白 冰，李小春，石 露，袁 維，汪海濱

(中國(guó)科學(xué)院巖土力學(xué)與工程國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室，武漢 430071)

1 研究背景

許多介質(zhì)在加載過(guò)程中呈現(xiàn)塑性硬化特性，即介質(zhì)在初始屈服和破壞之間經(jīng)歷一段硬化過(guò)程，強(qiáng)度仍不斷提高。經(jīng)典彈塑性本構(gòu)框架采用初始屈服、后繼屈服(即硬化)和破壞的概念來(lái)描述這些進(jìn)入塑性后的狀態(tài)［1－2］。表現(xiàn)在數(shù)學(xué)上就是初始屈服、塑性硬化和破壞函數(shù)，在三維坐標(biāo)系下，它們是空間曲面，故相應(yīng)地稱為初始屈服面、硬化面(加載面)和破壞面。盡管這3類狀態(tài)在物理上不全相同，甚至差異很大，但在實(shí)用上，通常認(rèn)為破壞面和硬化面是由初始屈服面變化而來(lái)的，或者說(shuō)認(rèn)為初始屈服面和硬化面都和破壞面具有類似的形式。

塑性硬化函數(shù)反映屈服面在應(yīng)力空間中隨著硬化過(guò)程不斷變化的規(guī)律，它決定了塑性應(yīng)變?cè)隽康拇笮?，因此，研究塑性硬化的演化?guī)律對(duì)塑性應(yīng)變?cè)隽康挠?jì)算具有重要意義。隨著塑性變形的增加，硬化面的位置、大小都可能發(fā)生改變，其變化規(guī)律是十分復(fù)雜的。目前關(guān)于硬化規(guī)律尚沒(méi)有一般性的理論［3］，在經(jīng)典塑性力學(xué)中最常用的有3類硬化模式，即等向硬化、隨動(dòng)硬化和混合硬化模型［4］。這3類模式實(shí)質(zhì)都是對(duì)后繼屈服面在空間變化規(guī)律做的額外假定。以等向硬化為例，它假定后繼屈服面的形狀、中心和方位均與初始屈服面相同，只圍繞其中心作相似的擴(kuò)大。這樣，相應(yīng)的硬化函數(shù)只需在初始屈服函數(shù)的基礎(chǔ)上疊加1個(gè)反映塑性變形歷史的硬化項(xiàng)即可。隨動(dòng)硬化和混合硬化也需在硬化函數(shù)中增加屈服面平移或擴(kuò)大項(xiàng)。巖土塑性力學(xué)繼承了經(jīng)典塑性力學(xué)的本構(gòu)框架，這3類模式在許多巖土文獻(xiàn)中被廣泛介紹或引用。但特別是在土的塑性力學(xué)中，也有一些方法不采用上述3類模式。1981年黃文熙先生等提出通過(guò)擬合硬化參量等值面(線)的方法來(lái)得到不同硬化狀態(tài)的硬化函數(shù)，這樣就無(wú)需采用上述3類硬化假設(shè)。Roscoe，魏汝龍等人的Cambridge系列模型以及相關(guān)的修正模型采用屈服函數(shù)的材料系數(shù)(如固結(jié)壓力)作為硬化參數(shù)，也沒(méi)有直接采用上述硬化假設(shè)。關(guān)于通過(guò)調(diào)整屈服函數(shù)中材料參數(shù)的方法作為硬化函數(shù)目前存在不同認(rèn)識(shí)。Flac3D中包含了應(yīng)變硬化/軟化本構(gòu)模型，該模型通過(guò)不斷調(diào)整強(qiáng)度參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)峰后的模擬，但是未見到將這種只調(diào)整強(qiáng)度參數(shù)的方法應(yīng)用于峰前硬化的使用說(shuō)明。而史永勝等［5］認(rèn)為，對(duì)于巖土介質(zhì)雙強(qiáng)度參數(shù)的等向硬化/軟化模型中，應(yīng)該在初始屈服函數(shù)以及硬化項(xiàng)中均應(yīng)動(dòng)態(tài)演化內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角參數(shù)。因此，如果單純從破壞后區(qū)來(lái)看，這顯然與Flac3D的方法似乎是有矛盾的。

