陳漢新, 張 琰, 劉 岑

(武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分析[1]是現(xiàn)代故障診斷技術(shù)的主要組成部分.為了能準(zhǔn)確估計(jì)機(jī)器的剩余使用壽命，進(jìn)而進(jìn)行行之有效的保養(yǎng)和維護(hù)，必須檢測(cè)出故障的早期類(lèi)型以及其發(fā)展趨勢(shì).齒輪箱振動(dòng)圖譜中最重要的部分便是由嚙合頻率以及其諧波和調(diào)制現(xiàn)象所帶來(lái)的邊頻帶這幾部分構(gòu)成.故障類(lèi)型不同，帶來(lái)的邊頻的數(shù)量和振幅也不盡相同.邊頻帶是均勻地分布在中心頻率周?chē)念l率成分.中心頻率也叫載波頻率，即齒輪的嚙合頻率.齒輪故障可以只在一個(gè)齒輪上產(chǎn)生，一般叫做裂紋，也可以在多個(gè)齒輪上產(chǎn)生，便叫剝落，在這些故障齒輪嚙合的過(guò)程中便產(chǎn)生了調(diào)制現(xiàn)象.最終，嚙合頻率以及其諧波產(chǎn)生了一系列邊頻并分布在整個(gè)范圍內(nèi)，且間隔的數(shù)值為轉(zhuǎn)頻的大小[2].

近幾年針對(duì)齒輪的故障涌現(xiàn)出許多有效的故障診斷方法.文獻(xiàn)[3]通過(guò)Morlet小波對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行特征提取，繼而對(duì)齒輪的不同裂紋尺寸進(jìn)行故障識(shí)別.文獻(xiàn)[4]用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)和傅立葉變換(FFT)相結(jié)合的方法能有效地對(duì)齒輪箱故障進(jìn)行分類(lèi).文獻(xiàn)[5]采用序貫概率比檢驗(yàn)方法對(duì)多種裂紋故障進(jìn)行區(qū)分.

小波變換是齒輪箱故障診斷中應(yīng)用最為廣泛的一種方法，因?yàn)樗苷宫F(xiàn)振動(dòng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率，并且用能量分布來(lái)描述頻率從一個(gè)瞬時(shí)到另一個(gè)瞬時(shí)的變化趨勢(shì)[6-8].希爾伯特變換在齒輪的故障診斷中是一種高效的解調(diào)方式[9].僅僅用希爾伯特變換和小波變換來(lái)從眾多故障頻率成分中找出特征頻率是非常困難的.因此提出一種新的希爾伯特變換和自適應(yīng)小波變換的線性組合來(lái)解調(diào)齒輪振動(dòng)信號(hào).結(jié)果表明了這種新方法對(duì)故障信號(hào)的診斷精度有了很大程度的提高.

1 希爾伯特變換

希爾伯特變換是實(shí)值函數(shù)在時(shí)域上的卷積，通過(guò)卷積將實(shí)值時(shí)間序列映射到另一個(gè)實(shí)值時(shí)間序列上.表示為

H[x(t)〗=1π∫∞-∞x(t)t-πdτ

(1)

其中，t表示時(shí)間，x(t)是時(shí)域信號(hào)，H[x(t)]是x(t)的希爾伯特變換.正因?yàn)橄柌刈儞Q是與頻率無(wú)關(guān)的90°相位移動(dòng)，希爾伯特變換后調(diào)制信號(hào)的非穩(wěn)態(tài)頻率成分不會(huì)改變.幅值和相位調(diào)制函數(shù)都可以通過(guò)希爾伯特變換提取出來(lái).解調(diào)過(guò)程通過(guò)復(fù)數(shù)時(shí)域信號(hào)完成，這個(gè)復(fù)數(shù)時(shí)域信號(hào)也可以稱(chēng)為解析信號(hào)，記作A[x(t)].

