卞躍威，夏才初，肖維民，朱合華

(同濟(jì)大學(xué)a.巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;b.土木工程學(xué)院地下建筑與工程系，上海 200092)

1 研究背景

地下工程施工中發(fā)生的大變形、突然坍塌，以及已竣工的地下結(jié)構(gòu)經(jīng)歷一定的時(shí)間后發(fā)生的失穩(wěn)破壞，推進(jìn)了巖石蠕變和損傷特性的研究工作［1－7］。包含損傷因子的本構(gòu)方程，能夠描述巖石等脆性材料的第 3 階段蠕變(加速蠕變段)［8－15］。

損傷的發(fā)展包括損傷因子變化歷程和損傷起始點(diǎn)2個(gè)方面。損傷的變化歷程取決于損傷因子的定義［5］，將損傷因子對(duì)于時(shí)間求導(dǎo)便可得到相應(yīng)的損傷變化量;單純從材料的蠕變曲線觀察，損傷的起始點(diǎn)是定常蠕變之末［16］，但是對(duì)于某一類特定的巖石材料而言，如需要將這一現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)表示成材料應(yīng)力、應(yīng)變的數(shù)學(xué)表達(dá)式，其基本的思路同巖石材料中塑性屈服面的定義。Chan等人認(rèn)為共軛應(yīng)力功的度量值大于零時(shí)，為巖石材料的損傷起始點(diǎn)［9］;Aubertin＆Simon［17］則依據(jù)巖石材料的屈服準(zhǔn)則，假定當(dāng)應(yīng)力水平達(dá)到一定程度時(shí)為損傷的起始點(diǎn)［17］。這2種損傷起始準(zhǔn)則都認(rèn)為巖石損傷的起始取決于其內(nèi)部的應(yīng)力狀態(tài)，它們?cè)趹?yīng)力空間中為一固定的曲面。而巖石損傷的誘發(fā)和發(fā)展機(jī)制為應(yīng)力的增加或變形的累積導(dǎo)致材料中的微裂隙和微缺陷的出現(xiàn)和發(fā)展［6］，所以，即使巖石的應(yīng)力狀態(tài)處于Chan和Aubertin＆Simon所定義的損傷起始面以下時(shí)，也可能會(huì)由于蠕變應(yīng)變的累積，使得材料產(chǎn)生損傷而進(jìn)入加速蠕變階段，并最終破壞。

本文在Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則［18］的基礎(chǔ)之上，結(jié)合Aubertin＆Simon關(guān)于巖石損傷起始點(diǎn)的定義［17］，并且考慮蠕變應(yīng)變的影響，定義了巖石損傷起始準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則為應(yīng)力、塑性變形和蠕變變形的函數(shù);并且假定瞬時(shí)塑性變形只引起巖石材料的塑性硬化，而蠕變變形只引起巖石的軟化。這在應(yīng)力空間中主要表現(xiàn)為隨著蠕變應(yīng)變的增加損傷起始面逐漸縮小，其極限情況是與巖石的初始屈服面重合。這種現(xiàn)象與巖石等脆性材料的蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果是一致的。

2 考慮蠕變的損傷起始準(zhǔn)則

確定巖石的損傷起始準(zhǔn)則需要對(duì)同一種巖石進(jìn)行多個(gè)不同應(yīng)力水平的蠕變?cè)囼?yàn)直至巖石試件破壞。當(dāng)應(yīng)力水平較低時(shí)，需要較長(zhǎng)的時(shí)間試件才能達(dá)到損傷起始點(diǎn)，所以這樣的試驗(yàn)需要浪費(fèi)大量的時(shí)間，但是如果選擇較大的應(yīng)力水平時(shí)，往往在加載的過(guò)程中就會(huì)發(fā)生瞬時(shí)破壞，很難得到巖石試樣的全過(guò)程蠕變曲線。Bieniawski［19］曾經(jīng)采用常應(yīng)變率單軸壓縮試驗(yàn)研究砂巖的蠕變特性，試驗(yàn)中軸向應(yīng)變速率分別為

