周海強，李 勇，陳振茂

（西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049）

碳素鋼作為一種強磁性物質，具有良好的強度、硬度、塑性和韌性，且價格低廉，已廣泛應用于工業(yè)生產(chǎn)的各個領域［1］。然而由于腐蝕、磨損、意外載荷等原因可能導致構件表面或內(nèi)部產(chǎn)生缺陷。目前針對鐵磁性材料表面及內(nèi)部缺陷的無損檢測方法有超聲檢測、漏磁檢測［2－3］、電磁超聲檢測和渦流檢測等。由于漏磁檢測和電磁超聲檢測方法都存在外加非均勻強磁場，可能導致材料內(nèi)部產(chǎn)生非均勻磁場，進而由于磁導率和施加磁場的非線性相關引起磁導率的空間/時間變化。顯然，以往采用均勻磁導率不適用于鐵磁材料非均勻磁化問題及相關研究。探究非均勻磁化條件下鐵磁材料內(nèi)部磁場分布至關重要。

目前，對電磁超聲的研究主要采用試驗研究和數(shù)值模擬。裴翠祥等［4］建立了非磁性材料電磁超聲數(shù)值模擬方法，但未考慮鐵磁性材料。鐵磁材料電磁超聲無損檢測數(shù)值模擬的關鍵之一是計算材料內(nèi)部的磁場分布。目前對鐵磁性材料內(nèi)部磁場數(shù)值模擬中，通常假設磁導率是常數(shù)，不考慮非均勻磁化對材料內(nèi)部磁場分布的影響。王慶國等［5］通過建立材料的μr－H函數(shù)關系計算了鐵磁材料內(nèi)部磁感應強度；高俊吉等［6］采用鐵磁區(qū)標量磁位和空氣區(qū)域用矢量H表示的有限元和邊界元耦合算法計算了開域靜磁場。有鑒于此，文章以麥克斯韋方程為理論基礎，基于等效磁極化法開發(fā)了鐵磁材料內(nèi)部的磁化強度計算方法和程序。數(shù)值模擬中采用有限元與邊界元相結合的方法，并采用等效電流模型計算永磁體空間磁場分布。通過對典型問題數(shù)值模擬結果的分析及與ANSYS計算結果進行比對，驗證了方法的有效性。研究成果為鐵磁材料電磁超聲無損檢測數(shù)值模擬研究打下了基礎。

1 數(shù)值計算方法

1.1 靜態(tài)磁場的簡化計算

永磁體在充磁方向上存在一定的剩余磁化強度，也可認為是磁體內(nèi)部分布著一定的磁化電流，使得永磁體對外顯示磁性。對于一般永磁體，剩磁Br通常為常數(shù)，這是由于磁體內(nèi)各點磁化強度M0相同，磁化電流僅分布于磁體表面，其等效面磁化電流Km＝M0×en（en為磁體表面外單位法向矢量）。當磁體內(nèi)部磁化強度不均勻時（主要是靜磁相互作用的影響），除磁體表面外，磁體內(nèi)部還存在有體磁流密度Jm＝▽×M0。確定了磁體內(nèi)磁化電流的分布及大小，就可以根據(jù)畢奧—薩伐爾定律確定空間任意點的磁場強度：

1.2 控制方程

通過引入矢量磁位A和庫侖規(guī)范▽·A＝0，磁準靜態(tài)問題控制方程可寫為：

式中ΩFEM——材料區(qū)域；

ΩBEM——空氣區(qū)域；

μ0——真空中磁導率；

M——鐵磁材料磁化強度；

J0——激勵電流。

對于強磁性材料，其非線性本構關系可以寫為：

根據(jù)磁化強度的定義，M－B關系可用下式表達：

在材料區(qū)域和空氣區(qū)域的分界面上，磁場強度切向分量的連續(xù)條件為［8］：

式中FEM——材料內(nèi)部區(qū)域；

n1——邊界外法向矢量；

BEM——材料外空間；

n2——內(nèi)邊界法向矢量。

根據(jù)有限元和邊界元混合法思想，分別對式（3）進行有限元離散和對式（4）進行邊界元離散，結合邊界條件式（6）即可得有限元－邊界元控制方程為［9］：

式中 ［P］，［K］，［D］，［G］——系數(shù)矩陣；

｛F0｝——和外磁場相關的向量；

｛M｝——虛擬磁化源向量；

［］——和虛擬磁化源相關的系數(shù)矩陣；

｛A｝——待求向量位。

在數(shù)值模擬算法中，首先假設初始磁化｛M0｝＝0，由式（7）和式（5）計算得｛Mi｝。并判斷是否滿足收斂條件‖Mi－Mi－1‖V＜ε。如果不滿足收斂條件，則用｛Mi｝代替｛Mi－1｝對式（7）進行修正，直到能夠滿足收斂條件為止。通過B＝▽×A即可求得材料的內(nèi)部的磁場分布。