A[x(t)]=x(t)+iH[x(t)]=

(2)

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的時(shí)域信號(hào)可以將實(shí)部虛部這種表示方式變換為幅值相位的表達(dá)方式：

(3)

希爾伯特變換能產(chǎn)生復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的時(shí)間序列.這些復(fù)數(shù)的幅值就是這里要求的包絡(luò)值，而且可以通過(guò)邊頻帶估計(jì)振動(dòng)信號(hào)的調(diào)制頻率.

2 自適應(yīng)小波變換

高斯小波是最常用的非正交復(fù)小波.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)自適應(yīng)高斯小波函數(shù)定義如下：

ψp(t)=

(4)

φ(t)=

(5)

自適應(yīng)高斯小波基可以通過(guò)調(diào)整時(shí)域頻域的分辨率以及時(shí)頻中心來(lái)得到最佳振動(dòng)信號(hào)，這種方式與小波分解方式截然不同.為了提取時(shí)變振動(dòng)信號(hào)的特征值，基函數(shù)ψp(t)定位在時(shí)頻聯(lián)合分布范圍內(nèi)，權(quán)值Bp反映振動(dòng)信號(hào)的局部特性.參數(shù)σp、tp、fp的選取要盡可能使ψp(t)和φ(t)的值接近.參數(shù)σp主要作用是調(diào)整ψp(t)函數(shù)的帶寬以確保振動(dòng)信號(hào)的其他變量.自適應(yīng)頻譜圖(ADS)可以通過(guò)以下函數(shù)獲得：

φp(t)=φp-1(t)-Bp-1ψp-1(t)

(6)

(7)

其中σp∈R+,tp∈R+,fp∈[0,+∞].式(7)中的指數(shù)函數(shù)項(xiàng)其實(shí)就是維格納威利分布的標(biāo)準(zhǔn)高斯函數(shù).ADS的能量分布如下：

(8)

φ(t)的能量分布和式(8)中ADS(t,f)得到的能量分布是相同的.ADS可以看做是振動(dòng)信號(hào)時(shí)頻范圍內(nèi)的能量分布.該自適應(yīng)頻譜圖具有非負(fù)，無(wú)交叉干擾項(xiàng)，高分辨率等特性.

本文的核心思路就是從信號(hào)φ(t)中提取出公式(5)中的最優(yōu)參數(shù).步驟如下：

1)運(yùn)用希爾伯特變換得到振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)值.

2)將p設(shè)置為1，代入公式(6)中得到最優(yōu)參數(shù).

3)用基于粒子群算法的最優(yōu)化方法去搜尋公式(7)中的優(yōu)化參數(shù)(Bp,fp,tp,σp)；公式(6)的最小均方根(LMS)將做為粒子群算法(PSO)的目標(biāo)函數(shù)，最終通過(guò)粒子群算法和最小均方根得到所需要的待優(yōu)化參數(shù)(Bp,fp,tp,σp).公式如下：

(9)

在整個(gè)求優(yōu)化參數(shù)的過(guò)程中，得到的參數(shù)集(Bp,fp,tp,σp)要使Ep值最小.

4)將所求的第一組參數(shù)值(B1,f1,t1,σ1)代入公式(5)得到原始信號(hào)的能量值φ1，再代入公式(6)得到剩余信號(hào)能量值φ2，然后通過(guò)剩余信號(hào)量φ2作為下一次循環(huán)的初始量，重復(fù)上述步驟得到下一組優(yōu)化參數(shù)(B2,f2,t2,σ2)，依此類(lèi)推，將得到一系列優(yōu)化參數(shù)組(B1,f1,t1,σ1)×(B2,f2,t2,σ2)×(Bn,fn,tn,σn).

5)將上述優(yōu)化參數(shù)序列代入公式(7)得到ADS值.

3 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法[11-13](PSO)是1995年由美國(guó)社會(huì)心理學(xué)家James Kennedy和電氣工程師Russell Eberhart 共同提出的算法，最初只是模擬鳥(niǎo)類(lèi)的覓食過(guò)程，通過(guò)群體合作實(shí)現(xiàn)最優(yōu)搜索.

