陳義華，許慶春

(重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400044)

近年來，隨著市場競爭的日益激烈以及國家對環(huán)境保護(hù)的法律強(qiáng)制要求，國內(nèi)外許多企業(yè)開始把有效管理顧客退貨和廢舊產(chǎn)品回收作為一種新的競爭方式和降低成本的有效途徑。學(xué)者們把這種物品逆向流動的供應(yīng)鏈稱之為逆向供應(yīng)鏈，以與傳統(tǒng)正向供應(yīng)鏈相區(qū)別。與正向供應(yīng)鏈相比，逆向供應(yīng)鏈具有系統(tǒng)高度復(fù)雜性、系統(tǒng)目標(biāo)多樣性、系統(tǒng)供需失衡性、系統(tǒng)匯聚性等4個特點(diǎn)。回收產(chǎn)品在回收時間、回收質(zhì)量和數(shù)量等方面具有很大的不確定性［1］，而對這種不確定性進(jìn)行預(yù)測的方法的合理性和精確性，直接關(guān)系到產(chǎn)品回收設(shè)施能力的規(guī)劃和產(chǎn)品再制造庫存管理的優(yōu)化與控制，因此如何及時、準(zhǔn)確地進(jìn)行產(chǎn)品回收預(yù)測成為實(shí)施逆向物流的重要前提。影響產(chǎn)品回收量的主要因素有產(chǎn)品的相對生命周期、產(chǎn)品的回收途徑、產(chǎn)品的銷售量、消費(fèi)者的購買行為等。在過去的研究中，學(xué)者們在對產(chǎn)品回收預(yù)測的研究中主要是假設(shè)產(chǎn)品的需求和返回服從獨(dú)立的泊松分布或者正態(tài)分布［2－3］。謝家平等［4］運(yùn)用隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)理論構(gòu)建了以生產(chǎn)廠商為回收主導(dǎo)的廢舊電器產(chǎn)品回收隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型。此外還有學(xué)者［5－6］對灰色系統(tǒng)模型進(jìn)行了改進(jìn)，并把模型應(yīng)用到了回收量的預(yù)測中。

Markov鏈建模具有很強(qiáng)的實(shí)用性，可以被用于諸多研究領(lǐng)域來解決狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題［7］，包括用于回收產(chǎn)品的庫存管理［8］。于洋等［9］應(yīng)用灰色Markov鏈改進(jìn)預(yù)測方法，對鐵路集裝箱中心站貨運(yùn)量的發(fā)展趨勢進(jìn)行了預(yù)測。謝家平［10］通過對逆向回收產(chǎn)品的不同狀態(tài)的界定，剖析其狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，然后根據(jù)Markov鏈的原理，構(gòu)建了一個不同狀態(tài)下的轉(zhuǎn)移方程，在給定的初始狀態(tài)下，預(yù)測某一時期期末所處不同狀態(tài)的回收產(chǎn)品數(shù)量。本文在文獻(xiàn)［10］的基礎(chǔ)上考慮回收的產(chǎn)品經(jīng)處理后會有2種狀態(tài):一是轉(zhuǎn)換成全新的產(chǎn)品;二是有一定的廢棄率，并根據(jù)以上考慮建立了預(yù)測模型。

1 Markov鏈

事物的未來發(fā)展及演變狀態(tài)僅僅受事物現(xiàn)在狀態(tài)的影響，而與過去的狀態(tài)無關(guān)，則稱該事物具有Markov性(也稱無后效性)。有限個Markov過程的整體稱為Markov鏈。所謂Markov鏈?zhǔn)且活悤r間為參數(shù)離散，狀態(tài)空間為可列集或有限集，且具有Markov性的隨機(jī)過程［11］，它可用數(shù)學(xué)語言表述為:在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機(jī)序列{X(t)，t∈T}，其中參數(shù)集 T={0，1，2，3…}，狀態(tài)空間 E={0，1，2，3…}。若 X(n)=i就說過程在時刻n處于狀態(tài)i。假設(shè)每當(dāng)過程處于狀態(tài)i，則在下一時刻將處于狀態(tài)j的概率pij是固定的，即過程在下一時刻的狀態(tài)僅與當(dāng)前的狀態(tài)有關(guān)，而與以前的狀態(tài)無關(guān)，這一過程稱為Markov過程，其中pij為一步轉(zhuǎn)移概率。Markov過程按其狀態(tài)和時間參數(shù)是連續(xù)的或離散的可以劃分為3類:

1)時間和狀態(tài)都是離散的Markov過程，也稱為Markov鏈。

2)時間連續(xù)、狀態(tài)離散的Markov過程，也稱純不連續(xù)的Markov過程。

3)時間和狀態(tài)都是連續(xù)的Markov過程。

本文所利用的Markov過程屬于第1種情況。由于逆向物流的特征很好地符合了Markov隨機(jī)過程，因此逆向物流的過程是一個比較理想的Markov過程，可以用Markov過程的相關(guān)理論對逆向物流系統(tǒng)的回收量進(jìn)行預(yù)測。在利用Markov過程進(jìn)行回收量預(yù)測時最關(guān)鍵的是確定產(chǎn)品的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，一般可從企業(yè)長期收集的產(chǎn)品回收數(shù)據(jù)中總結(jié)提煉出產(chǎn)品各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率。轉(zhuǎn)移概率與產(chǎn)品的工藝和質(zhì)量密切相關(guān)，這種概率在長期內(nèi)是穩(wěn)定的，所以這種方法比較適用于技術(shù)成熟的產(chǎn)品的回收預(yù)測。在已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率后即可對回收量進(jìn)行預(yù)測。

