王 琛，方彥軍

(武漢大學(xué)自動(dòng)化系，武漢430072)

近年來，隨著人類海洋活動(dòng)的日益頻繁，水聲傳感器網(wǎng)絡(luò)以其在海洋資源勘探、環(huán)境監(jiān)測(cè)以及軍事防御等眾多領(lǐng)域的應(yīng)用潛力，引起了國內(nèi)外研究學(xué)者的廣泛關(guān)注[1－3]。由于水聲網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)通常由電池供電，而目前水下充電技術(shù)尚不成熟，且在水下大范圍更換電池成本太高，因此降低節(jié)點(diǎn)能耗以延長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)生命期就顯得尤為重要。

目前已有許多針對(duì)降低水聲網(wǎng)絡(luò)能耗的路由協(xié)議和 MAC(Medium Access Control)協(xié)議被提出[4－8]，但并未重視水聲信號(hào)的傳播特性。文獻(xiàn)[9]在分析水聲信號(hào)傳播特性后指出，多跳模式可以有效減少節(jié)點(diǎn)功耗，同時(shí)能增加可用帶寬，有望成為下一代水聲網(wǎng)絡(luò)的組網(wǎng)策略;在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[10]指出直線等距的多跳網(wǎng)絡(luò)模型相對(duì)于二維或三維模型能耗更低，但并未給出理論證明。與之類似的問題在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中也有研究，如文獻(xiàn)[11－12]分別證明了AWGN信道和多跳網(wǎng)絡(luò)的總能耗在直線等距的拓?fù)湎伦畹汀?/p>

不過，與陸地?zé)o線信道相比，水下信道的傳輸條件要惡劣得多，數(shù)據(jù)包在傳輸過程中發(fā)送失敗、丟包等情況更為頻繁[13]，為保證水下網(wǎng)絡(luò)的可靠通信，通常會(huì)有鏈路層的恢復(fù)機(jī)制(如檢錯(cuò)重發(fā)或使用前向糾錯(cuò)碼等)，由此而帶來的能耗在前述對(duì)能量最小路徑的研究中并未考慮。

本文通過建立可靠通信的多跳水聲網(wǎng)絡(luò)能耗模型，研究給定接收信噪比條件下的網(wǎng)絡(luò)能量最小路徑問題，證明了可變發(fā)送功率和固定發(fā)送功率兩種模式下，直線等距網(wǎng)絡(luò)的總能耗最小，并給出最優(yōu)跳數(shù)和最優(yōu)距離的求解方法。

1 系統(tǒng)模型

1.1 水聲傳播損失與噪聲

根據(jù)Urick的傳播模型[14]，頻率為 f kHz的水聲信號(hào)傳輸距離d km時(shí)的傳播損失A(d，f)的分貝形式為:

等式(1)右邊第1部分為擴(kuò)展損失，第2部分為衰減損失。式中dref為參考距離(通常取值為1 m)，κ為衰減因子(一般介于1到2之間);α(f)為頻率性的吸收系數(shù)(單位為dB/km)，可通過Thorp公式[15]得到。在某些較低的頻率區(qū)域，α(f)常由下面的經(jīng)驗(yàn)公式獲得[16]:

水下環(huán)境噪聲受潮汐、湍流、海面的風(fēng)浪、船舶擾動(dòng)及熱噪聲等多種因素的影響，其功率譜密度N(f)隨載波頻率的升高而降低，在特定的頻率區(qū)間可采用如下經(jīng)驗(yàn)公式近似表示[16]

其中 N0=50 dB re μ Pa，η=18 dB/decade。

本文假設(shè) κ=1.5，α(f)和 N(f)分別由式(2)和式(3)計(jì)算得出。

1.2 多跳網(wǎng)絡(luò)模型

考慮一個(gè)二維多跳網(wǎng)絡(luò)模型，源節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)相距為D，通過任意分布的K－1個(gè)中繼節(jié)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)通信(如圖1所示)。源節(jié)點(diǎn)用N0表示，目的節(jié)點(diǎn)用Nk表示，中繼節(jié)點(diǎn)表示為Ni，i=1，…，K－1，其中K 為跳數(shù)。采用文獻(xiàn)[17]中的表示，設(shè)第i條鏈路的距離di滿足di=φiD，不難得出(其中代表直線路徑)。