2 數(shù)值模擬程序驗證及計算實例

通過改變永磁體和激勵線圈的組合方式，電磁超聲可獲得不同類型的超聲波。而常見的永磁體主要有兩種模型：矩形永磁體和U－型永磁體。

2.1 數(shù)值計算模型

圖1為電磁超聲無損檢測中常見的兩種永磁體模型。模型1中永磁體的尺寸為50mm×25mm×12.5mm，上下面為磁極。模型2中永磁體N極（S極）的尺寸為10mm×20mm×12.5mm，兩極中心間距d0＝40mm，圖中試件為碳素鋼，其尺寸為200mm×200mm×15mm，該材料的B－H曲線如圖2所示。

2.2 程序驗證及計算結果

2.2.1 程序驗證

通過有限元分析軟件ANSYS對模型1進行了計算，得到了材料上表面的磁場強度分布。圖3給出了y＝0截面距表面h＝0.5mm處ANSYS計算結果和程序計算結果的比較。橫坐標為距永磁體中心的距離；縱坐標為磁感應強度。由圖可見該程序的結果與ANSYS計算結果一致性較好，誤差在允許范圍，說明了方法的有效性。

2.2.2 等效磁化電流模型試驗驗證

以長，寬，高分別為a＝50mm，b＝25mm，h＝12.5mm的矩形永磁體為例，充磁方向沿厚度方向，磁體上下面為磁極。首先通過高斯計測得該矩形永磁體上表面中心處的磁感應強度Bz＝0.331 4T，其對應的等效面電流大?。麷M｜＝9.35×105A/m。根據(jù)式（1）計算所得距永磁體上表面中心不同距離處的磁場與實測量值的比較見圖4?；诘刃щ娏髂Ｐ偷挠嬎憬Y果與試驗測試結果具有較好的一致性。

圖4 距永磁體上表面中心h的磁場強度變化曲線

2.2.3 鐵磁體內(nèi)部磁場的分布

通過將永磁體等效為等效電流模型，可求得試件中磁場的分布。在條形永磁體作用下，試件上表面的磁場B的分布如圖5（a）所示，試件上表面的相對磁導率分布如圖5（b）所示。在U型永磁體作用下，試件上表面的磁場B的分布如圖6（a），試件上表面的相對磁導率分布如圖6（b）所示。由圖5（a）和6（a）可得，在永磁體的正下方，鐵磁材料內(nèi)部的磁場強度較大，且磁體的邊緣處磁場強度達到最大，中間磁場強度較小。同時，隨著離磁體距離的增加，磁場強度衰減較快。由圖5（b）和6（b）可得，在材料沒達到磁飽和狀態(tài)時，磁場較大處的相對磁導率也較大，且遠高于平均值。所以在計算磁性材料內(nèi)部磁場時，將磁導率設為常數(shù)將導致較大的誤差。

圖5 矩形永磁體磁感應強度和相對磁導率的分布

圖6 U－型永磁體磁感應強度和相對磁導率的分布

3 結論

基于麥克斯韋方程組和等效磁極化方法，建立了鐵磁體內(nèi)部磁場的數(shù)值模擬的有限元與邊界元法混合法程序。利用開發(fā)程序計算了不同永磁體作用下鐵磁材料內(nèi)部磁感應強度和相對磁導率的分布情況。在外加非均勻磁場作用下，鐵磁材料內(nèi)部的磁場分布也表現(xiàn)出較大的非均勻性。在永磁體正下方，磁場強度較大。在鐵磁材料沒有達到磁飽和的情況下，磁場較大處，其相對磁導率也較大，且遠遠高于其平均值。所以，在計算鐵磁材料內(nèi)部磁場時，將磁導率設為常數(shù)將會帶來較大的誤差。

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