巖土介質(zhì)異常復(fù)雜，硬化和破壞在物理機(jī)制上也是不同的。盡管在工程計(jì)算中破壞判斷(包括峰值點(diǎn)和峰后軟化區(qū))和塑性變形計(jì)算都很重要，但本研究范圍僅限于峰前塑性硬化。

本文試圖以分析上述矛盾作為出發(fā)點(diǎn)，在峰前硬化階段引入虛強(qiáng)度參數(shù)概念，提出一個(gè)基于既有屈服/破壞函數(shù)的塑性硬化模式。將最常用的屈服/破壞函數(shù)直接推廣應(yīng)用于描述峰前塑性硬化。

2 峰前硬化階段的強(qiáng)度參數(shù)

嚴(yán)格而言，固體的強(qiáng)度與破壞在理論上還沒(méi)有普適的、被廣泛接受的確切定義，但對(duì)于工程巖土力學(xué)，在應(yīng)力－應(yīng)變曲線的峰值點(diǎn)及峰值后區(qū)認(rèn)為介質(zhì)處于破壞狀態(tài)是被廣泛采用的。Coulumn-Mohr準(zhǔn)則的黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ就是巖土屈服或破壞時(shí)所展示出來(lái)的真實(shí)強(qiáng)度參數(shù)。但是，在峰值以前的塑性硬化階段，介質(zhì)在不斷加載過(guò)程中承載能力不斷提高，并沒(méi)有達(dá)到破壞，因此，在塑性硬化階段一般不提強(qiáng)度參數(shù)c和φ等。然而，根據(jù)破壞時(shí)的c和φ的求取方法，在硬化階段總是可以得到(比如擬合出)c和φ的數(shù)值，因此，不妨稱硬化階段得到的c和φ值為虛強(qiáng)度參數(shù)。

下面對(duì)峰前硬化階段的虛強(qiáng)度參數(shù)的獲得進(jìn)行具體說(shuō)明。為此先來(lái)看峰值點(diǎn)處破壞函數(shù)的擬合方法，我們以Coulomb準(zhǔn)則為例進(jìn)行說(shuō)明。以截面剪應(yīng)力、壓應(yīng)力表示的Coulomb準(zhǔn)則［6］如式(1)所示，在巖土介質(zhì)中該準(zhǔn)則通常既被用作屈服準(zhǔn)則，也被用作破壞準(zhǔn)則，相應(yīng)地，c，φ分別取屈服和破壞時(shí)的參數(shù)值。

為了擬合該準(zhǔn)則，需要進(jìn)行不同應(yīng)力條件下的一系列試驗(yàn)，例如不同圍壓下的常規(guī)三軸試驗(yàn)，如圖1。然后，利用所有峰值點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行擬合。為了清晰，我們將圖1中峰值點(diǎn)用L5線連接，這表示這些應(yīng)力點(diǎn)處于同一個(gè)破壞面上。

圖1 不同圍壓下典型應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.1 Typical stress-strain curves under different confining pressures

在峰值前的硬化階段，我們選擇一個(gè)標(biāo)識(shí)塑性硬化狀態(tài)的硬化參量(常用的有塑性偏應(yīng)變、塑性體應(yīng)變、塑性功以及新近發(fā)展的一些應(yīng)力路徑無(wú)關(guān)硬化參量等)，然后將各條曲線上具有相同硬化參量值的應(yīng)力點(diǎn)連接起來(lái)，認(rèn)為這些點(diǎn)具有相同的硬化狀態(tài)因而處于相同的硬化面上，對(duì)其采用與破壞面相同的方式進(jìn)行擬合，也會(huì)得到相應(yīng)的c，φ值，這就是硬化段的虛強(qiáng)度參數(shù)。圖1中L1至L4分別代表4個(gè)硬化狀態(tài)，各條線上的應(yīng)力點(diǎn)擬合即可分別得到一組該硬化狀態(tài)對(duì)應(yīng)的虛c，φ值。

