劉麗虹，俞 嘯，胡延軍,2

（1.中國礦業(yè)大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，江蘇 徐州 221008；2.中國礦業(yè)大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)（感知礦山）研究中心，江蘇 徐州 221008）

多媒體傳感器系統(tǒng)在煤礦井下應(yīng)用的研究已經(jīng)引起國內(nèi)外研究人員的關(guān)注，其中能耗問題一直是研究熱點(diǎn)，需要對(duì)多媒體節(jié)點(diǎn)進(jìn)行合理設(shè)計(jì)。在降低節(jié)點(diǎn)傳輸負(fù)載、節(jié)約網(wǎng)絡(luò)有限能量的同時(shí)，完成多媒體信息的壓縮編碼、冗余信息融合等處理。常用的編碼算法在數(shù)據(jù)采集端按照奈奎斯特采樣定理進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，造成了存儲(chǔ)空間及節(jié)點(diǎn)能量的浪費(fèi)。研究如何突破以奈奎斯特采樣定理為支撐的信息獲取、處理、融合、存儲(chǔ)及傳輸?shù)确绞绞峭苿?dòng)煤礦信息化進(jìn)一步發(fā)展的關(guān)鍵[1]。近年來,由DONOHO D、CANDES E及TAO T等人提出的壓縮感知理論為解決這一問題提供了新的思路，該理論以遠(yuǎn)低于奈奎斯采樣頻率對(duì)稀疏或可稀疏信號(hào)進(jìn)行采樣，仍可以精確恢復(fù)出原信號(hào)，具有編碼簡單、解碼復(fù)雜的特點(diǎn)。這樣在煤礦井下可以鋪設(shè)性能較弱的多媒體傳感器節(jié)點(diǎn)，不僅節(jié)約成本，也降低了采集端的工作負(fù)荷。將復(fù)雜的解碼過程交由井上計(jì)算能力強(qiáng)大的服務(wù)器處理，為井上調(diào)度室的指揮控制提供清晰的井下現(xiàn)場圖像。故該理論在煤礦井下無線多媒體傳感器網(wǎng)絡(luò)(WMSN)中具有很大的應(yīng)用前景,如圖1所示。

圖1 壓縮感知算法在井下WMSN中的應(yīng)用框圖

壓縮感知理論中，隨機(jī)采樣不需要先驗(yàn)知識(shí)，只需尋求更好的正交稀疏變換，得到變換域中更稀疏的信號(hào)，便可提高壓縮感知和信號(hào)重構(gòu)的性能。壓縮感知恢復(fù)算法中常用的正交變化有 DCT[2]、傅里葉變換[3]、小波變換[4]等，信號(hào)經(jīng)過變化后越稀疏，越有利于提高壓縮感知信號(hào)重構(gòu)的性能。近年興起的以Contourlet變換為代表的多尺度幾何變換具有良好的稀疏性質(zhì)，經(jīng)其變換得到的稀疏系數(shù)要比小波系數(shù)更稀疏，更有利于信號(hào)的重構(gòu)。但是其基函數(shù)在頻域中是非局部的，造成了頻率混疊現(xiàn)象，需要用理論上更多的系數(shù)來表示,而抗混疊Contourlet[5]變換恰可以解決這個(gè)問題。

本文將雙通道濾波器組與方向?yàn)V波器組相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了一種抗混疊的輪廓波變換,提出基于抗混疊Contourlet變換的礦井圖像壓縮感知重構(gòu)方法。

1 相關(guān)理論簡介

1.1 壓縮感知理論簡介

壓縮感知的采樣方式是通過將大小為M×N(M＜N)的觀測矩陣與N×N信號(hào) x進(jìn)行內(nèi)積,得到M×N的采樣值y，而這M個(gè)線性投影中包含的信息可以用來重構(gòu)信號(hào)x。即對(duì)x執(zhí)行線性觀測：

其中x是稀疏信號(hào)或可稀疏信號(hào)，在某組正交基下展開可寫成矩陣形式 x=Ψs。Ψ∈RN×N(滿足 ΨTΨ=ΨΨT=I)與觀測矩陣 Θ 不相關(guān)[6],假設(shè) s∈RN×N是 K稀疏（即其非零稀疏個(gè)數(shù)K＜＜N）的。采樣過程也可表示為：

