殷 明， 劉 衛(wèi)

（合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽 合肥 230009）

傳統(tǒng)的圖像去噪方法主要有空域低通濾波、統(tǒng)計濾波（如維納濾波）及頻域濾波等，雖然這些方法對噪聲有一定的抑制效果，但是損失了許多圖像的細節(jié)信息，會造成圖像模糊，產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象。小波變換在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)，不僅可將圖像的結構和紋理分別表現(xiàn)在不同分辨率層次上，而且具有檢測邊沿的能力。因此，利用小波變換在去除噪聲時，并且能夠較好地保持圖像的細節(jié)，可提取并保存對視覺起主要作用的邊緣信息，成為常用的去噪方法?；谛〔ǚ治龅娜ピ敕椒ㄗ钤缡怯?Mallat于1992年提出的基于模極大值的圖像去噪法[1]，Donoho在1994年提出采取全局閾值的小波系數(shù)萎縮方法[2]，1998年 Crouse等人提出小波域的隱馬爾科夫樹模型HMT[3]，及后來Sendur等人考慮了小波系數(shù)上下級的相關性，提出BiShrink[4]和Local—BiShrink[5]方法，2005年，Cho等人提出了基于廣義高斯分布的統(tǒng)計去噪法[6]，廣義高斯分布(GGD)是一類以Laplacian分布和Gaussian分布為特例，以δ函數(shù)和均勻分布為極限形式的對稱分布。常用的小波有離散小波變換(DWT)、復小波(CWT)及脊波(Ridgelet)等。

四元數(shù)小波變換是實小波、四元數(shù)理論及二維希爾伯特變換相結合的產(chǎn)物，它是一種新的多尺度分析圖像處理工具，具有近似平移不變性，它克服了以往實小波的兩個不足[7-8]，第一，實離散小波變換(DWT)中，當圖像（信號）微小平移后，圖像的平滑和邊緣區(qū)域的特征會產(chǎn)生很大的變化, 形成邊緣處的模糊；第二，用相位表示圖像的局部信息。雙樹復小波雖然克服了第1個問題，但是它只有一個幅角，在表示二維圖像特征時會產(chǎn)生信號相位歧義。

廣義高斯分布是目前采用的先驗模型，雖然在尺度內(nèi)可以很好的模擬小波系數(shù)的概率分布，但它完全忽略了小波系數(shù)尺度間的相關性；二元非高斯分布模型由一個實參和兩個變元構成，可以很好地體現(xiàn)小波系數(shù)尺度間的相關性，但無法體現(xiàn)尺度內(nèi)的小波系數(shù)之間的聯(lián)系。本文提出一種混合統(tǒng)計模型，該模型結合尺度內(nèi)和尺度間兩個模型的特點，先用非高斯分布模型模擬尺度間系數(shù)分布，將小波系數(shù)劃分為兩類：重要系數(shù)和不重要系數(shù)；再用廣義高斯分布模擬尺度內(nèi)系數(shù)，運用最小均方誤差估計(MMSE)從噪聲圖中的小波系數(shù)恢復原圖的小波系數(shù)。然后將該混合模型與四元數(shù)小波相結合，將其應用于圖像去噪中。需要說明的是，文中所提出的模型，去噪同時相當于對圖像進行壓縮，記本文中的壓縮比為小波去噪的壓縮比，并用零系數(shù)所占的比例來刻畫。實驗表明：該方法不僅取得了很好的去噪效果，圖像的壓縮比也較高。

1 四元數(shù)小波變換

1.1 四元數(shù)解析信號

定義 1 設 f( x, y)使一個實二維信號，則四元數(shù)解析信號可定義[9]為為信號 f( x, y)沿x軸和 y軸 及沿x, y軸的Hilbert變換。

1.2 二維四元數(shù)小波變換

則可以得到四元數(shù)小波的尺度函數(shù)及水平、垂直、對角方向的小波函數(shù)的具體形式如下

四元數(shù)小波變換采用了 4個實離散小波變換（DWT），第1個實離散小波對應四元數(shù)小波的實部，第2，3及4個實離散小波是由第1個實離散小波經(jīng)Hilbert變換所得到，分別對應四元數(shù)小波的3個虛部。