有些模型中包含的直接參數(shù)不是c，φ值，但都可以采取上面類似的方法從試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到。

3 基于虛強(qiáng)度參數(shù)的塑性硬化模型

等向硬化函數(shù)可寫成如下形式:

kα是與塑性歷史有關(guān)的硬化參量。該式表示后繼屈服的任一狀態(tài)，其硬化函數(shù)都是由初始屈服函數(shù)f(σ)通過(guò)記錄塑性歷史的硬化系數(shù)H(kα)變來(lái)的。初始屈服函數(shù)是其特例，表示為

文獻(xiàn)［5］將其歸結(jié)為單強(qiáng)度參數(shù)型的等向硬化函數(shù)，認(rèn)為巖土類介質(zhì)屈服面至少含有2個(gè)強(qiáng)度參數(shù)，其后繼屈服面形式和單強(qiáng)度型的屈服面不同，認(rèn)為在巖土介質(zhì)中，仍然采用式(2)作為后繼屈服函數(shù)是錯(cuò)誤的，正確的形式應(yīng)為

式中c為內(nèi)聚力，φ為內(nèi)摩擦角，并且被認(rèn)為是塑性歷史參數(shù)κ的非負(fù)函數(shù)，即

可見，在巖土介質(zhì)中具體如何采用硬化函數(shù)還是有爭(zhēng)議的。筆者認(rèn)為，對(duì)于包含c，φ的硬化函數(shù)，將其f和H中的c，φ同時(shí)更新，從理論上來(lái)說(shuō)是值得商榷的。如果同時(shí)更新c，φ，那么式(4)的含義就是表示通過(guò)不斷更新了的f(σ，c，φ)面(而不是通過(guò)初始屈服面f(σ))的等向擴(kuò)大來(lái)得到加載面，但這時(shí)H就不應(yīng)是整個(gè)塑性歷史的函數(shù)，而應(yīng)是臨近2個(gè)加載步的塑性增量的函數(shù)。因此，我們認(rèn)為式(2)這種利用初始屈服面來(lái)映射到任一加載狀態(tài)的硬化面更加可行。即如果將材料參數(shù)顯式表示出來(lái)，式(4)應(yīng)改寫成下式:

式中c0，φ0為初始屈服時(shí)的強(qiáng)度參數(shù)。

現(xiàn)在雖然澄清了硬化函數(shù)中材料參數(shù)(如c，φ，也可能是其它材料參數(shù))的使用問(wèn)題，但式(2)或式(6)需要假設(shè)塑性硬化系數(shù)H。

通過(guò)上述分析我們認(rèn)為，下式(7)形式的方程也可以用作塑性硬化函數(shù)。其中，ai為破壞面f中與塑性演化相關(guān)的材料參數(shù)，可以有多個(gè)。

式(6)取消了等向硬化假定引入的硬化系數(shù)H(kα)，在不改變屈服(破壞)面函數(shù)形式的前提下，通過(guò)修改其包含的與塑性演化相關(guān)的材料參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)塑性硬化的表征。

當(dāng)介質(zhì)處于破壞狀態(tài)時(shí)，式(7)中的材料參數(shù)ai恰為材料的強(qiáng)度參數(shù)，在塑性硬化階段，這些強(qiáng)度參數(shù)實(shí)際上是不存在的，現(xiàn)在又強(qiáng)制將其進(jìn)行動(dòng)態(tài)演化，因此，在硬化階段它們實(shí)際上是虛的強(qiáng)度參數(shù)。故把式(7)形式的塑性硬化函數(shù)稱為“基于虛強(qiáng)度參數(shù)的塑性硬化函數(shù)”。

4 基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的虛強(qiáng)度參數(shù)演化

在介紹基于虛強(qiáng)度參數(shù)的具體硬化函數(shù)之前，利用作者完成的一組煤巖三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，研究虛強(qiáng)度參數(shù)隨塑性硬化參量的變化規(guī)律。圖2為15～50 MPa圍壓下煤巖三軸加卸載試驗(yàn)應(yīng)力－應(yīng)變曲線［9］。

圖2 不同圍壓下煤巖加卸載應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.2 Stress-strain curves of coal rock samples under different confining pressures

