朱向冰 時靖誼 王 競 羅青青 陳 瑾

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000)

1 引言

隨著科技的發(fā)展，許多場合對光照分布提出了很高的要求，比如在集成電路的制作工藝中需要進行均勻曝光，在光敏固化技術(shù)中需要均勻固化等，但迄今為止，大多數(shù)均勻照明的燈具在性能上需要改善，在設(shè)計方法上需要完善。目前實現(xiàn)均勻照明的方法主要有三種:第一種是通過透鏡對光線折射實現(xiàn)均勻照明［1～7］，因為透鏡有兩個曲面，便于設(shè)計，但是透鏡的兩個光學(xué)面都會造成光能量損失，透鏡材料會吸收光能量，如果透鏡的材料均勻性不高也會很大地影響照明的質(zhì)量，并且透鏡兩個面的加工成本較高，這種方式不是最優(yōu)方法;第二種方法是利用單個反射面實現(xiàn)光照的均勻分布［8，9，10］，能有效地避免第一種方法的缺點，但是設(shè)計方法有待改進，設(shè)計中的數(shù)學(xué)問題沒有很好地解決［9，10］，限制了這種方法的推廣;第三種方法是反射透射綜合式，設(shè)計難度較低，但是成本高，比如液晶屏背光模塊采用線光源或大量的點光源，采用反射和折射方式實現(xiàn)均勻的照明［10，12］。本文采用單個反射面，使反射光與直接照射光疊加在一起達到均勻照明的目的，首先建立了光學(xué)模型，并得到其相應(yīng)積分方程，然后對方程的轉(zhuǎn)化及求解的過程進行了說明，對系數(shù)表達式進行了計算，并將這些系數(shù)應(yīng)用到反射面設(shè)計中，仿真軟件的追跡表明系數(shù)是正確的、方法是可行的。研究結(jié)果不僅為均勻照明燈具的設(shè)計和改善提供了依據(jù)，還可以推廣到非均勻照明系統(tǒng)中。

2 光學(xué)模型和方程

在反射式照明中，光源發(fā)出的光通過兩個途徑到達被照明面，一是直接照射在被照明面上;二是被反射器反射到被照明面上。因為光源直接照射在被照明面上的照度分布可以通過光源的特性以及被照明面的相對位置求得，所以本文主要考慮反射光在被照明面上的照度分布情況。假設(shè)光在空間傳播無損失，被照明面吸收了所有的入射光，由于精確加工的反射面反射率能達到85%以上，為了簡化計算，設(shè)定反射率為100%，可以列出經(jīng)過反射面到達被照明面上的光線照度分布函數(shù)的積分表達式，然后再通過坐標(biāo)的變換和積分范圍的合理選取，將積分形式的光通量守恒方程轉(zhuǎn)化為微分形式，就將復(fù)雜的光學(xué)問題轉(zhuǎn)化成了微分方程的求解問題。

2.1 坐標(biāo)和方程

假定光源的光強分布函數(shù)為I，且光源的大小相對整個照明系統(tǒng)可以忽略不計，即處理為點光源，通常對于LED可以這樣處理。如圖1所示，將光源放在o點，P為給定被照明平面，兩者之間的距離設(shè)為1，R為P平面上被照亮的區(qū)域。以o為原點，建立直角坐標(biāo)系ox'y'z'，x'oy'平面與P平面平行，單位球與P平面相切與o″點，在P平面中建立直角坐標(biāo)系xo″y，坐標(biāo)原點為o″點，x，y軸分別與x'，y'軸平行。

為方便起見，引入投影平面P'，與給定平面P平行且與單位球相切于o'點，以o″點為投影中心，這樣單位球上的點就可以用投影平面P'上的點表示了，而P'平面上的點又可以用坐標(biāo)原點在o'處的直角坐標(biāo)系uo'v表示，u，v軸與x'，y'軸平行。

假定坐標(biāo)原點在照明區(qū)域內(nèi)，在R區(qū)域內(nèi)的反射光照度分布的函數(shù)用L=L(x，y)表示，L(x，y)是(x，y)點所需的總照度減去光源直接照射在(x，y)點的照度。