2 混合統(tǒng)計模型

2.1 尺度間模型

在小波變換域上不同尺度間的小波系數(shù)存在一定的相關性，在Lewis和Knowles零樹編碼思想中[10]，提出這樣一個假設：如果在某一尺度上的小波系數(shù)（父系數(shù)）較大（小），那么在其臨近尺度上同一個空間位置上的小波系數(shù)（子系數(shù)）往往也會比較大（?。?。于是可以將小波系數(shù)劃分為兩類：重要系數(shù)和不重要系數(shù)。具體算法為：設定一個閾值T，當父系數(shù)大于T時，那么子系數(shù)為重要系數(shù)，否則子系數(shù)為不重要系數(shù)。由這種思想使得零樹編碼得到了較高的壓縮比。但實際圖像進行小波分解后，僅比較父系數(shù)就得出子系數(shù)的分類，會有很大的誤差，閾值T也不容易確定。于是我們提出用非高斯分布來模擬尺度間的父子小波系數(shù)。

它是一個對稱的概率密度函數(shù)，其最重要的特征就是可以很好的體現(xiàn)m1和m2的相關特性。它可以很好的體現(xiàn)小波系數(shù)上下層之間的關系。其中a是一個自由參數(shù)，在圖像處理過程中可以靈活的選取a的大小。文獻[11]直接將a取為 4來進行后續(xù)工作，但在多次實驗后可以發(fā)現(xiàn)a大小在3附近。本文將a取為3，定義函數(shù)

分類準則的證明類似于文獻[11]。由分類準則可以得到兩類小波系數(shù)，由于小波系數(shù)具有稀疏特性，從而直接令不重要的小波系數(shù)為零，對那些重要的小波系數(shù)再在下面的尺度內(nèi)模型上運用MMSE估計原圖像的小波系數(shù)。

2.2 尺度內(nèi)模型

Mihcak等人提出LAWML和LAWMAP方法[12]，由于采用了局部適應性很強的系數(shù)模型，得到了較好的去噪效果。但是由于過多的保留了小波系數(shù)，從而重建的圖像毛刺現(xiàn)象很嚴重，也不利于壓縮。本文由于考慮了尺度間和尺度內(nèi)的關系，可以很好的解決上述問題。

LAWMAP是以LAWML為基礎提出來的，本文只采用LAWML方法。LAWML方法是以雙隨即過程為小波系數(shù)模型。此模型將小波系數(shù)看成互相獨立的高斯變量，若已知的話，用MMSE來估計小波系數(shù)為

從上式可以看出，LAWML方法實際上就是比例萎縮法。對每層的重要小波系數(shù)用式（2）即可得到原圖像的小波系數(shù)的估計。

3 圖像去噪的算法步驟

下面給出算法步驟：

Step 1 對含噪圖像進行 5層四元數(shù)小波(QWT)分解；

Step 2 用式（3）估計噪聲標準差，用式（1）估計小波系數(shù)方差；

Step 3 用分類準則對小波系數(shù)進行分類，對不重要的小波系數(shù)直接置為零，對重要的小波系數(shù)用式（2）估計原圖像小波系數(shù)；

Step 4 將估計得到的小波系數(shù)進行四元數(shù)小波逆變換(IQWT)，得到降噪圖像。

4 仿真實驗與分析

在仿真實驗中，對512×512的Lena和Barbara圖像進行測試，加入均值為零、方差為 σn2的高斯白噪聲。將本文的去噪方法與選用 Donoho’s HT方法[13]（db8小波）進行硬閾值，Mihcak[12]等人提出LAWML(5×5)以及Bayes風險最小的閾值法(BayesShrink)的去噪方法進行比較。然后運用去噪后的圖像的峰值信噪比(PSNR)和視覺效果來評價本文的方法。其中峰值信噪比定義為其中，X、Y分別為原始圖像和去噪后的圖像，N2為圖像大小。