試驗(yàn)表明:巖石的單軸抗壓強(qiáng)度隨著應(yīng)變速率的增加而增加，而殘余強(qiáng)度則隨著應(yīng)變速率的增加而減小，并且達(dá)到峰值強(qiáng)度之時(shí)所對(duì)應(yīng)巖石總的軸向應(yīng)變也隨著應(yīng)變率的增加而減少(見(jiàn)圖1)。由于巖石的軸向蠕變應(yīng)變可表示為其中:εtotal為總的應(yīng)變，相當(dāng)于圖1中的 εaxial;εe為彈性應(yīng)變，隨著應(yīng)力增大而增加;εp為瞬時(shí)塑性應(yīng)變，隨著應(yīng)力梯度增大而增加。圖1所示的單軸壓縮試驗(yàn)中，隨著應(yīng)變率的增加，峰值強(qiáng)度增加，并且，峰值應(yīng)力點(diǎn)處總應(yīng)變減小，瞬時(shí)塑性應(yīng)變?cè)黾?，彈性變形也增加，因而由前面式子可?隨著應(yīng)變率的增加，蠕變應(yīng)變?chǔ)與會(huì)減小。從而可見(jiàn)考慮蠕變應(yīng)變后，巖石的強(qiáng)度會(huì)有所下降，即巖石表現(xiàn)出蠕變軟化特性，這種特性也可以通過(guò)碳質(zhì)板巖的多級(jí)加載單軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)得到驗(yàn)證，見(jiàn)圖2。

圖1 砂巖單軸壓縮試驗(yàn)全應(yīng)力－應(yīng)變曲線［19］Fig.1 Stress-strain curves obtained from uniaxial compressive tests on sandstone［19］

圖2 碳質(zhì)板巖單軸壓縮試驗(yàn)應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.2 Stress-strain curves obtained from uniaxial creep tests on carbonaceous slate

多級(jí)加載單軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)中，可以得到圖2所示的全應(yīng)力－應(yīng)變曲線，其中OA為加載過(guò)程中瞬時(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線，而OB為加載到某一應(yīng)力水平并經(jīng)歷一段時(shí)間，產(chǎn)生蠕變變形后，總的應(yīng)力－應(yīng)變曲線。當(dāng)軸向應(yīng)力瞬時(shí)增加到38.3 MPa(圖2中A點(diǎn))時(shí)，對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)應(yīng)變?yōu)?.82×10－2，巖石并沒(méi)有出現(xiàn)破壞的跡象，則可以推測(cè)瞬時(shí)加載情況下，巖石強(qiáng)度應(yīng)該大于A點(diǎn)的應(yīng)力水平，所以A點(diǎn)以后的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系會(huì)沿著圖2中所示的箭頭發(fā)展。保持載荷恒定，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間(約為59 min)，產(chǎn)生的軸向蠕變應(yīng)變?yōu)?.6×10－3，對(duì)應(yīng)的總應(yīng)變?yōu)?.68×10－2(圖2中B點(diǎn))，試件破壞，破壞以后巖石失去承載能力，所以B點(diǎn)以后巖石的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系會(huì)沿著B(niǎo)處的箭頭所示方向發(fā)展?？紤]蠕變以后，巖石的單軸抗壓強(qiáng)度明顯低于瞬時(shí)抗壓強(qiáng)度，其原因在于蠕變對(duì)巖石材料的劣化作用。劣化的機(jī)制是受力過(guò)程中巖石內(nèi)部的微裂紋成核并發(fā)展［5］，即巖石內(nèi)部損傷的啟動(dòng)和發(fā)展。

在恒定載荷作用下，蠕變變形累積效應(yīng)達(dá)到一定量值，即損傷起始點(diǎn)，則微裂紋擴(kuò)展和貫通，巖石的有效承載面積會(huì)減小，從而內(nèi)部真實(shí)應(yīng)力增加更進(jìn)一步加速材料的劣化。圖3為一組紅砂巖在恒定應(yīng)力水平下的蠕變破壞試驗(yàn)，在應(yīng)力水平較低時(shí)，σaxial=52.8 MPa，試樣經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的時(shí)間 (t=12.67 h)，才出現(xiàn)加速蠕變段，此時(shí)對(duì)應(yīng)的軸向蠕變應(yīng)變?yōu)?.31 ×10－4;在較高應(yīng)力水平，σaxial=58.31 MPa，試樣達(dá)到第三蠕變階段所需要的時(shí)間較短(t=2.83 h)，相應(yīng)的蠕變應(yīng)變值為5.13 ×10－4。所以，損傷起始點(diǎn)與應(yīng)力水平和蠕變應(yīng)變絕對(duì)量值的大小有一定的關(guān)系，如圖3(b)所示。這與前面Bieniawski實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果基本是一致的。

