耿立輝 ，田立國(guó) ，段海龍 ，路光達(dá)

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市信息傳感與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222）

變量帶誤差（EIV）系統(tǒng)是一種同時(shí)考慮輸入輸出噪聲的模型結(jié)構(gòu)，是對(duì)只考慮輸出噪聲的傳統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)的推廣。該系統(tǒng)的應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，可應(yīng)用到生物醫(yī)學(xué)、化學(xué)、化學(xué)工程、土壤科學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理、機(jī)械工程、金融、生態(tài)學(xué)、地球科學(xué)、圖像系統(tǒng)以及時(shí)間序列分析等領(lǐng)域[1]。根據(jù)EIV系統(tǒng)輸入輸出擾動(dòng)噪聲的不同描述形式，不同研究人員提出了具有各自特點(diǎn)的辨識(shí)方法。一般來(lái)說(shuō)，這些辨識(shí)方法可分成2類：一類是精確模型的辨識(shí)[2-10]；另一類是模型集合的辨識(shí)[11-18]。精確模型的辨識(shí)方法辨識(shí)得到的系統(tǒng)模型和噪聲模型具有唯一性，因此需要對(duì)噪聲統(tǒng)計(jì)特性和模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行多種假設(shè)以保證可辨識(shí)性。模型集合的辨識(shí)方法辨識(shí)得到的是模型集合，集合中的任何模型都不能由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證偽。

在現(xiàn)代過(guò)程工業(yè)中，大多數(shù)系統(tǒng)是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，因此要求辨識(shí)方法能辨識(shí)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。據(jù)研究，大多數(shù)現(xiàn)有EIV系統(tǒng)的辨識(shí)方法只辨識(shí)離散時(shí)間系統(tǒng)，能辨識(shí)連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)的辨識(shí)方法比較少[8-10]。為了滿足過(guò)程工業(yè)系統(tǒng)的辨識(shí)需求，本文將在離散時(shí)間系統(tǒng)辨識(shí)方法研究的基礎(chǔ)上，探索能進(jìn)行連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)辨識(shí)的L2最優(yōu)辨識(shí)方法。為了應(yīng)用已有頻域L2最優(yōu)辨識(shí)方法[15-18]，首先需要將時(shí)域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成頻域數(shù)據(jù)，然后再利用雙線性變換將辨識(shí)得到的離散時(shí)間L2最優(yōu)模型變換為相應(yīng)連續(xù)時(shí)間模型。

本文采用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)符號(hào)[19-20]：R1×n代表n維實(shí)數(shù)行向量集合；C代表復(fù)數(shù)集合；L2、H∞、L2（D）、H2（D）和H∞（D）均代表Hardy空間上定義的特定函數(shù)子空間。

1 連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)

連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

過(guò)程工業(yè)中的EIV系統(tǒng)大多是連續(xù)時(shí)間的，如圖1所示的SISO連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)。根據(jù)圖1中的信號(hào)關(guān)系，可得到如下方程：

式中：P0（s）∈H∞為SISO連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)；u0和y0分別為P0（s）輸入和輸出信號(hào)；um和ym分別受到輸入噪聲nu0和輸出噪聲ny0的污染。假設(shè)這些信號(hào)均為L(zhǎng)2空間中的信號(hào)。為了應(yīng)用頻域L2最優(yōu)辨識(shí)方法估計(jì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)P0（s）的名義模型P（s），需要以一定采樣周期T獲取um和ym的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，然后再利用快速傅里葉變換（FFT）將時(shí)域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)頻域數(shù)據(jù)。

2 L2最優(yōu)辨識(shí)方法的應(yīng)用

2.1 L2最優(yōu)模型

L2最優(yōu)辨識(shí)方法是一種針對(duì)離散時(shí)間EIV系統(tǒng)的頻域辨識(shí)方法。假設(shè)圖1中的相應(yīng)信號(hào)和系統(tǒng)的λ變換具有圖2所示結(jié)構(gòu)[15-16，18]。

圖2 離散時(shí)間EIV系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖2 中，P0（λ）∈H∞（D）為SISO離散時(shí)間系統(tǒng)。根據(jù)圖2中的信號(hào)流動(dòng)關(guān)系，有如下關(guān)系式成立：

式中：ym、um、ny0和nu0均為L(zhǎng)（2D）空間中的信號(hào)。L2最優(yōu)辨識(shí)方法直接在L（2D）空間下對(duì)離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行如下正交分解

