毛瑞石，李 忠，鄧新文

(91388 部隊91 分隊，廣東 湛江 524022)

在許多應(yīng)用中，都需要用到高階自適應(yīng)濾波器。仿射投影算法是NLMS 算法的多維推廣，其收斂性能與歸一化IMS算法相比得到了提高，但增加了計算復(fù)雜度。Gay［1］和Tanaka［2］等提出的快速仿射投影算法大大降低了仿射投影算法的計算復(fù)雜度，在快速仿射投影算法中，采用滑動窗快速橫向濾波器算法計算預(yù)濾波向量，避免了矩陣求逆運算?？焖俜律渫队八惴ǖ挠嬎銖?fù)雜度雖然降低了，但其內(nèi)嵌的滑動窗快速橫向濾波器算法的實現(xiàn)相對復(fù)雜，并且存在數(shù)值穩(wěn)定性問題。仿射投影算法和歸一化LMS 算法的共同點是有限脈沖響應(yīng)濾波器的抽頭權(quán)值在時域進行調(diào)整?？紤]到傅里葉變換將時域映射為頻域，而反變換則將頻域映射為時域，Walzman 和Schwartz［3］指出在頻域進行濾波器參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整同樣可降低輸入信號的相關(guān)性，基于此思想提出了頻域自適應(yīng)濾波算法。在頻域上去相關(guān)的算法包括變換域算法和子帶算法兩大類，其基本思想是將輸入信號變到變換域或者分成子帶信號后，通過調(diào)整每個頻帶的信號功率(或者說是調(diào)整對應(yīng)頻帶的步長)的方法達到白化輸入信號的目的，從而增大步長取值范圍。直接變換自適應(yīng)濾波的典型算法有DCT-LMS 算法、DFT-LMS 算法等。解決長沖激響應(yīng)濾波器問題的另一種方法是子帶自適應(yīng)濾波，它將輸入信號和期望信號分別在子帶空間分解，將信號能量盡量集中在主瓣內(nèi)，通過精確的子帶功率估計加快收斂速度。S.Miyagi 等［4］通過仿真實驗和性能分析證實了子帶算法相比于常規(guī)濾波算法的收斂速度得到了很大的提高。

1 子帶自適應(yīng)濾波器

為了解決輸入信號強相關(guān)情況下LMS 算法收斂速度慢的問題，人們提出了采用子帶算法將全頻帶輸入信號x(k)通過分析濾波器組，得到的信號被下采樣以后再由自適應(yīng)濾波器進行濾波，每個自適應(yīng)濾波器的階數(shù)都低于等價的全頻帶自適應(yīng)濾波器的階數(shù)(采用一個近似等于抽取速率的因子)。圖1 所示是它的基本過程，圖中輸入信號矢量x(k)=［x(k)，x(k-1)，…x(k-N+1)］T經(jīng)過分析濾波器組分解為B 個位于不同頻帶上子帶信號，用xb(k)表示，0≤b ＜B -1，然后在每個子帶上分別進行自適應(yīng)信號處理，再把處理后的信號合成為全頻帶信號進行輸出。將輸入信號分為若干子帶后并在子帶中經(jīng)過嚴格抽取后，每個信號的頻譜比初始的全頻段信號更接近于白噪聲，因此可使每個子帶信號的特征值擴散度相對于全頻帶信號的χ(R)大大減小，并且，隨著子帶數(shù)和抽取比的增加，子帶濾波器長度和子帶信號自相關(guān)矩陣的特征值擴散度都將進一步減小，χ(R)的減小，使得因輸入信號頻譜起伏變化導(dǎo)致的收斂速度慢的問題得到解決，故子帶自適應(yīng)濾波器較好地解決了傳統(tǒng)全頻帶自適應(yīng)濾波器在面對長沖激響應(yīng)模型時所遇到的問題，同時對于每個子帶濾波器來，對應(yīng)每個子帶的自適應(yīng)濾波器階次比全頻帶自適應(yīng)濾波器階次低了很多，使得計算復(fù)雜度大大降低。此外信號被劃分為子帶信號后，可改變子帶信號抽樣率以降低運算復(fù)雜度。降低信號抽樣率的過程稱之為抽取;提高信號抽樣率的變換過程稱之為內(nèi)插。圖中，↓D 為抽取過程;↑D 為內(nèi)插過程;D 為抽取(內(nèi)插)因子。根據(jù)濾波器組對輸入信號頻帶的覆蓋方式不同，子帶分解可分為均勻子帶分解和非均勻子帶分解。均勻子帶分解采用均勻分析濾波器組進行，即輸入信號都被分解為若干個帶寬相等的信號，由于對均勻濾波器組的研究已經(jīng)比較成熟，因此通常都采用均勻子帶分解。本文將以均勻子帶分解為例，對子帶自適應(yīng)濾波器進行研究。