圖3 紅砂巖蠕變損傷及破壞(單軸抗壓強(qiáng)度為80 MPa)Fig.3 Creep damage and rupture of red sandstone(under 80 MPa uniaxial strength)

Aubertin＆ Simon［17］根據(jù)巖石全應(yīng)力應(yīng)變曲線總結(jié)出巖石損傷的起始準(zhǔn)則，認(rèn)為巖石損傷的起始點(diǎn)介于初始屈服和最終破壞點(diǎn)之間，通常約為巖石單軸抗壓強(qiáng)度的50%～90%，在應(yīng)力空間中損傷起始面為介于初始屈服面和破壞面之間的與破壞面相似的曲面，只取決于所承受的應(yīng)力水平，與巖石的變形無(wú)關(guān)?；谶@一認(rèn)識(shí)，Aubertin＆Simon提出了由應(yīng)力分量構(gòu)成的損傷起始準(zhǔn)則［17］，準(zhǔn)則的形式與巖石的破壞準(zhǔn)則［20］相同，只是將破壞準(zhǔn)則中代表巖石單軸抗壓和抗拉強(qiáng)度的參數(shù)σc和σt替換為損傷起始時(shí)刻圍巖的單軸壓應(yīng)力σcd和拉應(yīng)力σtd。

如果圍巖的破壞遵循 Drucker-Prager準(zhǔn)則［19］，即

其中:

式中:取壓應(yīng)力為正值;σe為等效應(yīng)力;σm為平均應(yīng)力;σii為主應(yīng)力張量之和;Sij為偏應(yīng)力張量，Sij=σij－ δijσm;σij為應(yīng)力張量;δij為克羅內(nèi)克爾記號(hào);α，k為巖石參數(shù)。

參數(shù)k取決于材料的應(yīng)力狀態(tài)，例如［21］:

當(dāng)材料受單軸壓力時(shí)，

當(dāng)材料受單軸拉力時(shí)，

當(dāng)材料受純剪應(yīng)力時(shí)，

式中:σc，σt，τf分別為巖石的單軸抗壓強(qiáng)度、單軸抗拉強(qiáng)度和抗剪強(qiáng)度。

綜合以上各式，可將k表示為更為一般的形式，

式中:σf為破壞點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的第二偏應(yīng)力不變量的平方根。

按照 Aubertin＆ Simon［17］的方法，可以將式(1)中的參數(shù)k替換為損傷起始時(shí)刻對(duì)應(yīng)的kd，并且將I1，J2代換為σm和σe，從而得到損傷起始準(zhǔn)則在σm－σe平面內(nèi)的表達(dá)式為

其中:

式中:β為損傷起始準(zhǔn)則在σm－σe平面上所形成的曲線與σm軸的夾角;d為損傷起始準(zhǔn)則在σe軸上的截距;σd為損傷起始時(shí)刻對(duì)應(yīng)的等效應(yīng)力。

式(3)為不考慮蠕變應(yīng)變軟化時(shí)的巖石損傷起始準(zhǔn)則，損傷起始點(diǎn)介于初始屈服面與破壞面之間。因此，損傷產(chǎn)生以前的材料服從塑性硬化準(zhǔn)則，瞬時(shí)塑性應(yīng)變的增加使得巖石內(nèi)部產(chǎn)生晶格位錯(cuò)［22］;損傷開(kāi)始以后，巖石內(nèi)部出現(xiàn)沿著最大主應(yīng)力方向開(kāi)展的裂紋［23］，如果存在瞬時(shí)塑性應(yīng)變，則損傷和硬化現(xiàn)象同時(shí)存在，達(dá)到峰值強(qiáng)度時(shí)，巖石內(nèi)部微裂紋貫通并且凝聚成核［24］，則硬化作用已經(jīng)消失，損傷起主導(dǎo)作用，材料強(qiáng)度逐漸降低。