圖3至圖4分別為虛內(nèi)聚力和虛內(nèi)摩擦角隨硬化參量的變化規(guī)律，其中，硬化參量的計(jì)算方法見文獻(xiàn)［7］和［8］。其擬合函數(shù)將在后文基于Coulomb-Mohr準(zhǔn)則及其強(qiáng)度參數(shù)的塑性硬化函數(shù)研究中應(yīng)用。圖5至圖6分別為虛α和虛κ隨硬化參量的變化規(guī)律，α和κ為Drucker-Prager準(zhǔn)則中的強(qiáng)度參數(shù)。擬合函數(shù)將在后文研究基于Drucker-Prager準(zhǔn)則及其強(qiáng)度參數(shù)的硬化函數(shù)時(shí)采用。這些虛強(qiáng)度參數(shù)與所選塑性偏剪應(yīng)變之間呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系。圖3至圖6相應(yīng)擬合的線性函數(shù)如下(應(yīng)力單位:MPa):

圖3 虛內(nèi)聚力與硬化參量的關(guān)系Fig.3 Relation between virtual cohesion force and hardening parameter

圖4 虛內(nèi)摩擦角與硬化參量的關(guān)系Fig.4 Relation between virtual internal friction angle and hardening parameter

圖5 虛強(qiáng)度參數(shù)α的演化Fig.5 Relation between virtual strength parameter α and hardening parameter

圖6 虛強(qiáng)度參數(shù)k的演化Fig.6 Relation between virtual strength parameter k and hardening parameter

5 基于虛強(qiáng)度參數(shù)的硬化函數(shù)實(shí)例

5.1 基于Coulomb-Mohr準(zhǔn)則及其強(qiáng)度參數(shù)的塑性硬化函數(shù)

首先來(lái)看 Coulomb-Mohr準(zhǔn)則的塑性硬化函數(shù)［10］，如式(1)所示，其中 c，φ 被寫為硬化參量的線性擬合函數(shù)，此處算例采用式(8)、式(9)的線性函數(shù)得到，如下式:

圖7給出了后繼屈服軌跡隨ˉγp的演化規(guī)律，圖8則是硬化函數(shù)斜率隨硬化參數(shù)的變化特征?？梢钥吹?隨著塑性硬化參量ˉγp的增長(zhǎng)，上述硬化函數(shù)的軌跡在σ1軸上的截距及斜率同時(shí)增大，使得硬化軌跡向外逐漸擴(kuò)大，從而體現(xiàn)出后繼屈服面的擴(kuò)大?？梢?，不通過(guò)引入關(guān)于強(qiáng)化規(guī)律的假定，仍然可以表現(xiàn)塑性硬化規(guī)律。尤其對(duì)于具有斜率非等值硬化特征的材料用本方法更合理。

圖7 基于Coulomb-Mohr準(zhǔn)則的主應(yīng)力空間中塑性硬化軌跡的演化Fig.7 Evolution of hardening locus based on Coulomb-Mohr criterion

圖8 基于Coulomb-Mohr準(zhǔn)則的屈服軌跡斜率隨硬化參量的變化Fig.8 Evolution of the slope of hardening locus based on Coulomb-Mohr criterion

5.2 基于Drucker-Prager準(zhǔn)則及其強(qiáng)度參數(shù)的塑性硬化函數(shù)

再來(lái)看Drucker-Prager準(zhǔn)則的塑性硬化函數(shù)［10］，如式(13)所示，其中強(qiáng)度參數(shù) α，κ 被寫成 ˉγp的線性擬合函數(shù)，下面算例中此2參數(shù)采用式(10)和式(11)。

圖9 基于Drucker-Prager準(zhǔn)則的主應(yīng)力空間中塑性硬化軌跡的演化Fig.9 Evolution of hardening locus based on Drucker-Prager criterion

圖10 基于Drucker-Prager準(zhǔn)則的屈服軌跡斜率隨硬化參量的變化Fig.10 Evolution of the slope of hardening locus based on Drucker-Prager criterion

