徐越月， 林大鈞

（華東理工大學(xué)，上海 200237）

與多面正投影相比，正軸測(cè)投影具有立體感強(qiáng)、直觀性好、形象逼真等優(yōu)點(diǎn)；與透視圖相比，正軸測(cè)投影作圖相對(duì)容易，度量也較方便；從影像反求角度看，由正軸測(cè)投影圖反求物體三維模型也比由照片反求來(lái)得容易[1]。

正軸測(cè)投影立體感效果取決于平行光束與物體表面所形成的角度大小，其優(yōu)化指標(biāo)可根據(jù)所表達(dá)的對(duì)象在正軸測(cè)投影中顯示的面的個(gè)數(shù)以及面積的大小和面積變化率等加以衡量。用面的個(gè)數(shù)標(biāo)識(shí)正軸測(cè)投影表現(xiàn)物體的信息量，用面積的大小標(biāo)識(shí)正軸測(cè)投影表現(xiàn)物體的信息量的豐腴程度，用面積的變化率則標(biāo)識(shí)正軸測(cè)投影表現(xiàn)物體的變形程度。

1 可見(jiàn)面數(shù)的計(jì)算方法

當(dāng)物體進(jìn)行投影時(shí)，立體的每個(gè)平面的外法線N矢量與投影方向S之間有一夾角。當(dāng)夾角大于或等于 9 0°時(shí)，表示平面背向投影方向或平行于投影方向，該平面不可見(jiàn)；當(dāng)夾角小于 9 0°時(shí)，表示這個(gè)平面向著投影方向，該平面可見(jiàn)。

圖1 凸面體表面外法線向量與投影向量關(guān)系

如圖 1所示，S為投影方向，N為立體上ABCD面的外法線，沿ABCD面逆時(shí)針?lè)较蛉稳∠噜弮蛇呑鳛閮蓚€(gè)向量AB、BC，這兩個(gè)向量的叉積就是該表面的外法線 N的方向，即N = AB × BC。假設(shè)A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為坐標(biāo)單位向量，可以得到

For i = 1 To NS

U1 = SV(S(i, 2), 1) - SV(S(i, 1), 1)

U2 = SV(S(i, 2), 2) - SV(S(i, 1), 2)

U3 = SV(S(i, 2), 3) - SV(S(i, 1), 3)

V1 = SV(S(i, 3), 1) - SV(S(i, 1), 1)

V2 = SV(S(i, 3), 2) - SV(S(i, 1), 2)

V3 = SV(S(i, 3), 3) - SV(S(i, 1), 3)

N(i, 1) = U2 * V3 - U3 * V2

N(i, 2) = U3 * V1 - U1 * V3

N(i, 3) = U1 * V2 - U2 * V1

If N(i, 2) > 0 Then k = k + 1

Next i

2 可見(jiàn)面積及變化率計(jì)算

面積變化率表征著可見(jiàn)面的變形程度，變形過(guò)大會(huì)導(dǎo)致圖形嚴(yán)重失真。正軸測(cè)投影視覺(jué)上有立體感，但其本質(zhì)是二維圖形，所以顯示的總面積可以通過(guò)每個(gè)顯示面的像素和來(lái)衡量。在CAD中，正軸測(cè)投影圖各點(diǎn)在Z軸方向上坐標(biāo)皆為0，所以可以通過(guò)CAD中的area命令計(jì)算其面積，area命令的本質(zhì)就是求封閉曲線內(nèi)的像素點(diǎn)之和。

如圖2所示，由于軸測(cè)投影圖并不是單一的封閉曲線，CAD具有的功能只是通過(guò)在單一的封閉多線段內(nèi)選取一點(diǎn)來(lái)形成面域，這在正軸測(cè)投影圖中無(wú)法實(shí)現(xiàn)，所以先在軸測(cè)投影圖周圍設(shè)計(jì)一個(gè)矩形，該矩形輔助邊界比軸測(cè)投影圖的最小外圍矩形大一個(gè)計(jì)量單位，這樣可以使使圖形成為輔助邊界內(nèi)的孤島。在軸測(cè)圖邊框外圍與矩形內(nèi)側(cè)選取一點(diǎn)，使用boundary命令在正軸測(cè)投影圖的外圍生成閉合邊界多義線，然后應(yīng)用(vla-get-area(vlax-ename->vla-object (car(entsel))))語(yǔ)句得到閉合區(qū)域的面積，即軸測(cè)圖可視面的總面積。