圖1 光照系統(tǒng)及坐標(biāo)系

在以光源為球心，反射面對應(yīng)的立體角為Ω，從光源發(fā)出的Ω中的光線應(yīng)全部投射在R平面上的與立體角Ω相對應(yīng)的ν(Ω)區(qū)域上，也就是說立體角Ω中包含的總光通量與投射在ν(Ω)上的總光通量相等。為了滿足照度要求，則L，I函數(shù)應(yīng)滿足:

其中μ為反射面的反射系數(shù)，由于反射率為100%，即μ取1。該積分方程將這個反射式照明系統(tǒng)表示成了光通量守恒式，其中ν(Ω)項就包含了反射曲面的具體形狀。

為了計算出反射曲面的具體信息，需要將積分形式的方程式(1)轉(zhuǎn)化成為微分形式。在x'y'z'坐標(biāo)系中定義一個向量，它由點光源指向單位球上任意一點(x'，y'，z')，同時該向量也標(biāo)記出了uo'v平面上的一個點(u，v)。x'，y'，z'與u，v，1之間滿足下面的比例關(guān)系x'/u=y'/v=(z'+1)/2，同時在單位球上，x'，y'，z'又滿足方程x'2+y'2+z'2=1。由此可推導(dǎo)出向量以(u，v)為坐標(biāo)的具體形式為:

其中ω2=u2+v2。

可以證明單位球上的微分立體角dΩ與投影平面上的微分區(qū)域d u d v滿足如下方程dΩ=(在這里及后文中，下標(biāo)均表示偏導(dǎo)數(shù))。式(2)分別對u，v求偏導(dǎo)得:

將式(5)代入式(1)得:

其中S為uo'v平面上與立體角Ω對應(yīng)的區(qū)域，ω(S)為被照明平面上與S對應(yīng)的區(qū)域。在這里，為了使式(6)成立，函數(shù)L，I必須是連續(xù)的實函數(shù)，S是獨立的變量，ω是未知量。因為ω與未知的反射曲面形狀有關(guān)，所以我們稱之為反射函數(shù)。將積分區(qū)域擴展到整個光源照射區(qū)域R，可以得到方程式(6)的邊界條件ω(D)=R，D為反射面在P'平面上的整個投影區(qū)域，所以函數(shù)L必須滿足方程:

2.2 微分方程的轉(zhuǎn)化及求解

在這里可以用曲面方程ρ=ρ(u，v)來描述反射曲面，ρ為光源到反射面的距離。

圖2 反射幾何圖示

下面將與反射函數(shù)ω有關(guān)的積分方程式(6)轉(zhuǎn)化為與反射曲面函數(shù)ρ有關(guān)的偏微分方程。如圖2所示，設(shè)=為表示照射在反射面上一點的光線的向量。假設(shè)這條光線被反射到平面P上的(x，y)點，取一個向量，由點光源處指向該點，該點在空間直角坐標(biāo)系ox'y'z'中具有坐標(biāo)(x，y，－1)

其中p=ρu、q=ρv，、由式(3)、式(4)給定。因為向量，，都是相互正交的，且滿足右手坐標(biāo)系關(guān)系，的長度為1，，的長度均為［1+(1/4)ω2］－1，即×=，×=，×=［1+(1/4)ω2］－2，所以將上面的式子展開可以得到:

因此，

如圖2，由反射定律得:

從中可以解出:

為便于計算，下面先定義幾個變量表達式:

那么，將(9)～(11)式代入式(13)，并結(jié)合X→=(x，y，－1)，可得:

方程(15)～(18)決定了x，y是u，v，ρ，p，q的函數(shù)，所以可以將x，y的表達式寫為:

通過式(19)，式(20)可以發(fā)現(xiàn)式(6)式中的L(x，y)可以表達為獨立變量u，v，以及非獨立變量ρ和它的一階偏導(dǎo)數(shù)p，q的函數(shù)。對于滿足方程式(6)且有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的曲面方程ρ=ρ(u，v)的反射面，x，y可以被看作u，v的函數(shù)。等式(6)左邊對x，y的積分可以通過多重積分的雅克比行列式:

