張文山，羅 生

(1.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009;2.上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院，上海 200240)

導(dǎo)彈的導(dǎo)引律設(shè)計在目標(biāo)攔截過程中起著非常重要的作用，人們對此進行了大量的研究。傳統(tǒng)的導(dǎo)引律［1］主要包括比例導(dǎo)引法、追蹤導(dǎo)引法和平行接近法等。在目標(biāo)不機動、系統(tǒng)無延時、控制能量不受約束的情況下，采用比例導(dǎo)引攔截目標(biāo)可獲得很好的性能。然而，隨著目標(biāo)機動性能的提高，傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引規(guī)律逐漸暴露出很多不足。當(dāng)目標(biāo)做機動飛行時，比例導(dǎo)引律的性能會大大下降，終端脫靶量會很大［2］。

為改善比例導(dǎo)引律的導(dǎo)引性能，使之可適應(yīng)現(xiàn)代戰(zhàn)爭中日益惡劣的干擾環(huán)境，攔截高速、高機動目標(biāo)，研究者們提出了多種基于現(xiàn)代控制理論方法的導(dǎo)引律，主要有基于最優(yōu)控制理論［3］、微分對策理論［4］、Lyapunov 函數(shù)理論［5］、非線性H∞控制理論［6］、L2增益控制理論［7］、自適應(yīng)控制理論［8］、滑模控制理論［9-11］等現(xiàn)代控制理論的導(dǎo)引律。

Backstepping 方法［14-15］是1 種構(gòu)造性方法，他能利用導(dǎo)彈導(dǎo)引系統(tǒng)和駕駛儀動態(tài)結(jié)構(gòu)特性，遞推地構(gòu)造出整個一體化制導(dǎo)與控制系統(tǒng)的Lyapunov 函數(shù)，所以整體系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)和制導(dǎo)律的設(shè)計過程有較強的系統(tǒng)性、靈活性和結(jié)構(gòu)性，可以實現(xiàn)對高階駕駛儀動態(tài)下的導(dǎo)引律設(shè)計。

本文考慮了導(dǎo)彈的一階駕駛儀動態(tài)特性，設(shè)計了基于Backstepping 控制方法的一體化導(dǎo)引律。

1 問題描述

為了簡化問題，文章僅考慮平面攔截問題，一般將導(dǎo)彈和目標(biāo)看作質(zhì)點。導(dǎo)彈平面攔截幾何關(guān)系如圖1 所示。導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運動關(guān)系的極坐標(biāo)方程［12］為

式中:r 和˙r 分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的相對距離和相對速度;q 和˙q 分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的視線角和視線角速度;Vm和Vt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度;θm和θt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行方向角;am和at分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的橫向加速度。

圖1 平面攔截幾何關(guān)系

考慮導(dǎo)彈的近似一階駕駛儀動態(tài)特性［13］

為了簡化研究問題，本文假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行速度均為常數(shù)，即=0=0。

對式(1)求導(dǎo)，并將式(3)～式(4)代入，得

2 基于Backstepping 的導(dǎo)引律設(shè)計

定理1 考慮式(7)，設(shè)計如下的非線性導(dǎo)引律

證明 令系統(tǒng)的虛擬控制函數(shù)為α(x2)，定義跟蹤誤差

對式(8)中的誤差變量z1求導(dǎo)數(shù)，則有

取系統(tǒng)的虛擬控制函數(shù)α(x2)為

則式(10)可化為

對式(9)中的誤差變量z2求導(dǎo)數(shù)，則有

選取系統(tǒng)的Lyapunov 函數(shù)為

對Lyapunov 函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，代入式(12)和式(13)則有

將式(8)代入式(15)，可得是負定的。

根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知，狀態(tài)z1漸近趨于零，由于z1=x1=，即證得視線角速度漸近趨于零。

3 仿真驗證

設(shè)計的虛擬控制函數(shù)為α(x2)為

對式(17)求導(dǎo)數(shù)，得

對式(14)求導(dǎo)數(shù)，并代入式(15)和式(16)，化簡得

仿真的初始條件為:導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始距離r0=3 000 m;導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行速度分別為Vm=500 m/s 和Vt=300 m/s;導(dǎo)彈和目標(biāo)的導(dǎo)彈傾角分別為θm=60°和θt=0°;初始視線角q=30°;重力加速度g=9.8 m/s2;導(dǎo)彈的初始加速度取為am=20 g;時間常數(shù)取τ=0.5。

1)當(dāng)目標(biāo)不機動，即at=0 時，導(dǎo)彈視線角速度的輸出如圖2 所示，導(dǎo)彈制導(dǎo)律和導(dǎo)彈的實際輸出加速度如圖3 所示，導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行軌跡如圖4 所示，導(dǎo)彈的最終脫靶量幾乎為零，即1.36 ×10-11m。

2)當(dāng)目標(biāo)以加速度at=5 g 機動時，導(dǎo)彈視線角速度的輸出如圖5 所示，導(dǎo)彈制導(dǎo)律和導(dǎo)彈的實際輸出如圖6 所示，導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行軌跡如圖7 所示，導(dǎo)彈的最終脫靶量幾乎為零，即6.40 ×10-11m。

圖2 導(dǎo)彈的視線角速度的輸出

圖3 導(dǎo)彈的制導(dǎo)律和導(dǎo)彈的實際輸出加速度

圖4 導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行軌跡

圖5 導(dǎo)彈的視線角速度的輸出

圖6 導(dǎo)彈的制導(dǎo)律和導(dǎo)彈的實際輸出

3)目標(biāo)開始時不做任何機動，當(dāng)導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對距離小于1000 m 時，目標(biāo)開始以加速度at=10 g 做機動，導(dǎo)彈視線角速度的輸出如圖8 所示，導(dǎo)彈的制導(dǎo)律和導(dǎo)彈的實際輸出如圖9 所示，導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行軌跡如圖10 所示，導(dǎo)彈的最終脫靶量幾乎為零，即6.80 ×10-12m。

3 組仿真表明:不論目標(biāo)機動與否，所設(shè)計的導(dǎo)引律均均可使視線角速度趨于零，且3 組仿真的脫靶量均處于，1 個很小的數(shù)量級，可以實現(xiàn)導(dǎo)彈對目標(biāo)的攔截。

圖7 導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行軌跡

圖8 導(dǎo)彈的視線角速度的輸出

圖9 導(dǎo)彈的制導(dǎo)律和導(dǎo)彈的實際加速度輸出

圖10 導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行軌跡

4 結(jié)束語

本文考慮了導(dǎo)彈的一階駕駛儀動態(tài)，給出了1 種新的導(dǎo)引律設(shè)計方法，即基于Backstepping 控制的導(dǎo)引律設(shè)計方法。仿真結(jié)果表明:該導(dǎo)引律使得視線角速度漸近趨于零，脫靶量在1 個較小的數(shù)量級上，從了實現(xiàn)了既定的設(shè)計目標(biāo)。本文提出的導(dǎo)引律設(shè)計方法有如下優(yōu)點:①導(dǎo)引律設(shè)計過程簡單，可推廣到高階駕駛儀動態(tài)情況下的導(dǎo)引律設(shè)計;②有嚴格的穩(wěn)定性分析，從理論上保證了所設(shè)計的導(dǎo)引律的可使用性。但仍有2 個問題需要深入研究:①導(dǎo)彈速度可變情況下的導(dǎo)引律設(shè)計;②目標(biāo)運動狀態(tài)不完全可知情況下的導(dǎo)引律設(shè)計。

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