2 廢棄產(chǎn)品回收量預(yù)測

本文研究單一產(chǎn)品的回收量預(yù)測問題。假設(shè)產(chǎn)品的生命周期等分為4個階段，每階段時間長度為t，在同一時間處于各個狀態(tài)的產(chǎn)品市場上都有，廠商每隔時間t會對市場上需要回收的產(chǎn)品進(jìn)行回收，不需要回收的產(chǎn)品直接進(jìn)入生命周期的下一階段，回收的產(chǎn)品經(jīng)維修后會有一定的廢棄率和一定的維修率，且維修后產(chǎn)品與新產(chǎn)品無異，在下一階段會以全新產(chǎn)品的形式進(jìn)入市場。產(chǎn)品的狀態(tài)間存在如圖1所示的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

圖1 產(chǎn)品的狀態(tài)轉(zhuǎn)換Markov鏈?zhǔn)疽鈭D

圖1中 si(i=1，…，5)為產(chǎn)品不同的狀態(tài)，其中s1為全新狀態(tài)，s5為廢棄狀態(tài)，即不可再利用的狀態(tài)。處在狀態(tài)s1的產(chǎn)品經(jīng)過時間t后需要回收的概率為1－p1，其中可修復(fù)的概率為p5，廢棄的概率為1－p1－p5，其余產(chǎn)品狀態(tài)經(jīng)過時間t后轉(zhuǎn)換概率如圖1所示。當(dāng)產(chǎn)品處在狀態(tài)s5時，表示產(chǎn)品已經(jīng)報廢不可再利用。狀態(tài)s5到達(dá)了吸收態(tài)，也就是產(chǎn)品一旦到達(dá)該狀態(tài)便被“吸住”不再轉(zhuǎn)移。所以對圖1所示的產(chǎn)品狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣可表示為

用pij表示矩陣P的第i行第j列的元素，則pij表示產(chǎn)品由狀態(tài)si經(jīng)過時間t后轉(zhuǎn)移到sj的概率，且

2.1 回收預(yù)測條件假設(shè)

1)廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品有一定的使用壽命。

2)每隔時間t記為一期，廠商在每一期期末對市場上需要回收的產(chǎn)品進(jìn)行回收，回收再制造后的產(chǎn)品與新產(chǎn)品無異，即產(chǎn)品進(jìn)入狀態(tài)s1，且在下一期進(jìn)入市場。

3)每一期始點(diǎn)處市場需要的產(chǎn)品數(shù)量已知，且全部被滿足。若在上一期期末回收的產(chǎn)品滿足不了市場的需求，廠商將投放一批新生產(chǎn)的產(chǎn)品;若上一期期末回收的產(chǎn)品大于市場的需求量，廠商可以自行決定對多余的再制造產(chǎn)品的處理方法。

2.2 廢棄產(chǎn)品回收量預(yù)測

假設(shè)企業(yè)首次使用本模型時市場中處于各種狀態(tài)的產(chǎn)品數(shù)量用行向量表示為，在第 k(k=1，2，…)期期初市場的需求量為qk，在第k(k=1，2，…)期期末經(jīng)企業(yè)回收后修復(fù)成全新產(chǎn)品的數(shù)量為，則在第k(k=1，2，…)期期初企業(yè)需要生產(chǎn)的新產(chǎn)品數(shù)量為若，則企業(yè)需要投放一批新產(chǎn)品;若，則說明企業(yè)在上一期期末經(jīng)回收后再制造的產(chǎn)品數(shù)量大于市場的實(shí)際需求量。=(，0，0，0，0)第 1 個數(shù)字是的一維行向量。有了上述符號的定義及狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣可得產(chǎn)品的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:

由式(2)可得第k期需要回收的產(chǎn)品數(shù)量為

其中報廢的數(shù)量為

將式(5)代入式(1)得到第k期時市場上各種狀態(tài)的產(chǎn)品數(shù)量的行向量

由式(3)～(5)即可得到企業(yè)在每一期需要回收的產(chǎn)品數(shù)量、報廢的產(chǎn)品數(shù)量和需要生產(chǎn)的新產(chǎn)品數(shù)量。

3 實(shí)例分析

假設(shè)企業(yè)在進(jìn)行預(yù)測的期初市場中處于各種狀態(tài)的產(chǎn)品數(shù)量為 (2 000，4 500，5 000，6 000，0)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分別為(0.90，0.75，0.60，0.80，0.05，0.15，0.25)，市場在每一期開始時需要的產(chǎn)品數(shù)量分別為 2 000、4 500、5 500、5 000、4 500、4 200。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，可以預(yù)測在第5期期末企業(yè)需要回收的產(chǎn)品數(shù)量、報廢的產(chǎn)品數(shù)量和第6期是否需要生產(chǎn)全新產(chǎn)品及其生產(chǎn)量。首先根據(jù)給出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率可得產(chǎn)品的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

把數(shù)據(jù)帶入式(6)，使用Matlab編程計(jì)算得到在第5期市場中各種狀態(tài)的產(chǎn)品數(shù)量為:(4 500，4 500，3 712.5，1 822.5，16 023.38)，所以由式(3)得第5期需要回收的數(shù)量為 4 882.5，由式(4)得報廢的數(shù)量為2 689.88，由式(5)得第6期需要生產(chǎn)的數(shù)量為2 007.38。

4 結(jié)束語

逆向物流中產(chǎn)品回收數(shù)量的不確定性對產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃、庫存管理與回收網(wǎng)絡(luò)的建立都有重要的影響。本文應(yīng)用Markov鏈把產(chǎn)品的狀態(tài)數(shù)量和時間的預(yù)測有機(jī)地結(jié)合在一起，實(shí)現(xiàn)了對逆向物流回收量的預(yù)測。

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