圖1 二維多跳網(wǎng)絡(luò)模型

對(duì)此網(wǎng)絡(luò)模型做如下假設(shè):(1)節(jié)點(diǎn)只能半雙工通信，這意味著節(jié)點(diǎn)不能同時(shí)處于發(fā)送和接收狀態(tài);(2)鏈路的連通性僅限于相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間，因此不考慮節(jié)點(diǎn)間的合作機(jī)制以及網(wǎng)絡(luò)的空間重用;(3)節(jié)點(diǎn)可以選用固定發(fā)送功率和可變發(fā)送功率兩種模式，但同一網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)所用模式相同;(4)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都具備檢錯(cuò)重發(fā)數(shù)據(jù)的功能。

1.3 可靠通信的能量模型

一條鏈路傳輸一個(gè)數(shù)據(jù)包所需的能耗E包括發(fā)送數(shù)據(jù)包的能耗Et和接收并處理數(shù)據(jù)包的能耗Ec:

Et可通過發(fā)送功率Pt乘以發(fā)送時(shí)間得到，L為數(shù)據(jù)包長(zhǎng)(單位bit)，ρ為調(diào)制帶寬效率(單位bit/s/Hz)，B(d)為可用帶寬(單位 kHz)，隨距離的增加而變小[10]。對(duì)于給定的目標(biāo)接收信噪比γtgt，

其中ξ是聲功率(單位為dB re μ Pa)轉(zhuǎn)換為電功率(單位為 Watt)的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

Ec與鏈路的距離無關(guān)，且通常遠(yuǎn)小于Et，因此本文假設(shè)Ec為固定值。則式(4)可轉(zhuǎn)化為

若設(shè)鏈路誤包率為p，則確保數(shù)據(jù)包傳輸成功所需的發(fā)送次數(shù)是一個(gè)幾何分布的隨機(jī)變量，且平均發(fā)送次數(shù)為1/(1－p)[18]。因此，鏈路可靠傳輸一個(gè)數(shù)據(jù)包的能耗

2 AN積的簡(jiǎn)化

從式(7)可以看出，鏈路可靠傳輸?shù)哪芎闹饕Q于A(d，f)N(f)(簡(jiǎn)稱AN積)，其包含傳輸距離d和信號(hào)頻率f兩個(gè)變量，研究起來比較復(fù)雜。本節(jié)將研究AN積的性質(zhì)，尋求f和d之間的關(guān)系，以便簡(jiǎn)化計(jì)算。

2.1 AN積的性質(zhì)

由式(1)～式(3)可得出分貝形式的AN積:

圖2畫出了不同傳輸距離時(shí)的AN積與信號(hào)頻率的關(guān)系。從圖2可以看出有如下性質(zhì)。

圖2 不同傳輸距離時(shí)的AN積與信號(hào)頻率的關(guān)系

性質(zhì)1對(duì)于給定的傳輸距離d，存在一個(gè)最優(yōu)頻率fo(d)使AN積最小，即

證明 將ANdB對(duì)f求導(dǎo)，其一階導(dǎo)數(shù)滿足

故存在頻率f=fo(d)使

此時(shí)ANdB達(dá)到最小值。證畢。

2.2 d與fo(d)的關(guān)系

性質(zhì)1表明，距離為d的鏈路采用fo(d)作為信號(hào)頻率時(shí)AN積最小。若能得出d與fo(d)的函數(shù)關(guān)系，則可將式(7)轉(zhuǎn)化為僅含d一個(gè)變量的表達(dá)式。為此，將ANdB對(duì)d求導(dǎo)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為零

從上式無法得到fo(d)關(guān)于d的閉式解。為此，將上式的數(shù)值解通過MATLAB曲線擬合得到兩個(gè)擬合度較好的曲線 fo(d)=adβ和 fo(d)=adβ+χ，其參數(shù)見表1，其中SSE(Sum of Squares due to Error)為和方差，RMSE(Root Mean Squared Error)為均方根。注意到式(12)中f均為偶次方冪，而擬合曲線中參數(shù)β與0.5十分接近，因此我們采用如下函數(shù)作為擬合曲線以簡(jiǎn)化計(jì)算:

表1 最優(yōu)頻率擬合曲線及其參數(shù)

其 SSE 為2.6207，RMSE 為0.2196。圖3給出了該曲線(實(shí)線)與數(shù)值解(圓圈)的示意圖，從圖3可以看到，該曲線擬合度令人滿意。