圖1 子帶自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)

2 子帶仿射投影算法

在子帶信號處理中，濾波器組起著非常重要的作用。它由圖中的分析濾波器組Hb(Z)和綜合濾波器組Gb(Z)組成，其中b=0，1…，B-1。在理想情況下，這些濾波器沒有重疊通帶部分，而是共同覆蓋了輸入信號的整個頻帶。由于在原始信號x(k)經(jīng)過頻帶分解后，每個分析濾波器的輸出xb(k)具有與原始信號相同的采樣點數(shù)目，因此所有信號xb(k)的采樣點總數(shù)是原始信號的B 倍，當采用均勻子帶分解，每個子帶都有相同的帶寬，由于每個分析濾波器的輸出帶寬是原始信號的因此在不破壞原始信息的條件下，我們能夠用小于或等于B 的因子D 對每個xb(k)進行抽取，如果D ＞B，則由于混疊現(xiàn)象，會有信息的丟失，將不能恢復(fù)原始信號;當D=B 時，經(jīng)過抽取后的數(shù)據(jù)量相對于輸入信號采樣點保持不變，這種情況稱為臨界(或嚴格地)抽取分析濾波器組，這時在輸出端產(chǎn)生了不希望的混疊分量，引起了信號質(zhì)量的嚴重下降根據(jù)文獻［3］可得用于回聲消除和系統(tǒng)預(yù)測多相位自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)分別如圖2 和圖3 所示，圖中輸入信號x(k)和期望信號d(k)經(jīng)過正交分析濾波器組(h0，h1，…，hB-1)被分解為B 個子帶信號xb(k)、db(k)，0≤i≤B-1，并令Ns×1維向量xbn(k)由xb(k)通過多相分解得到，其中NS為各子帶濾波器的抽頭權(quán)系數(shù)長度，b，n =0，1，…，B -1 為子帶多相分解下標。

圖2 子帶自適應(yīng)回聲消除系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖3 子帶自適應(yīng)系統(tǒng)預(yù)測結(jié)構(gòu)

因用于回聲消除和系統(tǒng)預(yù)測的原理相同，本節(jié)將以圖3所示的系統(tǒng)預(yù)測為例研究基于多相分解結(jié)構(gòu)的子帶自適應(yīng)濾波算法，根據(jù)文獻可得基于多相分解結(jié)構(gòu)的子帶仿射投影算法(Sub-APA)權(quán)系數(shù)更新公式:

式中:

其中:U(k)為BNS×BPS維矩陣;PS為各子帶投影階數(shù);E(k)為BPS×1維向量。

3 基于集員濾波的子帶仿射投影算法

基于多相分解結(jié)構(gòu)的子帶仿射投影算法相對于文獻［4］中提出的基于此同一濾波器結(jié)構(gòu)的LMS 算法收斂性能得到了改善，但因算法在更新濾波器系數(shù)的過程中，不僅用到了系統(tǒng)的當前信息，而且還需利用系統(tǒng)以前的過去PS-1 次迭代時的輸入信號向量，增加了計算復(fù)雜度，針對此問題，可利用集員濾波理論來減少系數(shù)更新次數(shù)，以保證算法性能的同時降低其計算量。

基于多相分解理論，圖3 中自適應(yīng)濾波器系數(shù)可表示為

根據(jù)最小擾動原理，將基于集員濾波的子帶仿射投影算法(Sm-Sub-APA)設(shè)計準則表示為求解如下多約束下最優(yōu)化目標函數(shù):

