關(guān)系可得

Axj=[(f1+f2-1)Dw]sinα+[Δx+R2(θy·

sinφj+θzcosφj)]=[(f1-0.5)Dw+δ1j]sinα1j+[(f2-0.5)Dw+δ2j]sinα2j，

(3)

Arj=[(f1+f2-1)Dw]cosα+(Δycosφj+Δzsinφj)=[(f1-0.5)Dw+δ1j]cosα1j+

[(f2-0.5)Dw+δ2j]cosα2j。

(4)

由(3)和 (4) 式可得鋼球與內(nèi)、外圈的接觸變形量和工作接觸角為

(5)

α1j=arctan(x1/r1)j，

(6)

(7)

α2j=arctan[(Ax-x1)/(Ar-r1)]j。

(8)

1.1.1 鋼球動(dòng)力學(xué)微分方程

第j個(gè)鋼球的受力情況如圖4所示。具體求解公式見文獻(xiàn)[9]。根據(jù)Newton運(yùn)動(dòng)定律及Euler運(yùn)動(dòng)方程，第j個(gè)鋼球的動(dòng)力學(xué)微分方程組如下

圖4 鋼球受力圖

，(9)

1.1.2 內(nèi)圈動(dòng)力學(xué)微分方程

軸承內(nèi)圈的動(dòng)力學(xué)微分方程組為

,(10)

1.1.3 保持架動(dòng)力學(xué)微分方程

圖5為保持架的受力圖。保持架的動(dòng)力學(xué)微分方程組為

圖5 保持架受力圖

(11)

1.2 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)微分方程

假設(shè)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不隨時(shí)間變化，根據(jù)Newton運(yùn)動(dòng)定律及Euler運(yùn)動(dòng)方程，轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)微分方程組為

(12)

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；Fr為作用于y方向的徑向力；Δx，Δy，Δz為轉(zhuǎn)子質(zhì)心位移；Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z為軸承對(duì)轉(zhuǎn)子的支承力；下標(biāo)1，2分別代表軸承B1，B2；Ix,Iy,Iz為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θy，θz為轉(zhuǎn)子角位移；My，Mz為軸承對(duì)轉(zhuǎn)子的支承力矩。

1.3 系統(tǒng)中存在的振動(dòng)頻率

系統(tǒng)中包括兩個(gè)不同的振動(dòng)頻率，一個(gè)是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，可表示為

(11)

另一個(gè)是支承軸承的變剛度頻率[10]，這是由于鋼球依次通過(guò)承載區(qū)，軸承徑向剛度不相等產(chǎn)生的，可表示為

(12)

2 動(dòng)力學(xué)特性分析

以某動(dòng)量輪軸承組件中的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例進(jìn)行計(jì)算。由于軸承內(nèi)圈與轉(zhuǎn)子緊配合，假設(shè)內(nèi)圈位移和轉(zhuǎn)子位移一致，以轉(zhuǎn)子的振動(dòng)位移作為初始條件，采用Newmark-β積分法和Newton-Raphson迭代法對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行求解。轉(zhuǎn)子直徑為10 mm，L1=L2=11.5 mm。軸承主要參數(shù)為:外徑26 mm，內(nèi)徑10 mm，寬度8 mm，初始接觸角15°，鋼球直徑4 mm。

2.1 軸承參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

在支承軸承預(yù)緊力80 N，轉(zhuǎn)子徑向載荷200 N，轉(zhuǎn)速4 000 r/min的工況下，分析軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

2.1.1 內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)的影響

圖6、圖7分別為不同內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)。從圖中可以看出：轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)由一個(gè)主峰和若干個(gè)次峰組成，說(shuō)明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。其頻率響應(yīng)僅有轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率及其倍頻與亞頻，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率對(duì)應(yīng)的幅值最大，說(shuō)明轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率在系統(tǒng)的振動(dòng)中占主導(dǎo)地位。內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)的變化對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性的影響很小。

圖6 不同內(nèi)溝曲率系數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)

圖7 不同外溝曲率系數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)