PSO算法從鳥(niǎo)類(lèi)模型中歸納出用于解決優(yōu)化問(wèn)題的方法.在PSO中，每個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的解都是搜尋空間中的一只鳥(niǎo),記為“粒子”.每個(gè)粒子都有兩個(gè)變量決定他們的方向和距離：位置和速度.這兩個(gè)變量通過(guò)每一次的迭代進(jìn)行更新，繼而粒子群就追尋當(dāng)前的最優(yōu)粒子在空間中繼續(xù)搜索.

在PSO算法的每一次迭代中，粒子通過(guò)兩個(gè)“極值”來(lái)更新自己.第一個(gè)就是粒子當(dāng)前搜尋到的最優(yōu)解，記為個(gè)體極值pBest.另一個(gè)即整個(gè)粒子群當(dāng)前搜尋到的最優(yōu)解，記作全局極值gBest.

用數(shù)學(xué)模型表示如下：在一個(gè)D維的空間中，由n個(gè)粒子組成的種群，X=(X1,X2,ΛXn),其中第i個(gè)粒子的當(dāng)前位置Xi=(Xi1,Xi2,ΛXiD).第i個(gè)粒子的速度為Vi=(Vi1,Vi2,ΛViD)，其個(gè)體極值為Pi=(Pi1,Pi2,ΛPiD)，種群的全局極值為Pg=(Pg1,Pg2,ΛPgD).更新公式如下：

(10)

(11)

其中，w為慣性權(quán)重；k為當(dāng)前迭代次數(shù)；Vid為粒子的速度；Xid為粒子的位置；c1,c2為加速度因子；r1,r2為分布于[0,1]之間的隨機(jī)數(shù).為減少粒子搜索的工作量，通常將其位置和速度分別控制在一定的區(qū)間：[-Xmax,Xmax],[-Vmax,Vmax].將LMS作為粒子群優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)，即

每個(gè)粒子都需要求其目標(biāo)函數(shù)，本文將目標(biāo)函數(shù)也作為適應(yīng)度函數(shù)，Ep的最小值即為所求適應(yīng)度函數(shù)值.

4 齒輪箱實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)

試驗(yàn)信號(hào)采集是從齒輪箱的SpectraQuest動(dòng)態(tài)模擬器中得到的.在齒輪箱的垂直和水平方向各固定一個(gè)PCB352C67加速器，通過(guò)DSP20-42型信號(hào)分析儀，將采集的振動(dòng)信號(hào)輸入到電腦中并儲(chǔ)存.齒輪箱的測(cè)試系統(tǒng)如圖1所示，齒輪3和齒輪4垂直方向上的沖擊力產(chǎn)生振動(dòng)，因此選擇垂直方向上的傳感器更容易提取質(zhì)量較好的振動(dòng)信號(hào).實(shí)驗(yàn)選取齒輪3或齒輪4來(lái)模擬故障.齒輪3與齒輪4之間的齒嚙合相當(dāng)于加載在懸臂梁上的動(dòng)態(tài)載荷，梁的最大撓度由梁末端處所受的作用力、梁的長(zhǎng)度、材料的楊氏模量以及梁的慣性力矩所決定.齒輪4的長(zhǎng)度和慣性力矩都比齒輪3大，故本實(shí)驗(yàn)選用齒輪3來(lái)模擬故障.

圖1 齒輪箱測(cè)試系統(tǒng)圖Fig.1 The diagram of gearbox testing system

一般實(shí)驗(yàn)?zāi)M的齒輪故障模式主要包括:齒輪裂紋，表面疲勞剝落，膠合磨損等形式.由參考文獻(xiàn)[14]可知，齒輪裂紋是較容易測(cè)量的故障模式，所以本實(shí)驗(yàn)中選取裂紋來(lái)模擬齒輪的故障模式.

為了了解裂紋深度和寬度同時(shí)變化對(duì)振動(dòng)信號(hào)的影響，本實(shí)驗(yàn)裂紋的深度和寬度均不采用固定值.假設(shè)a為弦齒厚的一半，b為齒面寬度.選取一個(gè)正常齒輪F1和三個(gè)故障齒輪F2、F3、F4進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，齒輪的4種模式如表1所示.