式中：G（λ）=[N（λ），D（λ）]∈H∞（D）為P（λ）的正規(guī)右圖符號(hào)（NRGS）[15-16，18]，其中N（λ）和D（λ）分別為P（λ）的分子因子和分母因子；G⊥（λ）∈H∞（D）為噪聲模型，表征為G（λ）的補(bǔ)內(nèi)因子（CIF）[15，16，18]。因此，L2最優(yōu)模型是由系統(tǒng)模型G（λ）和噪聲模型G⊥（λ）構(gòu)成的模型對(duì)。

2.2 模型優(yōu)化準(zhǔn)則

為了辨識(shí)得到P（s），需要先利用采集到的頻域?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)出其離散時(shí)間模型P（λ）。為此，首先采用L2最優(yōu)辨識(shí)方法優(yōu)化P（λ）的任意一因子模型H（λ）=[N（Hλ），D（Hλ）]T∈H∞（D），即有P（λ）=N（Hλ）DH-（1λ）。L2最優(yōu)辨識(shí)方法利用具有較少保守性的v-gap度量[20]作為優(yōu)化準(zhǔn)則估計(jì)系統(tǒng)模型參數(shù)。為此，采用如下形式的最小化準(zhǔn)則優(yōu)化因子模型[15]

式中：Gmk是由角頻率ωk（k=1，…，N）處的輸入輸出頻域數(shù)據(jù)根據(jù)下式構(gòu)造而成

Hk（xn，xd）是ωk處H（λ）的參數(shù)模型，具體形式如下：

式中：xn∈R1×n和xd∈R1×n分別為NH（λ）和DH（λ）的參數(shù)（D）（l=0，1，…，n-1）是根據(jù)待辨識(shí)EIV系統(tǒng)的先驗(yàn)主導(dǎo)極點(diǎn)生成的廣義正交基函數(shù)[21]。

2.3 參數(shù)尋優(yōu)算法

針對(duì)最小化準(zhǔn)則式（8）的參數(shù)尋優(yōu)而言，有2種優(yōu)化算法可以應(yīng)用：一種是序貫線性矩陣不等式（SLMI）算法[13-15]；另一種是序貫二次規(guī)劃（SQP）算法[16]。SLMI算法具有很好的參數(shù)收斂性，但其計(jì)算量較大；SQP算法具有較小的計(jì)算量，但由于是一種非線性優(yōu)化算法，因而可能出現(xiàn)局部最優(yōu)解。因此，最好的辦法是將這2種優(yōu)化方法進(jìn)行有機(jī)地組合，即在初始迭代中應(yīng)用SLMI算法確定具有全局收斂性的一組參數(shù)初值，然后再切換成SQP算法進(jìn)行后續(xù)迭代，直至參數(shù)收斂。記此時(shí)的模型為（λ）。

3 連續(xù)時(shí)間L2最優(yōu)辨識(shí)模型及辨識(shí)步驟

為了從直接測(cè)量得到的輸入輸出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)的L2最優(yōu)模型，所提出的辨識(shí)方法可總結(jié)為如下辨識(shí)步驟[15-17]。

步驟1 對(duì)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為N的時(shí)域采樣數(shù)據(jù)um（k）和分別進(jìn)行傅里葉變換，獲得相應(yīng)頻域?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)。

步驟3 根據(jù)系統(tǒng)的先驗(yàn)主導(dǎo)極點(diǎn)生成一組廣義正交基V（λ），并利用式（10）構(gòu)造參數(shù)化因子模型的頻率響應(yīng)Hk（xn，xd）。

4 仿真驗(yàn)證

本節(jié)將利用一數(shù)值仿真例驗(yàn)證所提出的連續(xù)時(shí)間L2最優(yōu)辨識(shí)方法的有效性。為了得到EIV系統(tǒng)辨識(shí)的仿真數(shù)據(jù)，采用MATLAB/Simulink實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的搭建，如圖3所示。

根據(jù)圖中待辨識(shí)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)P0的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間Ts=0.498 7 s和最高工作頻率fmax=100 Hz，設(shè)計(jì)如下最大長(zhǎng)度PRBS為[22]：

式中：Δt為移位脈沖周期；Np為循環(huán)周期。以此PRBS作為P0的持續(xù)激勵(lì)輸入u0，其響應(yīng)輸出為y0。輸入測(cè)量噪聲nu0和輸出測(cè)量噪聲ny0分別是方差為0.001的零均值高斯白噪聲。以采樣周期T=0.002 5 s對(duì)um和ym進(jìn)行采樣，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=512，并分別存為數(shù)據(jù)文件用于L2最優(yōu)模型的辨識(shí)。參數(shù)化模型H（λ）中參數(shù)維數(shù)n取2，V0（λ）、V1（λ）分別取為1和λ。

