曲孝海, 梅漢飛

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數(shù)學(xué)建模解的分析與檢驗(yàn)

曲孝海, 梅漢飛

(湖南文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 湖南 常德, 415000)

實(shí)際應(yīng)用中, 數(shù)學(xué)模型是否合適, 必須對(duì)其解的意義進(jìn)行分析、檢驗(yàn). 為進(jìn)一步優(yōu)化模型, 從量綱一致性分析、參數(shù)靈敏度分析、臨界值分析、假設(shè)合理性檢驗(yàn)分析、誤差分析幾方面探討了模型的分析. 模型檢驗(yàn)主要包括實(shí)際可行性檢驗(yàn), 模型的改進(jìn)與完善.

數(shù)學(xué)建模; 靈敏度分析; 模型改進(jìn)

數(shù)學(xué)是在實(shí)際應(yīng)用中產(chǎn)生的, 要解決實(shí)際問(wèn)題必須建立數(shù)學(xué)模型[1], 數(shù)學(xué)建模工作始于現(xiàn)實(shí)世界, 并終于現(xiàn)實(shí)世界, 最終得到實(shí)際問(wèn)題的解答. 所建模型是否合適？模型的解是否合理？這個(gè)解說(shuō)明了什么問(wèn)題？因此必須對(duì)解的意義進(jìn)行分析、檢驗(yàn), 這樣才能發(fā)現(xiàn)影響模型不合適的因素, 本文主要探討數(shù)學(xué)建模解的分析和檢驗(yàn).

1 模型分析

模型分析主要是對(duì)模型的解進(jìn)行數(shù)學(xué)分析. 有時(shí)分析解的可行性、實(shí)際意義, 變量間的依賴(lài)關(guān)系; 有時(shí)要根據(jù)模型做出預(yù)測(cè)、最優(yōu)決策或控制. 不論哪種情況還需要進(jìn)行誤差分析, 穩(wěn)定性或靈敏度分析等[2-3].

假設(shè)石頭下降時(shí)所受空氣的阻力和速度成正比, 因而阻力產(chǎn)生的加速度和速度也成正比, 設(shè)比例系數(shù)為.

此模型是否合適, 必須對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)分析.

1.1 量綱一致性分析

量綱分析是20世紀(jì)初提出的在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的一種方法, 是對(duì)所涉問(wèn)題有一定了解, 在實(shí)驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用量綱齊次原則來(lái)確定各物理量之間的關(guān)系. 在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中, 需處理的往往不是“純粹的”數(shù), 而是反映事物某一特性的度量. 用數(shù)加單位來(lái)表示具體度量; 用量綱的概念來(lái)表示被度量的特性, 在模型中單位必須統(tǒng)一.

由的定義, 可推得的量綱為T(mén)-1, 由模型也可推得[]=T-1. 可見(jiàn)模型的量綱統(tǒng)一是必須的, 但僅憑量綱分析能否確定模型合適呢？還要從其他方面進(jìn)行分析.

1.2 參數(shù)靈敏度分析

在建模過(guò)程中, 需要考慮各種與研究對(duì)象有關(guān)的因素. 有些因素是以變量參數(shù)的形式出現(xiàn)的, 模型對(duì)這些參數(shù)的敏感性反映了各種因素影響模型的顯著程度; 有些因素在進(jìn)行假設(shè)時(shí)認(rèn)為是常量, 但不能保證其完全符合實(shí)際, 對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析有助于模型的改進(jìn)和應(yīng)用.

通過(guò)本底和測(cè)量效率的數(shù)據(jù)分析，最終選擇道址范圍為 100～350，在此范圍內(nèi) FM值處于較高值，本底相對(duì)較低。在100～350的道址范圍內(nèi)進(jìn)行淬滅—效率曲線繪制（見(jiàn)圖2），擬合公式的 R2值都在 0.98以上。利用擬合公式，結(jié)合各點(diǎn)的SQP（E）值進(jìn)行效率計(jì)算，測(cè)量效率與計(jì)算效率偏差都在±2%范圍內(nèi)（見(jiàn)表5）。

1.3 假設(shè)合理性分析

假設(shè)是建模的已知條件, 假設(shè)是否合理是建立模型的關(guān)鍵. 事實(shí)上, 有觀點(diǎn)認(rèn)為: 模型就是假設(shè). 假設(shè)決定了模型的方向, 假設(shè)與現(xiàn)實(shí)的相容度決定了模型的價(jià)值.

通過(guò)對(duì)模型的檢驗(yàn)分析, 發(fā)現(xiàn)由于模型假設(shè)不合理, 考慮因素不合適, 造成模型不合理, 需要重新分析問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型.