表1 四種齒輪故障模式Table 1 Four gear fault modes

本實(shí)驗(yàn)的樣本頻率設(shè)為2.56×1 024 Hz.采樣點(diǎn)數(shù)設(shè)為2 048.齒輪箱的轉(zhuǎn)速設(shè)為1 000 r/min，最大力矩載荷為41.42 N·m.齒輪的轉(zhuǎn)速和特征頻率是由發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速和傳動(dòng)比決定的.轉(zhuǎn)速、特征頻率和力矩的總結(jié)如表2所示.表2中，f1表示軸1和齒輪1之間的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率；f2表示軸2和齒輪2、齒輪3之間的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率；f3表示軸3和齒輪4之間的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率；f12表示齒輪1和齒輪2之間的嚙合頻率；f34表示齒輪3和齒輪4之間的嚙合頻率.

表2 齒輪箱的轉(zhuǎn)速和頻率Table 2 Rotational speeds and frequencies of the gearbox

5 結(jié)果與討論

5.1 模擬信號(hào)

這里先用模擬信號(hào)來(lái)驗(yàn)證公式(4)提出的自適應(yīng)方法.信號(hào)cos(2π·1 560t)+cos(2π·1 600t)在區(qū)間[0,0.5]之間被調(diào)制頻率為40 Hz和80 Hz的調(diào)制信號(hào)所調(diào)制.其中80 Hz的頻率在區(qū)間(0,0.099)s和區(qū)間(0.301,0.5) s分布，模擬調(diào)制頻率隨時(shí)間的變化過(guò)程.幅值(A)調(diào)制和相位調(diào)制同時(shí)存在于該模擬信號(hào)中.(1 560+40) Hz的頻率成分在這里設(shè)置為和原始信號(hào)的其中一個(gè)頻率1 600 Hz是相同的.Rand(t)代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的高斯白噪聲.

(12)

模擬信號(hào)的樣本頻率為4×1 024 Hz.將本文所提出的方法用在該模擬信號(hào)上得到調(diào)制信號(hào)的40 Hz和80 Hz的頻率成分.具體操作步驟如下：

首先，用希爾伯特變換得到模擬信號(hào)的包絡(luò)信號(hào).圖2(a)顯示了公式(12)所示信號(hào)的頻譜.在1 600 Hz周?chē)泻芏噙咁l帶：1 520 Hz,1 560 Hz,1 680 Hz.該圖中并未見(jiàn)明顯的40 Hz和80 Hz頻率成分出現(xiàn).

圖2 模擬信號(hào)頻譜和模擬信號(hào)包絡(luò)頻譜Fig.2 Spectrum of the simulated signal and the simulated signal envelope with hilbert transform

其次，用希爾伯特變換分析圖2(a)中的包絡(luò)信號(hào).

圖2(b)顯示了包絡(luò)信號(hào)的功率譜，其中清晰可見(jiàn)40 Hz和80 Hz頻率成分，但是卻沒(méi)有將載頻1 560 Hz和1 600 Hz，調(diào)制頻率40 Hz和80 Hz及其倍頻區(qū)分開(kāi)來(lái).

為了將40 Hz和80 Hz頻率成分從希爾伯特變換得到的包絡(luò)信號(hào)中解調(diào)出來(lái)，就需要使用前面提到的自適應(yīng)頻譜的方式.圖3描述了圖2(b)所示包絡(luò)信號(hào)的自適應(yīng)頻譜，40 Hz和80 Hz的頻率成分在圖中清晰可見(jiàn)，特別是圖3(b)中的80 Hz和公式(12)中顯示的時(shí)間間隔一模一樣.由此可見(jiàn)，本文提出的基于希爾伯特變換和自適應(yīng)頻譜方法對(duì)解決模擬信號(hào)的解調(diào)問(wèn)題非常有效.

