高帥帥，衛(wèi)雪梅，馮兆永

(1.廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510006；2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510275)

早在20世紀(jì)70年代人們就發(fā)現(xiàn)，腫瘤生長(zhǎng)的基本規(guī)律在數(shù)學(xué)上可表述為偏微分方程的自由邊界問(wèn)題[1-2]。在生物和醫(yī)學(xué)中，很多關(guān)于體內(nèi)和體外腫瘤細(xì)胞生長(zhǎng)的模型已被提出。隨著人們研究的深入，考慮的參量越來(lái)越多，描述的腫瘤生長(zhǎng)的自由邊界問(wèn)題的形式也越來(lái)越復(fù)雜。目前，關(guān)于這些自由邊界問(wèn)題的嚴(yán)格數(shù)學(xué)分析正在逐步深入地進(jìn)行著，并且已經(jīng)得到很多有意義的結(jié)果[3-9]。

本文研究了一個(gè)腫瘤化學(xué)治療反應(yīng)的空間結(jié)構(gòu)模型。這個(gè)模型是Norris等在文[10]中提出來(lái)的。這里假設(shè)腫瘤生長(zhǎng)模型是連續(xù)的(i.e.繁殖和死亡的過(guò)程是連續(xù)的)，腫瘤細(xì)胞球體對(duì)稱且是不可壓縮的，藥物按比例濃度抑制細(xì)胞生長(zhǎng)。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的腫瘤細(xì)胞生長(zhǎng)模型，它使藥物的化學(xué)治療的效果盡可能的明顯。這實(shí)質(zhì)上是一個(gè)偏微分方程的自由邊界問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題的具體模型如下：

,00

(1)

00

(2)

(3)

S(0)=1,w(r,0)=w0(r),0≤r≤S(t)

(4)

(5)

w(S(t),t)=w(t),t>0

(6)

其中μ是藥物效用函數(shù)，kd是一個(gè)臨界藥物濃度。易知Case(Ⅰ)線性動(dòng)力系統(tǒng)和Case(Ⅱ)米氏動(dòng)力系統(tǒng)有不同的形式，顯然k(w)是Lipschitz連續(xù)的。

本文的主要目的是對(duì)這個(gè)非線性問(wèn)題做嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析。我們將討論以下3個(gè)問(wèn)題：①局部解的存在唯一性；②整體解的存在唯一性；③穩(wěn)態(tài)解的分布。

在第1-3節(jié)中，將在下面的假設(shè)下討論整體解的存在唯一性：

在第4節(jié)中將在下面假設(shè)下討論穩(wěn)態(tài)解的分布：

(B1)f∈C1[0,∞),f′(w)>0,f(0)=0(即對(duì)?w>0,有f(w)>0)，其中f(w)如第4節(jié)中定義)。

(B3)=(A2)。

本文主要結(jié)果如下：

定理2 假設(shè)條件(B1)，(B2)和(B3)滿足，則下列結(jié)論成立：

1 問(wèn)題的簡(jiǎn)化

將(1)代入(2)可得一個(gè)等價(jià)的問(wèn)題如下

,00

(7)

00

(8)

(9)

S(0)=1,w(r,0)=w0(r),0≤r≤S(t)

(10)

(11)

w(S(t),t)=w(t),t>0

(12)

其中

g(w)=kn-k(w),h(w)=k(w)/(βα)

顯然g(w)和h(w)是Lipschitz連續(xù)的。

作變量替換

,τ

(13)

并記

u(z,τ)=S(t)v(r,t),η(τ)=S(t),n(z,τ)=w(z,t)

則自由邊界問(wèn)題(7)-(12)轉(zhuǎn)換為在固定區(qū)域{(z,τ)|0≤z≤1,τ≥0}上的初邊值問(wèn)題如下：

η2(τ)g(n),00

(14)

u(0,τ)=0,τ>0

(15)

p(η,n)n-q(η,n),00

(16)

(17)