根據(jù)Ludwik方程所描述的關(guān)系［25－26］可以將式(3)中的等效應(yīng)力σd表示為初始屈服時(shí)刻的等效應(yīng)力和等效瞬時(shí)塑性應(yīng)變的函數(shù)，假定當(dāng)?shù)刃矔r(shí)塑性應(yīng)變達(dá)到時(shí)，開(kāi)始出現(xiàn)損傷，那么

巖石的破壞準(zhǔn)則與蠕變應(yīng)變相關(guān)性已經(jīng)為眾多的研究者所證實(shí)［27－31］。由前面分析表明損傷起始準(zhǔn)則與巖石的蠕變應(yīng)變也存在著類似的相關(guān)性——隨著蠕變應(yīng)變的增加，損傷起始應(yīng)力逐漸減小。試驗(yàn)觀測(cè)表明:材料的損傷起始應(yīng)力可能與蠕變應(yīng)變速率成線性關(guān)系［30］，也可能與材料的蠕變應(yīng)變呈某對(duì)應(yīng)關(guān)系，即:ξ= ξ()，其中ξ為與蠕變變形有關(guān)的軟化參數(shù)［29］，為蠕變應(yīng)變張量。基于以下幾點(diǎn)，本文亦采用Ludwik方程描述巖石的蠕變應(yīng)變軟化特性:①瞬時(shí)塑性應(yīng)變硬化和蠕變應(yīng)變軟化公式形式上一致，利于數(shù)學(xué)處理;②根據(jù)圖3(b)損傷應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系可知損傷起始應(yīng)力隨著蠕變應(yīng)變的增加呈現(xiàn)非線性衰減趨勢(shì)。因而

將式(4)代入式(5)得到

綜合式(3)至式(6)，可以得到考慮蠕變效應(yīng)的損傷起始準(zhǔn)則為

式(7)所表示的損傷起始準(zhǔn)則在π平面上形成的曲面為介于初始屈服面與破壞面之間的隨著蠕變應(yīng)變?cè)黾佣湛s的同心圓。如圖4所示，其中損傷起始面所組成的同心圓半徑為

其中:

圖4 損傷起始面在π平面上的曲線Fig.4 Damage initiation surface on the deviator stress plane

應(yīng)力空間中，損傷起始面可以通過(guò)以下2種試驗(yàn)方案確定:①對(duì)同一類巖石進(jìn)行至少一組(包含3個(gè)試樣)壓縮試驗(yàn)，并且每個(gè)試樣的圍壓都不相同，然后再做至少一組蠕變破壞試驗(yàn)(包含3個(gè)試樣);②采用Fossum提出的多階段試驗(yàn)方案［32］，對(duì)一個(gè)試樣進(jìn)行不同圍壓的加卸載試驗(yàn)(至少包含3種不同圍壓)，然后再至少做一組蠕變破壞試驗(yàn)(包含3個(gè)試樣)。

圖5 巖石壓縮試驗(yàn)全過(guò)程應(yīng)力－應(yīng)變曲線［17］Fig.5 Stress-strain curves obtained from compressive tests on rocks［17］

3 分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

由公式(7)確定的損傷起始面在σm－σe平面上為一系列平行于破壞面和屈服面的曲線，如圖6所示，蠕變效應(yīng)使得損傷起始面與σe軸的截距呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，這與Reiner(1960)關(guān)于蠕變應(yīng)變對(duì)屈服面的影響研究結(jié)果［27］是相似的。

圖6 σm-σe平面內(nèi)的損傷起始面Fig.6 Damage initiation surface in σm-σeplane

準(zhǔn)則假定巖石在拉伸應(yīng)力作用下的損傷特性與壓縮時(shí)是一致的，而實(shí)際的拉伸試驗(yàn)表明:在拉伸情況下，一旦巖石內(nèi)部出現(xiàn)微小的缺相或裂隙，則迅速破壞［12，23，33］，在單軸拉伸的情況下，巖石的損傷起始點(diǎn)與巖石的初始屈服點(diǎn)基本上是同一個(gè)應(yīng)力水平σT 0［34－35］，而壓縮時(shí)損傷并非在初始屈服點(diǎn)處。所以，與屈服準(zhǔn)則相類似引入拉伸屈服強(qiáng)度和壓縮屈服強(qiáng)度比值ω，可以將式(7)中的σe替換為應(yīng)力組合形式 t［21］:

