楊智,朱培勇,吳新星

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川 成都 611731)

Li-Yorke敏感的乘積性和復(fù)合性

楊智,朱培勇,吳新星

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川 成都 611731)

討論Li-Yorke敏感的乘積性質(zhì)以及它的迭代不變性.主要證明了Li-Yorke敏感在乘積運算下是保持的,以及在一致連續(xù)意義下,它的復(fù)合運算也是保持的.同時,舉例說明該結(jié)論對于一般的連續(xù)自映射不成立.

Li-Yorke敏感;乘積映射;復(fù)合映射

1 引言及預(yù)備知識

廣而言之,混沌是指系統(tǒng)在沿著時間維度演化的過程中所表現(xiàn)出來的、其微觀個體的狀態(tài)相對于人們的預(yù)測能力而言的不確定性,它是系統(tǒng)演變復(fù)雜性的重要表現(xiàn).數(shù)學(xué)上的混沌概念首見于文獻(xiàn) [1],他們用點對的鄰近和非漸近行為來刻畫系統(tǒng)演化的復(fù)雜性,后人用Li-Yorke混沌來命名這種復(fù)雜性.30多年來數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的混沌受到廣泛的關(guān)注和深入的研究,基于Li-Yorke混沌的深入研究和學(xué)者們對于系統(tǒng)復(fù)雜性的不同認(rèn)識,學(xué)者們先后研究了Devaney混沌[2],Wiggins混沌[3],本質(zhì)混沌[4],稠混沌,稠 δ-混沌[5],ω混沌[6],分布混沌[7],序列分布混沌[8]和Li-Yorke敏感[9]等多種類型的混沌.

Li-Yorke混沌的一個重要推廣是文獻(xiàn)[9]于2003年提出的Li-Yorke敏感.它與Li-Yorke混沌和初值敏感依賴性密切相關(guān).近來,文獻(xiàn)[10]研究了Li-Yorke混沌和Devaney混沌的有限乘積性質(zhì).

基于以上原因,本文致力于討論Li-Yorke敏感的乘積性質(zhì)以及它的迭代不變性.主要證明了Li-Yorke敏感在乘積運算下是保持的,以及在一致連續(xù)意義下,它的復(fù)合運算也是保持的.

貫穿全文,(X,?)表示一度量空間,容易驗證:

2 Li-Yorke敏感的乘積性質(zhì)

類似于定理2.1的證明,易知下一定理是顯然成立的:

3 Li-Yorke敏感的復(fù)合性質(zhì)

上節(jié)討論了Li-Yorke敏感性在乘積運算下的保持性,為了更加深入的研究Li-Yorke敏感性,本節(jié)重點考察其在復(fù)合運算下的不變性.

定理 3.1 設(shè)(X,?)為一度量空間,映射f:X→X一致連續(xù).則以下命題等價:

1-1)f是Li-Yorke敏感的;

[1]Li T Y,Yorke J A.Periodic three implies chaos[J],Amer.Math.Monthly,1975,82:985-992.

[2]Devaney R L.An Introduction to Chaotic Dynamical Systems[M].2nd ed.Redwood City,CA:Addison-Wesley Publishing Company,1989.

[3]Wiggins S.Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos[M].Berlin:Springer-Verlag, 1990.

[4]Pi′orek J.On the generic chaos in dynamical systems[J].Univ.Iagel.Acta.Math.,1985,25:293-298.

[5]Snoha L.Dense chaos[J].Comment.Math.Univ.Carolin.,1992,33(4):747-752.

[6]Li S.ω-Chaos and topological entropy[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1993,399:243-249.

[7]Schweizer B,Sm′?tal J.Measures of chaos and a spectral decomposition of dynamical systems on the interval[J]. Trans.Amer.Math.Soc.,1994,344:737-754.

[8]Wang L,Huang G,Huan S.Distributional chaos in a sequence[J].Nonlinear Anal.,2007,67:2131-2136.

[9]Akin E,Kolyada S.Li-Yorke sensitivity[J].Nonlinearity,2003,16:1421-1433.

[10]吳新星,朱培勇,關(guān)于兩種混沌映射的有限乘積性質(zhì)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(1):129-137.

Li-Yorke sensitivity in product and compositional systems

Yang Zhi,Zhu Peiyong,Wu Xinxing
(School of Applide Mathematics,University of Electronic Science and Technology,Chengdu 611731,China)

In this paper,we main discuss the properties of Li-Yorke sensitive product map and its iteration invariance,prove that the Li-Yorke sensitivity is always hold by product map operation,so its composite operation is under uniformly continuous sense.

Li-Yorke sensitivity,product map,compositional map

O189.11

A

1008-5513(2012)05-0649-06

2012-03-16.

國家自然科學(xué)基金(10671134).

楊智(1987-),碩士生,研究方向：混沌理論及其應(yīng)用.

2010 MSC:54H20,58F03