圖3 最優(yōu)頻率與距離的關(guān)系

2.3 AN積的簡(jiǎn)化表達(dá)

將式(13)代入式(8)即可得到

注意到g(d)是d的單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)間'(d)＞0。

3 能量最小路徑分析

本節(jié)利用第2節(jié)得到的AN積的近似表達(dá)式來分析可變發(fā)送功率VTP(Variable Transmission Power Strategy)和固定發(fā)送功率FTP(Fixed Transmission Power Strategy)兩種情況下的能量最小路徑。

在可變功率情況下，節(jié)點(diǎn)通過調(diào)整發(fā)送功率以保證信號(hào)到達(dá)目的節(jié)點(diǎn)時(shí)有相同的目標(biāo)接收信噪比γtgt。在此情況下，若各鏈路信號(hào)頻率變化不大時(shí)，傳輸距離越大的鏈路需要越高的發(fā)送功率。

在固定功率情況下，各節(jié)點(diǎn)的發(fā)送功率相同。為保證各鏈路的接收信噪比不低于γtgt，此時(shí)各鏈路的發(fā)送功率應(yīng)選擇AN積最大鏈路的發(fā)送功率。盡管與可變功率相比，固定功率對(duì)能量的利用效率明顯較低，但對(duì)其研究也是必要的，因?yàn)槟壳按蟛糠炙暪?jié)點(diǎn)不具備調(diào)節(jié)發(fā)送功率的功能。

3.1 可變功率的能量最小路徑

由式(7)，鏈路i的可靠傳輸能耗

則網(wǎng)絡(luò)可靠傳輸?shù)目偰芎臑?/p>

將近似的AN積代入，則可變功率的能量最小路徑問題可以轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問題:

其中變量為di。該優(yōu)化問題的解由以下定理給出。

定理1對(duì)于節(jié)點(diǎn)任意分布的多跳水聲網(wǎng)絡(luò)，若各節(jié)點(diǎn)采用可變功率模式，且各鏈路接收信噪比不低于給定的目標(biāo)接收信噪比，則直線等距路徑使可靠傳輸?shù)木W(wǎng)絡(luò)總能耗最小。

證明 構(gòu)造該優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù)

其中 λ≥0 為拉格朗日乘子，d=(d1，d2，…，dK)。則其KKT條件(Karush-Kuhn-Tucker Condition)為:

由第1組優(yōu)化條件可知，對(duì)任意的i，Χ(di)=10g(di)·g'(di)為固定值，由 Χ(d)=10g(d)·g'(d)的單調(diào)性(Χ'(d)＞0)可知 d1=d2=…=dK，為等距網(wǎng)絡(luò);同時(shí)，第一組條件表明λ0，因此不難從第2個(gè)條件得出，為直線網(wǎng)絡(luò);進(jìn)而可得KKT對(duì)，其中 λ*可由式(19)得出。另一方面，考察其切空間中的任意 y≠0，有 yTH(d*，λ*)y＞0，其中H(d*，λ*)為該優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù)在(d*，λ*)處的 Hesse矩陣[19]，故能保證 KKT 條件的充分性。綜上可知，直線等距網(wǎng)絡(luò)能使可變功率情況下的網(wǎng)絡(luò)能耗最小。證畢。

3.2 固定功率的能量最小路徑

固定功率情況下，鏈路i的能耗取決于所有鏈路中AN積最大鏈路的能耗，即

由于各鏈路發(fā)送功率相同，因此可靠發(fā)送一個(gè)數(shù)據(jù)包的總能耗

將近似的AN積代入，則固定功率的能量最小路徑問題可以轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問題:

其中變量為 dmax。該優(yōu)化問題的解由以下定理給出。

定理2對(duì)于節(jié)點(diǎn)任意分布的多跳水聲網(wǎng)絡(luò)，若各節(jié)點(diǎn)采用固定功率模式，且各鏈路接收信噪比不低于給定的目標(biāo)接收信噪比，則直線等距路徑使可靠傳輸?shù)木W(wǎng)絡(luò)總能耗最小。

證明 不難看出，Etotal，F(xiàn)TP是關(guān)于dmax的單調(diào)遞增函數(shù)，因此式(22)與下面的式子等價(jià):

因?yàn)?di≤dmax，所以;而，則Kdmax≥D，故，即

此即表明直線等距網(wǎng)絡(luò)能使固定功率情況下的網(wǎng)絡(luò)能耗最小。證畢。

3.3 最優(yōu)跳數(shù)與最優(yōu)距離

既然可靠通信的能量最小路徑是直線等距網(wǎng)絡(luò)，那么自然需要考慮一個(gè)問題，即各節(jié)點(diǎn)相距多少能使能耗最少?也就是，使能耗最小的最優(yōu)跳數(shù)是多少?