壓縮感知的稀疏重構(gòu)過程是從y中求解x的過程，即求解線性方程組的問題。 因?yàn)?y∈RM×N，s∈RN×N，對(duì)于式(1)未知數(shù)的個(gè)數(shù)N都大于方程的個(gè)數(shù)M，是一個(gè)欠定方程組求解問題，有無窮多解。故重建信號(hào)需滿足一定條件[7]：x是可稀疏信號(hào)，稀疏度為 K；且滿足 M＞K×log(N)。可以通過求解l0最小化問題：

1.2 抗混疊Contourlet變換簡介

Contourlet變換首先利用拉普拉斯塔式結(jié)構(gòu)(LP)將圖像分成低通和高通2個(gè)子帶，對(duì)圖像進(jìn)行多尺度分解獲得多分辨率特性，再用方向?yàn)V波器組(DFB)對(duì)各尺度的高通子帶進(jìn)行多方向輪廓波分解。結(jié)構(gòu)如圖2所示。

Contourlet變換最大的缺點(diǎn)是采用非理想的低通濾波器進(jìn)行LP分解，在通帶區(qū)域外還有非零的頻率響應(yīng)，因此變換得到的低頻子帶中還有混疊的成分，這些成分進(jìn)入高頻子帶中與DFB頻域支撐交疊，造成了嚴(yán)重的頻率混疊現(xiàn)象，需要用理論上更多的系數(shù)來表示。為此，Minh Do提出[9]用可控塔式分解來代替?zhèn)鹘y(tǒng)Contourlet變換中的LP分解實(shí)現(xiàn)圖像的多尺度分解，用來抑制混疊效應(yīng)。其特點(diǎn)是第一級(jí)低通濾波器不是固定以d=2的采樣矩陣進(jìn)行下采樣的，而是通過選取d的值進(jìn)行可控下采樣 (d=1,1.5,2),并且使用嚴(yán)格帶限的低通濾波器，用來降低與DFB的頻譜混疊。當(dāng)d=1時(shí)，Contourlet冗余度約為2.33，但此時(shí)的抗混疊性能最好，因此本文采用d=1的方案。

2 在煤礦圖像重構(gòu)算法中的應(yīng)用

2.1 壓縮感知重構(gòu)模型

目前該問題的求解主要有貪婪算法、凸優(yōu)化方法和組合算法三類方法。貪婪算法的重構(gòu)效果雖不及凸優(yōu)化方法，但速度快，適用于解決大尺度問題，故本文中選用OMP算法來重構(gòu)圖像，其核心思想是通過遞歸對(duì)已選原子集合進(jìn)行正交變換以保證迭代的最優(yōu)性[10]。

由壓縮感知理論可設(shè)礦井圖像信號(hào)x∈RN×N。

實(shí)際測量中y值易受外界噪聲干擾，解碼模型可變換為：

由壓縮感知理論可知，s為稀疏變換系數(shù)組成的向量，Θ為隨機(jī)矩陣，的每一列對(duì)應(yīng)稀疏變換的基向量與Θ不相關(guān)。在實(shí)際計(jì)算中可由稀疏變換得到，Θ為隨機(jī)高斯矩陣，通過優(yōu)化求解最優(yōu)的通過=，對(duì)進(jìn)行稀疏逆變換得到時(shí)域的，即可重構(gòu)圖像。

2.2 OMP重構(gòu)算法

求解l0范數(shù)最小化問題是NP難題組合，但參考文獻(xiàn)[11]證明，測量矩陣滿足RIP準(zhǔn)則時(shí)，l1范數(shù)最小化與l0范數(shù)最小化的求解近似等價(jià)，故式(5)可轉(zhuǎn)化為求解l1范數(shù)最小化的凸優(yōu)化問題，即：