下面我們給出去噪結果的PSNR、效果圖及零系數(shù)所占比例。

表1 含噪圖像去噪后的峰值信噪比及時間

圖1 噪聲標準差σn=25的Lena圖像的各種算法去噪圖像

圖2 噪聲標準差σn=25的Barbara各種算法去噪圖像

圖3 σn=25的 Lena 圖像去噪后局部放大圖

表2 本文方法去噪后小波系數(shù)中零系數(shù)占的比例

從實驗數(shù)據(jù)及效果圖可以看出，本文提出的基于四元數(shù)小波的混合統(tǒng)計模型圖像去噪方法比 Donoho’s HT 方法[13]（db8小波）硬閾值和BayesShrink去噪效果有明顯的優(yōu)勢，在峰值信噪比上取得了較大的提高，從圖3可以看出：本文去噪方法保留了圖像大部分細節(jié)信息，圖像更光滑，視覺效果更好；與Mihcak等人[12]提出的LAWML也有不少改善，不僅獲得了比上述這些方法有更好的峰值信噪比，而且從表2可以看出，由于LAWML方法去噪后的零系數(shù)很少，而本文的去噪方法零系數(shù)占了相當大的比例，去噪后的壓縮比與經(jīng)典的比例萎縮法有了較大提高。

5 結 論

本文提出了基于四元數(shù)小波的混合統(tǒng)計模型圖像去噪，利用小波系數(shù)尺度間和尺度內(nèi)的相關性，分類出重要系數(shù)和不重要系數(shù)，再用比例萎縮法估計出原圖像的小波系數(shù)。無論在峰值信噪比上還是在視覺效果上都優(yōu)于許多經(jīng)典的去噪算法，并且取得了較高的壓縮比。雖然計算時間上稍長些，但是大多數(shù)情況下不會影響其在實際中的應用。

[1]Mallat S, Hwang W L. Singularity detection and processing with wavelets [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1992, 38(2): 617-643.

[2]Donoho D L. Denoising by soft-thresholding [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1995, 41(3):613-627.

[3]Crouse M S, Nowak R D, Baraniuk R G. Waveletbased statistical signal processing using hidden markov models [J]. IEEE Transactions on Signal Processing 1998, 46(4): 886-902.

[4]Sender, Ivan W, Selesnick. Bivariate shrinkage functions for wavelet-based denoising exploiting interscale dependency [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, 20(11): 2744-2756.

[5]Levent S, Ivan W S. Bivariate shrinkage with local variance estimation [J]. IEEE Signal Processing Letters, 2002, 9(12): 438-441.

[6]Cho D, Bui T D. Multivariate statistical modeling for image denoising using wavelet transforms [J]. IEEE Transactions on Signal Processing Image Communication, 2005, 20(1): 77-89.

[7]Corrochano E B. The theory and use of quaternion wavelet transform [J]. The Journal of Mathematical Imaging and Vision, 2006, 24(1): 19-35.

[8]Corrochano E B. Multi-resolution image analysis using the quaternion wavelet transform [J]. The Journal of Numerical Algorithms, 2005, 39(1): 35-55.

[9]Bulow T. Hypercomplex spectral signal represemtation for the processing and analysis of images [D]. 1999.

[10]Lewis A S, Knowles G. Image compressing using the 2-D wavelet transform [J]. IEEE Transactions on Image Processing, 1992, 1(2): 224-250.

[11]易 翔, 王蔚然. 一種概率自適應圖像去噪模型[J].電子學報, 2005, 33(1): 63-66.

[12]Mihcak M K, Kozintsev I, Ramchandran K.Low-complexity image denoising based on statistical modeling of wavelet coefcients [J]. IEEE Signal Processing Letters, 1999, 6(12): 300-303.

[13]Donoho D, Johnstone I. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage [J]. Biometrika, 1994, 81(9):425-455.