任亮，褚衍彪，2

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116； 棗莊學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 棗莊 277160)

0 引言

Rayleigh分布 R(x,σ)是很重要的壽命分布，它主要用來(lái)描述零件，構(gòu)件承受非穩(wěn)定循環(huán)力時(shí)應(yīng)力幅的分布規(guī)律，也用于描述平坦衰落信號(hào)接收包絡(luò)或獨(dú)立多徑分量接收包絡(luò)統(tǒng)計(jì)時(shí)變特性的一種分布類型.兩個(gè)正交高斯噪音信號(hào)之和的包絡(luò)服從瑞利分布，它是為威布爾分布W(μ,α,β)的重要成員，其密度函數(shù)為

定義1.1[1]設(shè)Χ是隨機(jī)變量，如果Χ的分布密度為

(1)

則稱隨機(jī)變量Χ服從Rayleigh分布.其中σ>0為尺度參數(shù).設(shè)隨機(jī)變量Χ服從Rayleigh，Χ1,Χ2......Χn來(lái)自總體Χ的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則其聯(lián)合概率密度為

(2)

(3)

目前，關(guān)于Rayleigh分布的Bayes估計(jì)的文章并不少.如林金官在文獻(xiàn)[2]中介紹了Rayleigh分布參數(shù)的幾種估計(jì)；Chung Younshik在文獻(xiàn)[3]中給出了尺度參數(shù)和尺度參數(shù)平方的幾種估計(jì)；邱燕等在文獻(xiàn)[1]給出了熵?fù)p失下Rayleigh分布尺度參數(shù)倒數(shù)的Bayes估計(jì),徐寶等在文獻(xiàn)[4]給出了一種加權(quán)對(duì)稱損失函數(shù)下一類指數(shù)分布模型參數(shù)的估計(jì).本文討論在加權(quán)對(duì)稱損失函數(shù)下對(duì)θ討論Bayes估計(jì)和容許性.

1 加權(quán)對(duì)稱損失下的Bayes估計(jì)

我們定義加權(quán)p,q對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)[4]

(4)

在這里υ是n的函數(shù)，n是樣本容量.

定理1.1 在損失函數(shù)(4)下，對(duì)于任意的先驗(yàn)分布，參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為

( 5)

證明見(jiàn)文獻(xiàn)[4].

接下來(lái)，我們討論θ在三種常見(jiàn)先驗(yàn)情形下的Bayes估計(jì)的精確形式.

首先，θ的先驗(yàn)分布π(θ)服從Bayes假設(shè)，令θ服從U(0,c),c為已知常數(shù)且c>0，則

(6)

(7)

證明：取(6)為θ的先驗(yàn)分布，得到θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

(8)

則Bayes估計(jì)為

(9)

證明：后驗(yàn)密度為

則Bayes估計(jì)為

在上述情況下，δB3中仍然含有超參數(shù)α,λ，因此需要進(jìn)一步討論θ的多層Bayes估計(jì).根據(jù)多層先驗(yàn)分布的構(gòu)造方法以及Rayleigh分布的特征，選取減函數(shù)法[5]構(gòu)造θ的先驗(yàn)分布

(10)

π*(α)=U(0,1),

(11)

π*(λ)=U(0,c),

(12)

c為常數(shù)

定理1.5 對(duì)于Rayleigh分布，取(12),(13)為θ的先驗(yàn)分布，在損失函數(shù)(4 )下,θ的Bayes估計(jì)為

(13)

證明：由定理1.1可得

2 容許性

引理2.1[6]在給定的Bayes決策問(wèn)題中，假如對(duì)給定的先驗(yàn)分布π(θ)的Bayes估計(jì)δB是唯一的，則它是可容許的.

定理2.2 對(duì)于Rayleigh分布，取Γ(α,λ)為θ的先驗(yàn)分布，在損失函數(shù) (3)下，θ的Bayes估計(jì)是可容許的.

事實(shí)上，由于加權(quán)對(duì)稱損失函數(shù)是關(guān)于δ嚴(yán)格凸的，其Bayes估計(jì)是唯一的，于是由引理2.1即得定理.

參考文獻(xiàn)

[1]方開(kāi)泰，徐建倫.統(tǒng)計(jì)分析[M]. 北京：科學(xué)出版社，1987.

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[4]徐寶，姜玉秋，滕飛.一種加權(quán)對(duì)稱損失函數(shù)下一類指數(shù)分布模型參數(shù)的估計(jì)[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011,34(4)：484-4867.

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[6]茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，1998.