2.1.2 鋼球個(gè)數(shù)的影響

圖8所示為支承軸承不同鋼球個(gè)數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)。由圖8可以看出：鋼球個(gè)數(shù)較少時(shí)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)中不僅存在轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率及其倍頻與亞頻，還存在支承軸承的變剛度頻率及其倍頻，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和軸承的變剛度頻率同時(shí)起主導(dǎo)作用。隨著鋼球個(gè)數(shù)的增加，雖然軸承的變剛度頻率增大，但在轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)中軸承的變剛度頻率及其倍頻逐漸消失，且變剛度頻率及其倍頻對(duì)應(yīng)的幅值減小，說(shuō)明系統(tǒng)的非線性特性減弱。但增加鋼球數(shù)，就要相應(yīng)增加保持架的兜孔個(gè)數(shù)，這會(huì)使保持架梁變薄，導(dǎo)致保持架早期失效。故須在保證保持架剛度的前提下，選取較多的鋼球數(shù)，以減弱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性。

圖8 不同鋼球個(gè)數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)

2.2 工況參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

2.2.1 預(yù)緊力

圖9為不同預(yù)緊力時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的振動(dòng)頻率響應(yīng)。可以看出：軸承的軸向預(yù)緊力對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有重要影響，預(yù)緊力較小時(shí)，系統(tǒng)中存在的頻率成分較多，有轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率及其倍頻和亞頻、支承軸承的變剛度頻率及其倍頻，系統(tǒng)的非線性較強(qiáng)。隨著預(yù)緊力的增大，軸承的變剛度頻率及其倍頻消失，其所對(duì)應(yīng)的幅值減小，系統(tǒng)的非線性特性減弱。應(yīng)當(dāng)注意的是，軸承預(yù)緊力不可過(guò)大，否則將使軸承摩擦加劇，溫度升高，影響軸承的使用壽命。因此，在實(shí)際使用過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)情況，對(duì)軸承施加合適的預(yù)緊力。

2.2.2 徑向力的影響

圖10是改變徑向載荷時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的振動(dòng)頻率響應(yīng)。徑向載荷較小時(shí)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的振動(dòng)頻率響應(yīng)中僅存在轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率及其倍頻和亞頻，且其倍頻和亞頻對(duì)應(yīng)的幅值較小。當(dāng)徑向載荷增大時(shí)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的振動(dòng)頻率響應(yīng)中出現(xiàn)軸承的變剛度頻率及其倍頻，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)頻率倍頻和亞頻、軸承變剛度頻率及其倍頻所對(duì)應(yīng)的幅值也隨之增大，加劇了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)。

2.2.3 轉(zhuǎn)速的影響

在300 N徑向力作用下，不同轉(zhuǎn)速時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)如圖11所示。在低速時(shí)，系統(tǒng)中的振動(dòng)頻率成分不僅包括轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率及其亞頻和倍頻，還有軸承的變剛度頻率；隨著轉(zhuǎn)速的升高，軸承的變剛度頻率消失，系統(tǒng)的非線性特性減弱；轉(zhuǎn)速繼續(xù)升高，軸承的變剛度頻率又重新出現(xiàn)。因此，存在一個(gè)最佳轉(zhuǎn)速區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)，既可減弱系統(tǒng)的非線性特性，又能降低轉(zhuǎn)子的振動(dòng)位移。

圖9 不同預(yù)緊力時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)

圖10 不同徑向力時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)

圖11 不同轉(zhuǎn)速時(shí)轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動(dòng)頻率響應(yīng)

3 結(jié)論

(1)系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率始終存在，支承軸承的變剛度頻率隨著軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)和系統(tǒng)工況參數(shù)的不同而出現(xiàn)或消失。

(2)軸承內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)的變化不改變系統(tǒng)中已存在的振動(dòng)頻率成分。

(3)系統(tǒng)的非線性特性隨支承軸承鋼球個(gè)數(shù)、軸向預(yù)緊力的增加而減弱，隨徑向載荷的增大而增強(qiáng)。

(4)存在一個(gè)最佳轉(zhuǎn)速區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)的非線性特性較弱。