圖2 正軸測(cè)投影圖外框示圖

3 程序演示

運(yùn)行時(shí)只需在文本框中輸入旋轉(zhuǎn)角度α、β，在 CAD中可以得到相應(yīng)的正軸測(cè)投影圖[4]，程序示例如圖3所示。正軸測(cè)投影圖的轉(zhuǎn)換通過(guò)lisp編程實(shí)現(xiàn)，在程序中加入循環(huán)語(yǔ)句，可以大大減少程序的篇幅，具體如下：

(repeat 16

(setq x_set (car (eval(read (strcat "p" (rtos i))))))

(setq y_set (cadr (eval(read (strcat "p" (rtos i))))))

(setq z_set (caddr (eval(read (strcat "p" (rtos i))))))

(setq x_set_change (+ (* x_set S1x) (* y_set S1y) (* z_set S1z)))

(setq z_set_change (+ (* x_set S3x) (* y_set S3y) (* z_set S3z)))

(set (read(strcat "p" (rtos i) "_change")) (list x_set_change z_set_change))

(setq i (1+ i))

)

圖3 程序示例

圖2中所示正軸測(cè)投影圖通過(guò)改變旋轉(zhuǎn)角度α、β可以得到表1、2中的數(shù)據(jù)，其中表1反映了旋轉(zhuǎn)角度α、β與可見(jiàn)面?zhèn)€數(shù)之間的關(guān)系，表2反映了旋轉(zhuǎn)角度α、β與可見(jiàn)面變化率之間的關(guān)系。

表1 旋轉(zhuǎn)角度與可見(jiàn)面之間個(gè)數(shù)的關(guān)系

表2 旋轉(zhuǎn)角度與可見(jiàn)面面積變化率的關(guān)系

4 優(yōu)化條件

面的個(gè)數(shù)、面積大小、面積變化率三者之間是相互抑制的，其中一個(gè)因素的變化可能會(huì)使另一個(gè)因素隨之而變化，所以要在三者之間取得平衡，即圖形的最佳表達(dá)方式。

要獲得較好的直觀效果，首先應(yīng)避免面投影成線、線投影成點(diǎn)的現(xiàn)象[5]，圖 4(a)的直觀性就很差，同時(shí)應(yīng)盡量使幾何體的內(nèi)部裸露出來(lái)，圖4(b)應(yīng)改變?chǔ)陆鞘拱疾勖嫦蛞朁c(diǎn)。實(shí)驗(yàn)表明，合適的視角會(huì)使得對(duì)象顯示面的數(shù)目較多，從而使反映的物體信息量更加豐裕，比較圖4(c)與圖2，可以看出圖2的直觀效果較好。由表1、2可以看出，當(dāng)α、β在30°～60°之間時(shí)，顯示面?zhèn)€數(shù)較多，且面積變化率百分比較大，同時(shí)各面大小比例比較均勻，這樣更加符合人的視覺(jué)習(xí)慣。

圖4 圖形示例

5 小 結(jié)

文章研究的是在已知投影角度的情況下，計(jì)算其投影面?zhèn)€數(shù)、大小以及變化率。根據(jù)研究結(jié)果可知工程上常用的基本視圖是正軸測(cè)投影圖的特殊情況，利用基本視圖獲得物體表面積計(jì)算比較繁瑣，而利用正軸測(cè)投影圖計(jì)算表面積則比較方便，可為計(jì)算物體表面積涂料用量、加工面積大小提供依據(jù)。

[1]韓素蘭, 程 方. 常用軸測(cè)投影圖在工程中的選擇與應(yīng)用[J]. 華北水利水電學(xué)院學(xué)報(bào), 2005, 26: (4):76-78.

[2]陳錦昌. VB計(jì)算機(jī)繪圖教程[M]. 廣州: 華南理工大學(xué)出版社, 2003: 99-103.

[3]張晉西. Visual Basic.Net二次開(kāi)發(fā)AutoCAD范例精解[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004: 3-16.

[4]林大鈞. 計(jì)算機(jī)工程圖形算法及應(yīng)用[M]. 上海: 華東理工大學(xué)出版社, 2006: 111-115.

[5]牛中原, 遲秋影. 理想正軸測(cè)投影作法[J]. 佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2002, 20(4): 461-463.