1.4 參數(shù)或變量的臨界值分析

臨界值分析同樣是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃线m的重要手段. 分析參數(shù)或變量的臨界值同樣可以看出模型的合理性. 馬爾薩斯人口模型:

1.5 誤差分析

作為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的近似刻畫(huà), 數(shù)學(xué)建模的結(jié)果與實(shí)際會(huì)或多或少的存在一定誤差. 一方面要根據(jù)建模目的確定允許的誤差范圍; 另一方面, 要分析誤差來(lái)源.

a.誤差來(lái)源

誤差是由于數(shù)據(jù)觀測(cè)造成的？還是由于模型的不完善、近似求解方法和計(jì)算工具的舍入造成的？這就需要對(duì)偏差的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析. 若誤差服從均值為0, 方差很小的正態(tài)分布, 表明模型很好地反映了實(shí)際情況. 否則, 需進(jìn)一步修正模型, 可通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證.

假設(shè)檢驗(yàn)步驟:

b) 在原假設(shè)成立的條件下, 構(gòu)造一個(gè)分布已知的統(tǒng)計(jì)量;

b. 誤差范圍

數(shù)據(jù)在測(cè)量中不可避免地存在由于儀器或人為因素而產(chǎn)生誤差. 由于誤差的傳遞, 依賴(lài)于原始數(shù)據(jù)的模型的結(jié)果必然有一定的不準(zhǔn)確度. 因此, 估計(jì)誤差的范圍是必要的. 一般采用的計(jì)算公式是: 結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差是每個(gè)觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差的平方和的算術(shù)平方根. 對(duì)于其他誤差來(lái)源, 可以通過(guò)對(duì)相應(yīng)變量和參數(shù)的靈敏度分析, 確定誤差的允許范圍.

2 模型檢驗(yàn)

2.1 實(shí)際可行性檢驗(yàn)

模型檢驗(yàn)是分析所得結(jié)果的實(shí)際意義, 與實(shí)際情況進(jìn)行比較, 看是否符合實(shí)際, 若結(jié)果不夠理想, 應(yīng)該修改, 補(bǔ)充假設(shè)或重新建模, 有些模型需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù), 不斷完善. 把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果回到實(shí)際問(wèn)題, 并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較, 或運(yùn)行模型, 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m應(yīng)性, 即可進(jìn)行實(shí)際可行性檢驗(yàn). 例如可進(jìn)行預(yù)測(cè)性檢驗(yàn).即借用所建模型, 用歷史預(yù)測(cè)現(xiàn)實(shí), 以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確度.

表1 模型改進(jìn)

2.2 模型的改進(jìn)

經(jīng)模型的檢驗(yàn)分析, 發(fā)現(xiàn)模型不完善, 必須通過(guò)解釋、驗(yàn)證、修改等多次反復(fù), 對(duì)其進(jìn)行改進(jìn), 最終達(dá)到理論與實(shí)踐的統(tǒng)一[4-5]. 例如, 人口模型、傳染病等模型都是在反復(fù)改進(jìn)中形成的. 考慮諸多方面, 模型的改進(jìn)與完善可按表1進(jìn)行.

3 結(jié)論

本文詳細(xì)探討了模型解的分析、檢驗(yàn)以及模型的完善, 不僅有利于模型的建立, 還有利于更好的解決實(shí)際問(wèn)題. 這對(duì)數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)、對(duì)于工程技術(shù)工作者來(lái)說(shuō), 具有重要的參考、指導(dǎo)意義.

[1] 潘春平. 網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下高職數(shù)學(xué)建模過(guò)程與教學(xué)研究[J]. 南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2012, 27(3): 99-100.

[2] 宋瑞萍. 淺析數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方法及應(yīng)用[J]. 青海師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2011(3): 18-20.

[3] 李亞芹, 宗容, 李海燕. 以數(shù)學(xué)建模實(shí)踐為平臺(tái)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)探索[J] . 高等教育研究, 2009, 26( 1) : 89-90.

[4] 徐兆棣, 李曉毅. 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的交互關(guān)系[J]. 沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2010, 28(3): 350-352.

[5] 王茂芝, 郭科, 徐文皙, 等. 數(shù)學(xué)建模中的創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2009, 25(1): 126-129.

Analysis and test of the solution to mathematical modeling

QU Xiao-hai, MEI Han-fei

(Department of Maths and Computing, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

The application of mathematical modeling in reality, It is necessary to analyze the meaning of solution to judge appropriateness of the model. In order to further optimize model, In model analysis, several aspects are studied such as dimensional analysis, parameter sensitivity analysis, critical value analysis, hypothesis rationality analysis and error analysis. Model test is mainly concerned with practical feasibility, model refinement and perfection.

mathematical modeling; parameter sensitivity analysis; model refinement

10.3969/j.issn.1672-6146.2012.03.004

G 633.6

1672-6146(2012)03-0012-03

2012-09-12

湖南文理學(xué)院教改課題(JGYB0645)

曲孝海(1975-), 男, 講師, 研究方向?yàn)橹悄軆?yōu)化. E-mail: xhqu1100@sina.com

(責(zé)任編校:劉剛毅)