式中:J3為第三偏應(yīng)力不變量。

再將式(7)中的σm替換為I1，可以得到

式中:t0為初始屈服時(shí)刻材料內(nèi)的應(yīng)力組合t的值。

當(dāng)不考慮蠕變對(duì)材料的劣化效應(yīng)，即c2=0，那么損傷起始準(zhǔn)則退化為式(3)，c2≥0的限制條件保證了應(yīng)力空間中損傷起始面總是位于塑性屈服面之下，這點(diǎn)符合試驗(yàn)觀察結(jié)果。

如果忽略壓縮試驗(yàn)中材料的塑性硬化特性，則材料的初始屈服應(yīng)力和峰值強(qiáng)度相同，那么公式(5)中的瞬時(shí)損傷起始點(diǎn)與材料的峰值強(qiáng)度時(shí)對(duì)應(yīng)的等效應(yīng)力相等，即

將式(11)代入式(7)得到:

同樣可以采用式(7)表示受壓時(shí)巖石的損傷起始準(zhǔn)則。

單軸受力狀態(tài)下，σ3=0，式(12)簡(jiǎn)化為式(13)兩邊同時(shí)約去1－tanβ/3，則反映單軸壓縮情況下?lián)p傷起始應(yīng)力隨著蠕變應(yīng)變的增加而減小的趨勢(shì)。

例如，紅砂巖的單軸壓縮試驗(yàn)，由瞬時(shí)加載試驗(yàn)得到單軸抗壓強(qiáng)度為σCU=80 MPa。即等效蠕變應(yīng)變=0損傷起始應(yīng)力為σ1=80 MPa。另外再進(jìn)行5次蠕變?cè)囼?yàn)得到等效蠕變應(yīng)變與損傷起始應(yīng)力，見(jiàn)表1。

表1 單軸壓縮試驗(yàn)中蠕變應(yīng)變及考慮蠕變效應(yīng)的損傷起始應(yīng)力Table 1 Creep strains and corresponding initial stresses of damage in uniaxial compressive creep tests

用式(13)擬合上表等效蠕變應(yīng)變及其對(duì)應(yīng)的損傷起始應(yīng)力得到:c2=3.49 ×1021，ω =6.42。理論值和實(shí)測(cè)值的峰值應(yīng)力隨蠕變應(yīng)變的發(fā)展規(guī)律見(jiàn)圖7，可見(jiàn)理論公式能夠和試驗(yàn)的實(shí)測(cè)值較好地吻合。

圖7 紅砂巖損傷起始點(diǎn)和蠕變應(yīng)變關(guān)系(試驗(yàn)和理論計(jì)算結(jié)果)Fig.7 Relationship between damage initiation and creep strain of red sandstone(test and theoretical results)

4 結(jié)論

結(jié)合Aubertin＆ Simon［17］損傷起始點(diǎn)的定義，在Drucker-Prager準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上提出了巖石損傷起始準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則主要有以下特點(diǎn):

(1)充分考慮了蠕變對(duì)巖石損傷的的影響，與不考慮蠕變效應(yīng)的單純應(yīng)力表示的損傷起始準(zhǔn)則相比，更加合理。

(2)采用Ludwik方程描述巖石損傷起始面與蠕變應(yīng)變的關(guān)系，能夠很好地解釋蠕變破壞試驗(yàn)中巖石損傷起始應(yīng)力隨著蠕變應(yīng)變?cè)黾佣蔷€性減小的現(xiàn)象。

(3)依據(jù)該損傷起始準(zhǔn)則，巖石即使在常應(yīng)力作用下，蠕變量的增加也會(huì)導(dǎo)致?lián)p傷發(fā)展;應(yīng)力水平越高則達(dá)到損傷起始點(diǎn)需要的時(shí)間越少，相應(yīng)的蠕變應(yīng)變量也越小;應(yīng)力水平低則達(dá)到損傷起始點(diǎn)所需要的時(shí)間越長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的蠕變應(yīng)變量較大。(4)損傷起始準(zhǔn)則中包含的材料參數(shù)可以通過(guò)常規(guī)三軸試驗(yàn)和單軸蠕變?cè)囼?yàn)很方便地加以確定。

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