圖3 模擬信號(hào)包絡(luò)的自適應(yīng)頻譜Fig.3 The adaptive spectrogram of the simulated signal envelope from hilbert transform

5.2 實(shí)驗(yàn)信號(hào)

實(shí)驗(yàn)信號(hào)來(lái)自于SpectraQuest動(dòng)態(tài)模擬器.當(dāng)齒輪發(fā)生故障，比如裂紋時(shí)，齒輪箱傳感器上接收到的振動(dòng)信號(hào)便包含了幅值和相位的調(diào)制.嚙合頻率的調(diào)制問(wèn)題就產(chǎn)生了邊頻帶.邊頻帶一般是軸頻或是其倍頻.就像在第4部分描述的那樣，齒輪3上有裂紋，如圖2(a)便由調(diào)制產(chǎn)生了邊頻帶，或是間隔一倍軸頻，或是其諧頻.這里將應(yīng)用上面提出的方法來(lái)得到實(shí)驗(yàn)信號(hào)的解調(diào)頻率成分.

為了找到齒輪3產(chǎn)生的調(diào)制頻率，先用希爾伯特變換處理實(shí)驗(yàn)振動(dòng)信號(hào)，如圖4所示.圖4顯示了正常和故障兩種模式下的希爾伯特變換包絡(luò)信號(hào)的功率譜密度.圖4(a)顯示了齒輪4產(chǎn)生的中心頻率成分為7.14 Hz.齒輪1，2和齒輪3，4的嚙合頻率為190.48 Hz和285.71 Hz也清晰可見(jiàn).圖4(b)中清晰可見(jiàn)齒輪4產(chǎn)生的中心頻率7.14 Hz和齒輪3、4的嚙合頻率為285.71 Hz.雖然在圖4中可以找到7.14 Hz和285.71 Hz的頻率成分，并且他們的幅值還都不相同，但齒輪3、4產(chǎn)生在中心頻率旁的邊頻也同時(shí)存在.所以?xún)H僅使用功率譜密度并不足以確定故障的存在.

圖4 希爾伯特變換包絡(luò)信號(hào)功率譜密度圖譜Fig.4 Power desity spectrum of the hilbert transform envelope of the experimental vibration signals

這里用自適應(yīng)高斯小波函數(shù)去解調(diào)軸的轉(zhuǎn)頻和齒輪時(shí)頻范圍內(nèi)的嚙合頻率.自適應(yīng)高斯小波的作用就是提取出振動(dòng)信號(hào)的特征頻率.圖5和圖6分別顯示了實(shí)驗(yàn)振動(dòng)信號(hào)的希爾伯特包絡(luò)的自適應(yīng)時(shí)頻分布：正常狀態(tài)和故障狀態(tài).圖5顯示的是正常狀況下實(shí)驗(yàn)信號(hào)的自適應(yīng)圖譜(0～30 Hz),顯示的是齒輪1和齒輪4的轉(zhuǎn)頻：3.97 Hz和7.14 Hz.圖6顯示的是故障齒輪3的轉(zhuǎn)頻11.9 Hz.通過(guò)比較圖5和圖6可以明顯區(qū)分故障齒輪.通過(guò)上述討論，當(dāng)齒輪出現(xiàn)裂紋時(shí)，故障齒輪的轉(zhuǎn)頻和嚙合頻率都會(huì)出現(xiàn).圖5和圖6顯示的結(jié)果就證明了本文所提出的方法可以有效地提取出解調(diào)頻率，如本實(shí)驗(yàn)的齒輪3的軸頻11.9 Hz，也可以很明顯地區(qū)分故障齒輪.