根據(jù)圖4～6中相應(yīng)模型的Nyquist曲線擬合程度可知，辨識(shí)得到的模型具有令人滿意的辨識(shí)精度。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)過(guò)程工業(yè)中的EIV系統(tǒng)的辨識(shí)問(wèn)題，提出了進(jìn)行連續(xù)時(shí)間L2最優(yōu)模型辨識(shí)的辨識(shí)方法，從而改善了現(xiàn)有連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)辨識(shí)方法稀缺的現(xiàn)狀。L2最優(yōu)辨識(shí)模型由NRGS描述的系統(tǒng)模型和CIF描述的噪聲模型組成。該模型為模型預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)。通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提出的L2最優(yōu)辨識(shí)方法的有效性和實(shí)效性。

［1］S?DERSTR?M T.Errors－in－variables methods in system identification［J］.Automatica，2007，43（6）：939－958.

［2］S?DERSTR?M T.A generalized instrumental variable estimation method for errors－in－variables identification problems［J］.Automatica，2011，47：1656－1666.

［3］AGüERO J C，GOODWIN G C.Identifiability of errors in variablesdynamicsystems［J］.Automatica，2008，44（2）：371－382.

［4］CHOU C T，VERHAEGEN M.Subspace algorithms for the identification of multivariable dynamic errors－in －variables models［J］.Automatica，1997，33（10）：1857－1869.

［5］VIBERG M，WAHLBERG B，OTTERSTEN B.Analysis of state space system identification methods based on instrumental variables and subspace fitting［J］.Automatica，1997，33（9）：1603－1616.

［6］SONG Q J，CHEN H F.Identification of errors－in－variables systems with ARMA observation noises［J］.Systems and Control Letters，2008，57：420－424.

［7］ZHENG W X.A bias correction method for identification of linear dynamic errors－in－variables models［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47（7）：1142－1147.

［8］THIL S，GARNIE H，GILSON M.Third－order cumulants based methods for continuous－time errors－in－variables model identification［J］.Automatica，2008，44（3）：647－658.

［9］MAHATA K，GARNIER H.Identification of continuous－time errors－in－variables models［J］.Automatica，2006，42（9）：1477－1490.

［10］MAHATA K.An improved bias－compensation approach for errors－in－variablesmodelidentification［J］.Automatica，2007，43（8）：1339－1354.

［11］GREEN M，ANDERSON B D O.Identification of multivariable errors in variables models with dynamics［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1986，31（5）：467－471.

［12］ROORDA B，HEIJ C.Global total least squares modelling of multivariable time series［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1995，40（1）：50－63.

［13］GENG L H，XIAO D Y，ZHANG T，et al.Worst－case identification of errors－in－variables models in closed loop［J］.IEEE TransactionsonAutomaticControl，2011，56（4）：762－771.

［14］GENG L H，XIAO D Y，ZHANG T，et al.Robust control oriented identification of errors in variables models based on normalised coprime factors［J］.International Journal of Systems Science，2012，43（9）：1741-1752.

［15］GENG L H，XIAO D Y，ZHANG T，et al.L2-optimal identification of errors-in-variables models based on normalized coprime factors［J］.IET Control Theory and Applications，2011，5（11）：1235-1242.

［16］GENG L H，GENG L Y，LU S L，et al.L2-optimal identification of MIMO errors-in-variables models from the v-gap geometrical interpretation［J］.International Journal of Control，2012，85（7）：898-905.

［17］GENG L H，XIAO D Y，ZHANG T，et al.Attitude-control model identification of on-orbit satellites actuated by reaction wheels［J］.Acta Astronautica，2010，66（5/6）：714-721.

［18］GENG L H，XIAO D Y，ZHANG T，et al.L-two-optimal identification of errors-in-variables models：A frequency do mainapproach［J］.JournalofControlTheoryandApplications，2011，9（4）：553-558.

［19］ZHOU K，DOYLE J C，GLOVER K.Robust and Optimal Control［M］.Upper Saddle River，NJ：Prentice-Hall，1996.

［20］DATE P，VINNICOMBE G.Algorithms for worst case identification in H∞and in the v-gap metric［J］.Automatica，2004，40（6）：995-1002.

［21］HEUBERGER P S C，VAN DEN HOF P M J，BOSGRA O H.A generalized orthonomal basis for linear dynamical systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1995，40（3）：451-465.

［22］方崇智，蕭德云.過(guò)程辨識(shí)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1988.