因此，考慮直線等距網(wǎng)絡(luò)的總能耗

把K視為連續(xù)量，將上式對(duì)K求導(dǎo)并令其一階導(dǎo)數(shù)為零可得

若令d*為方程的解，則最優(yōu)跳數(shù)

其中k*為自然數(shù)，d*可通過數(shù)值方法求得。此時(shí)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)能耗為

4 仿真結(jié)果

本節(jié)對(duì)第3節(jié)的定理進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)直線等距網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)跳數(shù)和最優(yōu)距離進(jìn)行仿真。仿真中只考慮直線網(wǎng)絡(luò)的情況(即)，因?yàn)樵谕瑯拥墓?jié)點(diǎn)分布時(shí)非直線網(wǎng)絡(luò)能耗顯然更高。仿真試驗(yàn)的參數(shù)設(shè)置如下:誤包率 p=0.1，調(diào)制帶寬效率 ρ=0.5，聲－電功率轉(zhuǎn)換系數(shù) ξ=4×10－17，數(shù)據(jù)包長(zhǎng)度 L=256 byte，接收能耗Ec=0.5 J，目標(biāo)接收功率信噪比 γtgt=20 dB。

圖4比較了不同節(jié)點(diǎn)位置時(shí)可變功率和固定功率模式下的能耗與距離的關(guān)系。從圖中可以看出，不論是2跳或是3跳網(wǎng)絡(luò)，等距時(shí)的能耗最低，這與第3節(jié)的理論相符。同時(shí)可以看出，當(dāng)節(jié)點(diǎn)位置相同時(shí)，固定功率模式較可變功率模式能耗更高，這是由于固定功率模式下，各鏈路發(fā)送功率均選擇AN積最大鏈路的發(fā)送功率，以犧牲能耗為代價(jià)來證各鏈路的接收信噪比不低于γtgt。

圖4 不同節(jié)點(diǎn)位置時(shí)能耗與距離的關(guān)系比較

圖5描繪了直線等距網(wǎng)絡(luò)在傳輸距離從10 km到100 km時(shí)總能耗與跳數(shù)的關(guān)系。從圖中能明顯看出，對(duì)不同的傳輸距離，存在一個(gè)最優(yōu)跳數(shù)使總能耗最低，且距離越長(zhǎng)，最優(yōu)跳數(shù)越大。

圖5 直線等距網(wǎng)絡(luò)在不同距離時(shí)總能耗與跳數(shù)的關(guān)系

圖6給出了直線等距網(wǎng)絡(luò)在跳數(shù)從1到12時(shí)總能耗與傳輸距離的關(guān)系，可以看出，在某一段距離區(qū)間內(nèi)，存在一個(gè)最優(yōu)跳數(shù)使總能耗最低，且相鄰跳數(shù)的總能耗與跳數(shù)關(guān)系曲線之間的交點(diǎn)(小圓圈)，其連線近似為一條直線，印證了式(27)中最優(yōu)跳數(shù)與最優(yōu)距離近似的線性關(guān)系，而相鄰交點(diǎn)間的距離也近似相等(約13 km)，即為最優(yōu)距離。

圖6 直線等距網(wǎng)絡(luò)在不同跳數(shù)時(shí)總能耗與距離的關(guān)系

此外，從圖4～圖6都能看出，在較短傳播距離(k＜15 km)時(shí)，單跳較多跳能耗更低，這也說明并非任何情況下都是多跳能耗更優(yōu)。

5 結(jié)束語

本文研究了可靠傳輸條件下多跳水聲網(wǎng)絡(luò)的能量最小路徑。建立了二維的網(wǎng)絡(luò)能量模型，通過曲線擬合的方法得到了最優(yōu)頻率－距離的近似表達(dá)式，并利用該表達(dá)式分析了可變功率和固定功率兩種模式下的能量最小路徑。結(jié)果表明，無論對(duì)于可變功率還是固定功率的多跳水聲網(wǎng)絡(luò)，其可靠傳輸時(shí)直線等距網(wǎng)絡(luò)能使總能耗最小?？紤]直線等距網(wǎng)絡(luò)，本文還給出了使能耗最小的最優(yōu)跳數(shù)和最優(yōu)距離。所得結(jié)果對(duì)于近岸環(huán)境監(jiān)測(cè)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)現(xiàn)有一定的指導(dǎo)意義。

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