朱劍輝， 方洋旺， 張 平， 李望西

(空軍工程大學(xué)工程學(xué)院，西安 710038)

0 引言

測(cè)向交叉定位是利用多個(gè)觀測(cè)器在同一時(shí)間對(duì)同一目標(biāo)測(cè)得的方位角信息，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行交叉定位的一種定位技術(shù)。由于其較單站定位具有明顯的優(yōu)勢(shì)，目前已得到廣泛的研究和應(yīng)用，由于多種因素影響，其定位精度有限［1］。因此，研究目標(biāo)的協(xié)同測(cè)向定位對(duì)改善目標(biāo)的定位精度具有重要意義。

文獻(xiàn)［2］中，針對(duì)雷達(dá)超遠(yuǎn)距離目標(biāo)的定位問(wèn)題進(jìn)行了新的算法研究，研究了在球體坐標(biāo)系下的定位模糊區(qū)和圓概率誤差;文獻(xiàn)［3］通過(guò)對(duì)不同布站方式的偵察定位進(jìn)行研究，給出了最大定位誤差和實(shí)現(xiàn)最小定位誤差的條件;文獻(xiàn)［4］針對(duì)三維多站的測(cè)向定位算法，推算了基本定位方法的誤差模型，并提出用泰勒級(jí)數(shù)法結(jié)合最小二乘的思想交叉定位的方法。在空中，載機(jī)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位時(shí)，載機(jī)與目標(biāo)的相對(duì)高度差要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于兩者之間的距離，因此，可將對(duì)目標(biāo)的定位視作二維上的交叉定位。本文主要圍繞二維雙機(jī)協(xié)同交叉定位算法，以及對(duì)定位的模糊區(qū)和定位誤差進(jìn)行分析和研究。

1 測(cè)向定位的求解

設(shè)兩架載機(jī) O1(x1，y1)、O2(x2，y2)分別對(duì)目標(biāo) T進(jìn)行探測(cè)，測(cè)得的方位角分別為β1、β2，載機(jī)O2相對(duì)于載機(jī)O1的方位角為β3，建立坐標(biāo)系［2］如圖1所示。

圖1 測(cè)向交叉定位基本原理圖Fig.1 Basic diagram of cross location

由圖1得

解上述兩式可得目標(biāo)T的坐標(biāo)為

由上式可以得出如下結(jié)論。

1)tan β1、tan β2不能同時(shí)為 0，β1= β2≠kπ，即當(dāng)目標(biāo)在兩機(jī)之間或者兩機(jī)的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，將無(wú)法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行聯(lián)合測(cè)向交叉定位。

2)在上式中，當(dāng)β1或β2為π/2時(shí)，無(wú)解，因而無(wú)法進(jìn)行定位。而在實(shí)際應(yīng)用中，這是很有可能存在的。

下面將對(duì)當(dāng)β1或β2為π/2時(shí)的定位算法進(jìn)行討論。

①當(dāng) β1=π/2，β2≠π/2時(shí)，此時(shí) O1T將垂直于 X軸，此時(shí)目標(biāo)的坐標(biāo)為

②當(dāng) β1≠π/2，β2=π/2時(shí)，此時(shí) O2T將垂直于 X軸，此時(shí)目標(biāo)的坐標(biāo)為

2 定位模糊區(qū)分析

如果空中兩載機(jī)的位置準(zhǔn)確無(wú)誤，而且測(cè)向設(shè)備對(duì)目標(biāo)輻射源測(cè)向時(shí)沒(méi)有誤差，則依第1節(jié)所述的交叉定位方法，得到的交叉位置就是目標(biāo)的真實(shí)位置，沒(méi)有定位誤差。

但實(shí)際上，載機(jī)的坐標(biāo)定位以及對(duì)目標(biāo)測(cè)向所得角度都不可避免存在誤差，因此定位誤差亦不可避免地存在。以測(cè)角誤差5 mrad為例，當(dāng)目標(biāo)在(80 km，50 km)時(shí)的模糊區(qū)面積達(dá)到3.8365 km2。

假設(shè)兩架載機(jī)裝備相同的測(cè)角設(shè)備，載機(jī)測(cè)角設(shè)備的最大測(cè)向誤差均為Δβmax，則真實(shí)的角度分別位于以β1、β2為中心，±Δβmax扇形區(qū)域范圍內(nèi)，如圖2 所示。