轉(zhuǎn)化成對u，v的積分。這個行列式可通過式(19)、式(20)由鏈式法則求導(dǎo)獲得，其中r，s，t分別表示ρ的二階偏導(dǎo)數(shù)ρuu，ρuv，ρvv。所以對于一個具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的反射曲面ρ=ρ(u，v)，積分式(6)等價于下面的偏微分方程:

將式(21)式中的行列式展開得:

其中:

在這里可以發(fā)現(xiàn)Jαβ=－Jβα，這些系數(shù)通過式(15)～式(18)計算可得。在此之前，為了讓計算變得更簡單，先根據(jù)式(16)、式(17)將這些系數(shù)進行化簡，可得Jqv=Jup，pJρp=qJqρ。

3 方程解及其系數(shù)

由式(24)知要得到式(23)中各系數(shù)Jαβ，α，β∈{u，v，ρ，p，q}，首先需要求出x，y對各變量u，v，ρ，p，q的一階偏導(dǎo)數(shù)xu，yu，xv，yv，xρ，yρ，xp，yp，xq，yq，由此可得

由式(16)、式(17)知，x，y是中間變量G，F(xiàn)，p，q，ρ和自變量u，v的函數(shù)，所以由鏈式法則知，為求出x，y對各變量的偏導(dǎo)，需要先求出這些中間變量及自變量對各變量的偏導(dǎo)。

x，y對各變量的偏導(dǎo)表達式可由鏈式法則及x，y的表達式式(16)、式(17)聯(lián)立求出。同時，亦可得到F，G對各變量的偏導(dǎo)數(shù)。

將x，y對各變量的偏導(dǎo)表達式以及F，G對各變量的偏導(dǎo)數(shù)代入各系數(shù)求導(dǎo)式(25)～式(34)，再化簡，即可得到各系數(shù)的表達式。由于計算出的其他系數(shù)表達式形式比較復(fù)雜，故在此僅列出兩個:

將以上各系數(shù)表達式代入(23)式，就可以得到雅克比行列式D的表達式。然后由光源的光強分布函數(shù)I和目標(biāo)平面上R區(qū)域內(nèi)各點所需的反射光照度分布函數(shù)L，即可以推算出D在空間各點的值。再從偏微分方程(22)中求得ρ的表達式，即解出了曲面方程ρ=ρ(u，v)。根據(jù)ρ在空間各點的不同取值，將數(shù)值解導(dǎo)入ProE建模軟件中就可以描繪出反射曲面的面型輪廓，求得所需的反射面。再將反射曲面導(dǎo)入照明設(shè)計軟件tracepro中進行光線追跡模擬，檢測光斑的照度均勻性。為了驗證上述結(jié)果，我們選擇了一款LED光源設(shè)計了一個反射面，如圖3所示。光學(xué)模擬表明除去邊緣以外，主體部分的均勻性達到85%以上，如圖4所示。并且均勻性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的反射面設(shè)計方法，能滿足大多數(shù)場合的要求。

圖3 反射面3D圖

圖4 光學(xué)模擬結(jié)果

4 結(jié)論

本文對反射式照明燈具的設(shè)計方法進行了探索，成功的求解出了相關(guān)系數(shù)，該計算結(jié)果特別適合于LED照明燈具的設(shè)計，可以降低照明燈具的成本。和過去的依賴于經(jīng)驗來設(shè)計初始反射面并反復(fù)調(diào)節(jié)反射面的方法相比，雖然系數(shù)的表達式非常復(fù)雜，但是如果將其編寫到程序中，則能大大縮短設(shè)計的周期。本文中以均勻照明為目標(biāo)，研究了反射面設(shè)計問題，只要對光源特性進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，研究結(jié)果也可以借鑒到非均勻照明系統(tǒng)的設(shè)計中。

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