圖5 正常狀況下希爾伯特變換包絡(luò)信號(hào)的自適應(yīng)圖譜Fig.5 The adaptive spectrogram of the experi-mental vibration signal envelope from hilbert transform under normal condition

圖6 故障狀況下希爾伯特變換包絡(luò)信號(hào)的自適應(yīng)圖譜Fig.6 The adaptive spectrogram of the experi-mental vibration signal envelope from hilbert transform under faulty condtion

6 結(jié) 語(yǔ)

以上所提出的基于自適應(yīng)小波和粒子群算法的方法能有效地提取調(diào)制頻率成分和嚙合頻率找到故障齒輪.運(yùn)用自適應(yīng)小波可以提取出更多的特征信息，同時(shí)，粒子群算法優(yōu)化了自適應(yīng)小波的過(guò)程參數(shù)，使最終的時(shí)頻分析具有較高的分辨率.本文通過(guò)模擬信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)來(lái)共同驗(yàn)證該方法的可靠性，結(jié)果表明，自適應(yīng)小波和粒子群算法的結(jié)合比單純的小波分析提高了時(shí)頻域分辨率，即能夠在高分辨率下有效的提取和區(qū)分解調(diào)頻率.

致謝：本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)由加拿大阿爾伯塔大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院可靠性研究實(shí)驗(yàn)室提供.國(guó)家自然科學(xué)基金，教育部新世紀(jì)高校杰出人才計(jì)劃，湖北省教育廳對(duì)該項(xiàng)目提供了支持.

參考文獻(xiàn)：

[1] 安妮, 徐建民. 齒輪箱振動(dòng)的故障診斷與分析[J]. 武漢工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2011,33(12):70-72.

[2] Hoseini M, Mandal M K, Zuo M J, et al. Gearbox fault diagnosis using Hilbert transform and segmented regression.Proceedings of the Fifth International Conference on Condition.Monitoring & Machinery Failure Prevention Technologies[J]. Edinburgh Scot-land UK,2008(18):650-656.

[3] 陳漢新, 王慶軍, 陳緒兵, 等.基于解調(diào)振動(dòng)信號(hào)特征提取齒輪箱的故障診斷[J]. 武漢工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 32(9): 67-77.

[4] 賀文杰, Bajolet Julien, Yoann Plassard, 等. 基于EMD和FFT的齒輪箱故障診斷[J]. 武漢工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 33(1): 65-70.

[5] 尚云飛, 陳漢新, 孫魁. 面向齒輪箱故障診斷的序貫概率比檢驗(yàn)理論和方法[J]. 武漢工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 33(12): 65-69.

[6] Li Zhen, He Zhengjia, Zi Yanyang, et al. Rotating machinery fault diagnosis using signal-adapted lifting scheme[J].Mechanical Systems and Signal Proce-ssing，2008,22(3):542-556.

[7] Yuan Shengfa, Chu Fulei. Fault diagnosis based on support vector machines with parameter optimisationby artificial immunisationalgorithm[J].Mecha-nical Systems and Signal Processing,2007,21(3):1318-1330.

[8] Chen H X, Chua P S K, Lim G H. Vibration Ana-lysis With Lifting Scheme and Generalized Cross Validation in Machinery Fault Diagnosis[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007,301(3-5):458-480.

[9] Cheng Junsheng, Yu Dejie, Yang Yu. Energy oper-ator demodulating approach based on EMD and its application in mechanical fault diagnosis[J]. Chinese Jounal of Mechanical Engineering,2004,40(8):115-118.

[10] Qian S, Chen D. Signal representation using adap-tive normalized Gaussian functions[J]. Signal pro-cessing, 1994,36(1):1-11.

[11] 張麗平. 粒子群優(yōu)化算法的理論及實(shí)踐[D]. 杭州: 浙江大學(xué), 2005.

[12] Angeline P J. Evolutionary Optimization Versus Particle Swarm Optimization: Philosophy and Perf-ormance Differences[J]．Proc Seventh Annual Conf-erence On Evolutionary Programming，1998，48(17):256-260．

[13] 李桂芝, 何萬(wàn)里, 錢(qián)偉懿. 基于改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化電梯群控系統(tǒng)[J]. 渤海大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007, 28(1): 42-45.

[14] Fakhfakh T, Chaari F, Hadder M. Numerical and Experimental Analysis of a Gear System with Teeth Defects[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2005,25(5-6):542-550.