圖2 測(cè)向定位造成的定位模糊區(qū)Fig.2 Locational ambiguity region of cross location

目標(biāo)的真實(shí)位置應(yīng)在位于兩扇形區(qū)域相交的四邊形陰影區(qū)域中，由于測(cè)向誤差是±Δθmax范圍內(nèi)的任意值，因此目標(biāo)就可能出現(xiàn)在四邊形ABCD區(qū)域內(nèi)的任何一個(gè)位置上。由于無(wú)法確定目標(biāo)在此四邊形ABCD區(qū)域中的真實(shí)具體位置，因此稱(chēng)四邊形區(qū)域ABCD為定位模糊區(qū)。

定位模糊區(qū)的大小是決定定位精度高低的一個(gè)重要指標(biāo)，若四邊形ABCD的面積越小，則說(shuō)明定位精度越高。

在載機(jī)位置已知的情況下，分別用β1±Δβmax、β2±Δβmax代替β1、β2，可以得到4條虛線(xiàn)的解析表達(dá)式為

同時(shí)，也可以分別求出4點(diǎn)的坐標(biāo) A(xA，yA)、B(xB，yB)、C(xC，yC)、D(xD，yD)，此時(shí)，以圖2 為例，對(duì)陰影區(qū)進(jìn)行積分，即可得到模糊區(qū)的面積為

圖3 目標(biāo)位于(10 km，20 km)的模糊區(qū)Fig.3 Locational ambiguity region whentarget is located at(10 km，20 km)

圖4 目標(biāo)位于(40 km，30 km)的模糊區(qū)Fig.4 Locational ambiguity region when target is located at(40 km，30 km)

圖5 目標(biāo)位于(60 km，40 km)的模糊區(qū)Fig.5 Locational ambiguity region when target is located at(60 km，40 km)

圖6 目標(biāo)位于(80 km，50 km)的模糊區(qū)Fig.6 Locational ambiguity region when target is located at(80 km，50 km)

分析當(dāng)目標(biāo)位于不同位置時(shí)，定位模糊區(qū)發(fā)生的變化。設(shè)載機(jī)1的坐標(biāo)為(5 km，5 km)，載機(jī)2的坐標(biāo)為(30 km，15 km)，測(cè)角誤差為5 mrad。目標(biāo)的坐標(biāo)分別為(10 km，20 km)、(40 km，30 km)、(60 km，40 km)、(80 km，50 km)時(shí)，可以分別得到4個(gè)不同的模糊區(qū)(圖3～圖6)，圖中圓點(diǎn)表示目標(biāo)真實(shí)位置，線(xiàn)條圍成的區(qū)域?yàn)槎ㄎ荒：齾^(qū)，對(duì)其進(jìn)行積分即可得到模糊區(qū)的面積。

由圖3～圖6可知，當(dāng)目標(biāo)位置為(10 km，20 km)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的模糊區(qū)面積為0.0215 km2;當(dāng)目標(biāo)位置為(40 km，30 km)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的模糊區(qū)面積為0.2935 km2;當(dāng)目標(biāo)位置為(60 km，40 km)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的模糊區(qū)面積為1.1342 km2;當(dāng)目標(biāo)位置為(80 km，50 km)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的模糊區(qū)面積為3.8365 km2。由以上結(jié)果可知，當(dāng)目標(biāo)距離載機(jī)的距離越來(lái)越大時(shí)，定位模糊區(qū)也會(huì)隨著快速增大。例如，當(dāng)測(cè)角誤差為5 mrad時(shí)，定位目標(biāo)在(80 km，50 km)時(shí)的模糊區(qū)面積達(dá)到 3.8365 km2。

在仿真中由于選取不同的目標(biāo)坐標(biāo)，就會(huì)產(chǎn)生不同的 β1、β2，由式(7)分析可知，β1、β2的變化影響著定位模糊區(qū)的大小，參考文獻(xiàn)［3］通過(guò)分析，得到當(dāng)β1=β2=π/3時(shí)，對(duì)應(yīng)的定位模糊區(qū)為最小。

3 定位精度分析

圖7 測(cè)向定位示意圖Fig.7 Sketch map of cross location

如圖7所示，以載機(jī)1為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，目標(biāo)T與載機(jī)2相對(duì)于載機(jī)1的方位角為β1、β3，載機(jī)2測(cè)得的目標(biāo)方位角為β2，兩載機(jī)之間的距離為L(zhǎng)，有

式(8)中，當(dāng) β1= β2=0 時(shí)或 β1=0，β2=π，即目標(biāo)在兩載機(jī)之間或者其延長(zhǎng)線(xiàn)上，式(8)無(wú)解，則在上述情況下無(wú)法定位。