其約束條件為

利用子帶誤差信號定義和約束條件式(11)得:

根據(jù)上式，可知λ0、λ1可用式(14)表示:

可得B=2 時子帶分解算法權(quán)系數(shù)更新表達式:

利用式(15)推廣到B(B ＞2)個子帶的一般情況，可得算法權(quán)系數(shù)遞歸表達式:

式中:U(k)、Σ-1(k)與子帶仿射投影算法中的相同;Eγ(k)=維 向 量;維向量。

4 仿真結(jié)果

為了檢驗上述集員濾波的子帶仿射投影算法的收斂性能，我們以回聲消除問題為例進行了計算機仿真研究。仿真中回波路徑采用第五章的方法生成，其中ψ 取無窮;自適應(yīng)濾波器的階數(shù)L=256;仿射投影階數(shù)P，PS均為2，步長u 均取0.3，子帶個數(shù)B 分別取2 和4;Sm-Sub-APA 算法中γ 取0.03，期望輸出信號由輸入信號與回波路徑卷積后迭加一個-30 dB 的白高斯觀測噪聲得到，圖4 和圖5 比較了本文提出的Sm-Sub-APA、子帶仿射投影濾波算法(Sub-APA)以及全頻帶仿射投影濾波算法(full-APA)在以上輸入信號條件下的均方誤差收斂曲線和回聲衰減增益性能，由圖中可以看出，Sm-Sub-APA 算法、Sub-APA 算法比full-APA 算法具有更快的收斂速度，Sm-Sub-APA 算法與Sub-APA 算法相比在減少濾波器系數(shù)更新次數(shù)的同時，保持了同樣高的收斂性能，只是穩(wěn)態(tài)誤差略有增加。從圖中可以看出，當子帶個數(shù)B =2 時，Sub-APA 算法在經(jīng)過約3 000次迭代達到穩(wěn)態(tài)并且回聲衰減增益提高到32 dB 左右，Sm-Sub-APA 算法經(jīng)過同樣迭代次數(shù)達到穩(wěn)態(tài)只是回聲衰減增益稍低于32 dB，而full-APA 算法則需要經(jīng)過約4 000次迭代才能夠進入穩(wěn)態(tài)。此外實驗過程中還發(fā)現(xiàn)，通過增大子帶個數(shù)，還可進一步加快速度。

5 結(jié)束語

為了改善高階自適應(yīng)濾波器的收斂速度和實時實現(xiàn)性，借鑒了多相分解子帶自適應(yīng)濾波器和仿射投影算法的基本思想，基于輸入信號為遍歷的寬平穩(wěn)隨機過程的假設(shè)，并結(jié)合集員濾波算法的優(yōu)點，提出了一種集員濾波的子帶仿射投影算法，該算法通過將輸入信號的子帶分量和濾波器權(quán)矢量分解成多相的形式，消除了傳統(tǒng)臨界采樣濾波器混疊的影響，此外應(yīng)用集員濾波理論克服了仿射投影算法在提高收斂速度的同時計算量增加的問題?；芈曄龑嶒灧抡娼Y(jié)果表明:盡管是基于對輸入信號的若干假沒，提出的算法相對于全帶仿射投影算法收斂速度和回波返回損失強度得到了明顯改善，且接近子帶仿射投影算法的性能。

［1］Gay S L，Tavathia S. The fast affine projection algorithm［C］.Proc.ICASSP’95，Detroit USA，1995:3023-3026.

［2］Tanaka M，Kaneda Y，Makino S，et al.A fast projection algorithm for adaptive filtering［J］. IEICE Trans. on Fundamentals of electronics，communications and computer sciences.1995，E78-A(10):1355-1361.

［3］Hun Choi，Hyeon-Deok Bae.Subband Affine Projection Algorithm for Acoustic Echo Cancellation System［J］. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing，2007:146-157.

［4］Pradhan S S，Reddy V U.A new approach to subband adaptive filtering［J］. IEEE Transactions on Signal Processing，1999，47(3):655-664.

［5］崔旭濤，楊日杰，何友.基于DSP 信號處理系統(tǒng)的自適應(yīng)濾波器［J］.兵工自動化，2010(1):63-65.