圖9給出了后繼屈服軌跡隨ˉγp的演化規(guī)律，圖10則是硬化函數(shù)斜率隨硬化參數(shù)的變化特征?？梢钥吹?，同上述Coulomb－Mohr準(zhǔn)則的塑性硬化函數(shù)的變化類似，隨著塑性硬化參量ˉγp的增長(zhǎng)，硬化函數(shù)的軌跡在q軸上的截距及斜率同時(shí)增大，使得硬化軌跡向外逐漸擴(kuò)大。因此，本模型同樣能夠反映等向擴(kuò)大的同時(shí)，斜率非等值硬化的特征。

為了進(jìn)一步考察上述Drucker-Prage硬化模型的有限元模擬特性，將其嵌入筆者開發(fā)的CoalSeep程序，模擬了21 MPa圍壓下的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系。圖11為21 MPa圍壓下軸向應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系模擬值與試驗(yàn)值對(duì)比。從圖11可以看出:拐點(diǎn)A是彈性和塑性的分界值，之前的彈性階段與試驗(yàn)值擬合的非常一致，拐點(diǎn)過(guò)后為本模型的塑性硬化階段，在拐點(diǎn)A與交點(diǎn)C之間的硬化階段，應(yīng)力的計(jì)算值比試驗(yàn)值稍小，峰值點(diǎn)的計(jì)算強(qiáng)度比試驗(yàn)值稍偏大。在硬化階段，計(jì)算曲線較接近直線，這表明模型的硬化參數(shù)對(duì)切線剛度矩陣影響很小。關(guān)于本文提出的硬化模型同傳統(tǒng)硬化模型的比較需要進(jìn)一步細(xì)致的工作。

圖11 21MPa圍壓下軸向應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系模擬值與試驗(yàn)值對(duì)比Fig.11 Comparison between the simulation results of stress-strain curve using plastic hardening function based on pseudo-strength parameters and the test data under confining pressure of 21MPa

6 結(jié)語(yǔ)

介質(zhì)的塑性硬化規(guī)律尚沒(méi)有一般性的理論，常采用等向硬化、隨動(dòng)硬化和混合硬化的假定。筆者認(rèn)為這些關(guān)于硬化模式的假定不是必須的。破壞函數(shù)的材料參數(shù)本身就蘊(yùn)涵了介質(zhì)硬化信息，直接修改破壞函數(shù)的材料參數(shù)并用作硬化函數(shù)即可體現(xiàn)介質(zhì)的硬化過(guò)程。本文提出了一個(gè)基于虛強(qiáng)度參數(shù)的塑性硬化規(guī)律，即認(rèn)為只需將破壞函數(shù)的材料參數(shù)替換為塑性硬化參量的函數(shù)，便可以實(shí)現(xiàn)既避免硬化規(guī)律的先驗(yàn)假設(shè)，又可體現(xiàn)介質(zhì)的硬化過(guò)程。

采用一組煤巖的三軸加卸載試驗(yàn)數(shù)據(jù)，研究了基于Coulomb-Mohr準(zhǔn)則和基于Drucker-Prager準(zhǔn)則及其強(qiáng)度參數(shù)的塑性硬化函數(shù)。結(jié)果表明:這2個(gè)函數(shù)的塑性硬化軌跡在應(yīng)力空間中以平移和旋轉(zhuǎn)2種方式體現(xiàn)介質(zhì)的塑性硬化過(guò)程，這也是本文硬化模式的一個(gè)特色，顯然和傳統(tǒng)的等向硬化、隨動(dòng)硬化和混合硬化是不同的。

在本文中，選擇廣義塑性剪應(yīng)變作為塑性硬化參數(shù)，帶有一定的主觀性。嚴(yán)格而言，應(yīng)選擇應(yīng)力路徑無(wú)關(guān)塑性硬化參數(shù)，但嚴(yán)格與應(yīng)力路徑無(wú)關(guān)又與試驗(yàn)資料符合良好的硬化參量仍在研究中。本文作者所建議的硬化研究的思想不局限于本文列舉的幾個(gè)硬化模型，而是可應(yīng)用于一般的硬化函數(shù)。

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