對(duì)式(8)進(jìn)行全微分得

一半的量給了紅肉，剩下的一半怎么選呢？以一周為單位為例，建議有2天吃深海魚(yú)，比如三文魚(yú)、金槍魚(yú)、秋刀魚(yú)等富含DHA的魚(yú)類(lèi)，可以為寶寶提供DHA從而有利于大腦的發(fā)育。剩下的5天可以根據(jù)孕婦的喜好自由選擇，比如雞呀、蝦呀等。

可得x、y軸的定位精度為

對(duì)于雙機(jī)協(xié)同定位系統(tǒng)，其定位精度可以用空間位置的均方根誤差(RMS)表示，也稱(chēng)為定位精度的幾何分布(Geometrical Dilution of Precision，GDOP)［4］，表示為

GDOP值越大，定位精度越低;反之，則定位精度越高。

4 仿真分析

假設(shè)兩載機(jī)裝備相同的測(cè)向設(shè)備，測(cè)量誤差服從零均值的正態(tài)分布，且相互獨(dú)立。載機(jī)1的坐標(biāo)為(0 km，0 km)，載機(jī)2的坐標(biāo)為(3 km，4 km)，兩機(jī)之間的距離為L(zhǎng)=5 km，距離誤差σL=0.05 km;角度測(cè)量誤差均為mrad，探測(cè)目標(biāo)范圍X軸(-100 km，100 km)，Y軸(-100 km，100 km)。仿真結(jié)果如圖8所示，圖8為等高線(xiàn)曲線(xiàn)圖，圖中等高線(xiàn)上的數(shù)字即為定位精度GDOP數(shù)值。

圖8 雙機(jī)協(xié)同定位GDOP分布圖Fig.8 Distribution map of locational GDOP by two cooperated aircrafts

根據(jù)GDOP的分布圖，可以將定位區(qū)域分為如下3個(gè)區(qū)域。

1)不可定位區(qū)域。這主要分布在兩載機(jī)之間或者其延長(zhǎng)線(xiàn)上，定位誤差很大，精度很低，在此區(qū)間的定位數(shù)據(jù)甚至不可用，是定位盲區(qū)?？梢园l(fā)現(xiàn)，越靠近載機(jī)延長(zhǎng)線(xiàn)，精度越低。

2)高精度區(qū)。在兩載機(jī)附近，尤其是兩載機(jī)的中心延長(zhǎng)線(xiàn)上及其兩側(cè)，定位精度較高，在中心延長(zhǎng)線(xiàn)上越靠近載機(jī)精度越高(不包含不可定位區(qū)間)。

3)低精度區(qū)。這主要是在離兩載機(jī)較遠(yuǎn)的區(qū)域，定位精度隨著距離的增加而逐漸較小。

這與上節(jié)的分析相同，在載機(jī)之間及其延長(zhǎng)線(xiàn)上，目標(biāo)不可探測(cè);在兩載機(jī)附近但不在延長(zhǎng)線(xiàn)上，模糊區(qū)面積小，定位精度高;隨著距離的增加，模糊區(qū)的面積增加，定位精度隨之降低。

4.1 載機(jī)間距對(duì)定位精度的影響

假設(shè)載機(jī)1的位置不變，載機(jī)2的坐標(biāo)為(6 km，8 km)，載機(jī)間的距離為10 km，方位角的測(cè)角誤差為5 mrad，載機(jī)間距誤差為0.05 km，其余條件均不變化，可得到此時(shí)系統(tǒng)的定位GDOP分布圖，見(jiàn)圖9。

圖9 間距為10 km時(shí)定位GDOP分布圖Fig.9 Distribution map of locational GDOP when the distance between two aircrafts is 10 km

對(duì)比圖8和圖9可知，隨著載機(jī)間距的增大，定位的高精度區(qū)域增大，系統(tǒng)總體定位精度提高。

載機(jī)間距增大的同時(shí)，定位誤差能否一直減小?為了研究載機(jī)間距與定位誤差間的關(guān)系，假設(shè)載機(jī)1的坐標(biāo)為(0 km，0 km)，載機(jī)間距為L(zhǎng)(5～100 km)，載機(jī)1與載機(jī)2的相對(duì)方位角β3=arctan(4/3)保持不變，則載機(jī)2 的坐標(biāo)為(L*0.6，L*0.8)，研究目標(biāo)位置為(-40 km，40 km)時(shí)，定位誤差隨間距變化的變化曲線(xiàn)。仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10 定位誤差隨載機(jī)間距的變化曲線(xiàn)Fig.10 The locational error vs the distance between two aircrafts

