季海波

(宿遷學(xué)院教師教育系，江蘇 宿遷 223800)

0 引言

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常使用Pearson-χ2距離來(lái)比較兩個(gè)密度函數(shù)的差異性。盡管其已經(jīng)不再滿足距離公理中的某些條件，但是它們確實(shí)能夠在某種程度上描述兩個(gè)密度函數(shù)的差異程度。近年來(lái)，人們?cè)谟懻摌O值分布的大樣本問(wèn)題、分布函數(shù)的計(jì)算機(jī)模擬樣本的收斂性時(shí)，都將Pearson-χ2距離作為衡量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷一個(gè)密度函數(shù)列是否收斂到某個(gè)確定的密度函數(shù)。

k階Erlang分布是排隊(duì)論中常用的一個(gè)重要的服務(wù)時(shí)間分布，它與指數(shù)分布有密切的關(guān)系。若X1，X2，…，Xk是一列獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從指數(shù)分布E(μ)，則隨機(jī)變量T=X1+X2+…+Xk具有概率密度:

稱T服從參數(shù)為μ的k階Erlang分布。

文獻(xiàn)［5］中給出了兩個(gè)指數(shù)分布之間的Pearson-χ2最大距離。本文著重討論兩個(gè)k階Erlang分布的Pearson-χ2距離和Pearson-χ2最大距離，并與兩個(gè)指數(shù)分布之間的Pearson-χ2距離進(jìn)行比較。

1 相關(guān)定義及引理

定義1 設(shè)隨機(jī)變量X、Y分別具有密度函數(shù)f(x)、g(x)，且f(x)＞0，若

定義2 設(shè)隨機(jī)變量X、Y分別具有密度函數(shù)f(x)、g(x)且f(x)＞0，g(x)＞0，若d2(f，g)、d2(g，f)都存在，記 d2m(f，g)=max{d2(f，g)，d2(g，f)}，稱(f，g)為兩個(gè)密度函數(shù)f(x)、g(x)之間的最大距離。

由定義可以得到如下引理:

引理1 如果函數(shù)f(x)是指數(shù)分布E(μ1)的密度函數(shù)，g(x)是指數(shù)分布E(μ2)的密度函數(shù)，那么

引理2 如果函數(shù)f(x)是指數(shù)分布E(μ1)的密度函數(shù)，g(x)是指數(shù)分布E(μ2)的密度函數(shù)，當(dāng)＜μ1＜ 2μ2時(shí)，則有:

2 k階Erlang分布的Pearson-χ2距離和Pearson-χ2最大距離

定理1 設(shè)f(x)、g(x)是分別具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù)，則:

證明:由于f(x)、g(x)是分別具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù)，則:

當(dāng)0＜μ1＜2μ2時(shí)，由分部積分法可得:

將式(4)代入式(3)可得:

顯然還有:

則定理1得證。

類似地還可以得到:

由引理1和定理1還可得到下面一些性質(zhì)。

推論1 如果f1(x)、g1(x)分別是具有參數(shù)μ1、μ2的指數(shù)分布的密度函數(shù)，f2(x)、g2(x)分別是具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù)，則:

推論2 兩個(gè)指數(shù)分布間的Pearson-χ2最大距離和兩個(gè)k階Erlang分布Pearson-χ2最大距離具有相同的漸近性。

［1］Robert G O，Shau S K.Updating schemes，correlation structure，blocking and parameterization for the Gibbssampler［J］.J R Statist Soc B，1997，59:291-317.

［2］Liu S J，Wong W H，Kong A.Correlation structure and convergence rate of the Gibbs sampler with various scans［J］.J R Statist Soc B，1995，57:157-169.

［3］Reiss R D.Approximate Distributions of Order Statistics［M］.New York:Springer，1980.

［4］胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，1986.

［5］陳光曙.Pearson-χ2的最大距離的性質(zhì)［J］.遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005，28(4):402-404.