即轉(zhuǎn)化成一個(gè)非線性凸優(yōu)化問題,這里采用正交匹配追蹤(OMP)算法來找到這K個(gè)關(guān)鍵分量。對(duì)于y1(即y的第一列)，設(shè)計(jì)算恢復(fù)矩陣A的所有列與y1的每一列內(nèi)積，內(nèi)積絕對(duì)值最大的一列就是對(duì)應(yīng)的非零元素K的位置，再根據(jù)最小二乘法找出使得‖y-As‖2最小的那個(gè)s中的元素值，就是非零元素K的大小，依此循環(huán)迭代就可找出這幾個(gè)K值的位置和大小。

OMP算法[12]詳細(xì)步驟描述如下：

(1)參數(shù)初始化，包括殘差 r0=y，索引集 Z0=φ，重構(gòu)信號(hào)x0=0，迭代次數(shù) n=0；

(2)計(jì)算殘差向量與測量矩陣A每一列的內(nèi)積，得出gn=ATrn-1；

(3)找出 gn值最大的元

(4)更新索引集合Zn=Zn-1∪syggg00以及原子集合=∪{ad};

(6)更新殘差 rn=y-Axn，n=n+1；

(7)判斷是否滿足 n＞K。若滿足，則令 x′=xn，r=rn，迭代循環(huán)停止；不滿足，則返回步驟(2)，繼續(xù)循環(huán)。

(8)輸出 x的稀疏逼近值x′，及重構(gòu)誤差 r。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

實(shí)驗(yàn)采用大小為256×256的煤礦井下圖像，稀疏基分別采用sym4小波、Contourlet、抗混疊 Contourlet，測量矩陣采用隨機(jī)高斯矩陣，重構(gòu)算法采用OMP恢復(fù)算法。

3.1 不同采樣率下的壓縮感知重構(gòu)效果

基于抗混疊Contourlet變換的重構(gòu)圖像在細(xì)節(jié)處的表現(xiàn)良好，尤其是在具有方向的紋理和邊緣處。當(dāng)采樣率為0.5時(shí)，已能很清晰地恢復(fù)出圖像，且采樣值越高，恢復(fù)的圖像效果越好，如圖3所示。

3.2 基于不同稀疏基表示的重構(gòu)圖PSNR值比較

圖4給出了基于不同稀疏基變換和采樣率的重構(gòu)圖像與原圖的PSNR值，更加直觀地對(duì)比了各稀疏基結(jié)合OMP算法的重構(gòu)效果。

從圖中可以看出抗混疊Contourlet的效果要略好于傳統(tǒng)的Contourlet變換。當(dāng)采樣率小于0.3時(shí)，恢復(fù)的圖像失真嚴(yán)重，比較它們的PSNR值已經(jīng)沒有意義。采樣率高于0.3時(shí)，在同等采樣率，恢復(fù)算法都采用OMP重構(gòu)算法的情況下,基于Contourlet變換和抗混疊Contourlet變換的重構(gòu)圖像的質(zhì)量要比基于Sym4小波的更優(yōu)，因?yàn)镃ontourlet變換比小波變換更能稀疏地表示礦井圖像中的邊緣和輪廓信息?？够殳BContourlet變換抑制了混疊效應(yīng)，其基函數(shù)的頻域局部性更好，具有更集中的方向選擇性,驗(yàn)證了圖像抗混疊Contourlet變換的稀疏性更好。

本文將抗混疊 Contourlet變換應(yīng)用于礦井圖像的壓縮感知重建中。OMP重構(gòu)算法是目前圖像重建的一種比較經(jīng)典的算法,在此優(yōu)化算法下,將抗混疊Contourlet變換、傳統(tǒng)Contourlet變換和Sym4小波變換作為壓縮感知稀疏域，并觀察其表現(xiàn)。仿真結(jié)果顯示，相較于小波變換和Contourlet變換，抗混疊Contourlet變換不管在恢復(fù)的視覺效果還是PSNR指標(biāo)上,都比Sym4小波和傳統(tǒng)Contourlet變換更好。目前多尺度幾何分析作為圖像處理的一個(gè)研究熱點(diǎn)，壓縮感知作為一種新技術(shù)，其理論框架和算法實(shí)現(xiàn)都還在發(fā)展中,并能夠解決煤礦井下的實(shí)際問題，有望給信號(hào)處理領(lǐng)域帶來重大影響。

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