由圖10可以看出，定位誤差隨著雙機(jī)之間的間距先逐漸減小，當(dāng)間距L=40 km時(shí)，定位誤差最小，而后隨著間距的增大，誤差亦隨之增大。

4.2 載機(jī)間距誤差對(duì)定位精度的影響

假設(shè)載機(jī)1的坐標(biāo)(0 km，0 km)，載機(jī)2的坐標(biāo)為(3 km，4 km)，載機(jī)間距離為 5 km，距離誤差為0.2 km，方位角的測(cè)角誤差為=5 mrad，其余條件均不變化，可得到此時(shí)系統(tǒng)的定位GDOP分布圖，如圖11所示。

圖11 測(cè)角誤差為0.01 rad時(shí)定位GDOP分布圖Fig.11 Distribution map of locational GDOP when the error of angle observation is 0.01 rad

由圖8和圖11發(fā)現(xiàn)，載機(jī)間距誤差的變化對(duì)定位精度有一定的影響，但影響不是很大。當(dāng)間距誤差由0.05 km增加到0.2 km后，高精度區(qū)的范圍有所減小，總體變化不大。

4.3 測(cè)角誤差對(duì)定位精度的影響

假設(shè)載機(jī)1的坐標(biāo)(0 km，0 km)，載機(jī)2的坐標(biāo)為(3 km，4 km)，載機(jī)間距離為5 km，距離誤差為0.05 km，方位角的測(cè)角誤差為=10 mrad，其余條件均不變化，可得到此時(shí)系統(tǒng)的定位GDOP分布圖，見(jiàn)圖12。

圖12 測(cè)角誤差為0.01 rad時(shí)定位GDOP分布圖Fig.12 Distribution map of locational GDOP when the error of angle observation is 0.01rad

由圖8和圖12發(fā)現(xiàn)，載機(jī)的測(cè)角精度對(duì)系統(tǒng)的定位精度有著極大的影響，當(dāng)設(shè)備的測(cè)角誤差由5 mrad增大至10 mrad后，整個(gè)探測(cè)區(qū)域的高精度區(qū)明顯縮減，不可探測(cè)區(qū)域增大，系統(tǒng)的整體定位精度下降。

圖13 定位誤差隨測(cè)角誤差變化趨勢(shì)圖Fig.13 The locational error vs error of angle observation

對(duì)定位精度有很大影響作用的測(cè)角誤差，做進(jìn)一步分析。目標(biāo)坐標(biāo)為(-40 km，40 km)，除測(cè)角誤差值外，均保持不變。由式(15)可以得到定位誤差隨測(cè)角精度的變化曲線(xiàn)圖，如圖13，其中測(cè)角誤差的變化范圍為0.003 ～0.01 rad。

所選目標(biāo)位置(-40 km，40 km)處于定位高精度區(qū)，測(cè)角誤差由0.003 rad變化到0.01 rad，定位誤差增大了5倍，對(duì)于處于低精度區(qū)的目標(biāo)，其定位誤差會(huì)增加更多。

由此可知:定位誤差隨測(cè)角誤差的增大而增大，雙機(jī)定位精度降低;隨著測(cè)角誤差的減小而減小，雙機(jī)定位精度提高。

由上述分析可知，提高載機(jī)間距離的測(cè)量精度、設(shè)備的測(cè)角精度，都可以很好地提高系統(tǒng)的定位精度。但提高測(cè)角誤差精度對(duì)提升系統(tǒng)的整體定位效果影響更大。

5 總結(jié)

本文主要討論了雙機(jī)測(cè)向無(wú)源定位算法和定位模糊區(qū)，研究了影響定位精度的因素。通過(guò)建立模型，分析目標(biāo)處于不同位置時(shí)的定位模糊區(qū)并進(jìn)行仿真;對(duì)測(cè)角定位的定位精度GDOP進(jìn)行了仿真，并對(duì)不同的載機(jī)間距、不同的距離誤差和不同的測(cè)角精度下的定位精度分布進(jìn)行了仿真分析，并分析測(cè)角精度對(duì)定位精度的影響情況。

仿真結(jié)果表明:目標(biāo)定位精度與載機(jī)到目標(biāo)距離、載機(jī)間距、間距誤差以及測(cè)角精度有關(guān)，定位精度隨著載機(jī)間距的增大先提高，當(dāng)間距的增大到一定值時(shí)定位精度達(dá)到最優(yōu)，而后隨著間距的增大而逐漸降低。隨著載機(jī)到目標(biāo)距離、間距誤差和測(cè)角誤差的增大而降低。因此在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)卦龃髢蓹C(jī)間距到達(dá)某一理想值，減小測(cè)角誤差來(lái)提高系統(tǒng)的整體定位精度，這為載機(jī)提高對(duì)目標(biāo)定位精度提供了重要參考依據(jù)。

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