η(0)=1,n(z,0)=n0(z),0

(18)

(19)

n(1,τ)=n(τ),τ>0

(20)

其中

d(z,τ)=u(z,τ)-zu(1,τ)

且

p(η,n)=η2(τ)g(n),q(η,n)=η2(τ)h(n)

(21)

上面的結(jié)果可以總結(jié)為如下引理。

引理1 在變量替換(13)下，初邊值問(wèn)題(14)-(20)與自由邊界問(wèn)題(7)-(12)是等價(jià)的。

2 基本引理

下面我們將介紹一個(gè)基本引理，首先引進(jìn)一些記號(hào)：

(i)記QT={(z,τ)|00；

∈Lp(QT),m+2k≤2}

u(·,0)=φ)}

0

w(z,0)=w0(z),0≤z≤1

≤Cp(T)(‖w(τ)‖W2,p(0,T)+

‖w0(z)‖Dp(0,1)+‖f‖p)

且有如下估計(jì)：

‖w‖∞≤max{‖w(t)‖∞,‖w0‖∞}+Ted0T‖f‖∞

其中

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

3 整體解的存在唯一性

3.1 局部解的存在唯一性

這部分將證明系統(tǒng)(14)-(20)有唯一的整體解。先通過(guò)運(yùn)用壓縮映像原理證明系統(tǒng)(14)-(20)有唯一的局部解。由g(w),h(w)是Lipschitz連續(xù)的和(21)知p和q是Lipschitz連續(xù)的。記

對(duì)給定的T>0，引進(jìn)度量空間(XT,d)如下：XT由向量函數(shù)(η,n)=(η(τ),n(z,τ))(0≤z≤1,0≤τ≤T)組成，滿足如下條件：

定義XT中的度量d為

d((η1,n1),(η2,n2))=‖η1-η2‖∞+‖n1-n2‖∞，

0≤z≤1,0≤τ≤T

顯然(XT,d)是一個(gè)完備度量空間。由式(14)-(15)可得

(22)

(τ)u(1,τ),τ>0

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

首先證明F是XT到XT上的映射。

τ，0≤τ≤T

(28)

(29)

結(jié)合式(28)得

‖∞≤C(T)

(30)

其次要證當(dāng)T充分小時(shí)，映射F是壓縮的。設(shè)(ηi,ni)∈XT,i=1,2,則

(31)

di(z,τ)=ui(z,τ)-zui(1,τ),

d=d((η1,n1),(η2,n2))

由式(31),g(n)的Lipschitz連續(xù)性，|g(n)|≤A和|η(τ)|<2，計(jì)算可得

|u1(z,τ)-u2(z,τ)|≤C(T)d

(32)

利用(28)，有

≤TC(T)d

(33)

(34)

(35)

(36)

其中

‖F(xiàn)‖∞≤C(T)d

(37)

對(duì)問(wèn)題(34)-(36)應(yīng)用引理2，再結(jié)合式(37)可得

≤T‖F(xiàn)‖∞≤TC(T)d

(38)

結(jié)合式(33)、式(38)，可以推出

d((η1,n1)，(η2,n2))≤TC(T)d

因此，當(dāng)T足夠小時(shí)滿足TC(T)d<1，此時(shí)F為壓縮映射。

應(yīng)用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，可知當(dāng)T足夠小時(shí)F在XT中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)(η(τ),n(z,τ))，它是系統(tǒng)(14)-(20)的局部唯一解，其中0≤τ≤T。

定理3 條件(A1)和(A2)滿足，當(dāng)0

3.2 整體解的存在唯一性

定理4 系統(tǒng)(14)-(20)的解對(duì)所有的t≥0都存在。

證明由式(17)和式(29)得

≤≤，0≤τ

(39)

≤η(τ)≤，0≤τ

(40)

由引理2知

≤C(p,T)

(41)

由系統(tǒng)(14)-(20)與系統(tǒng)(1)-(6)的等價(jià)性得知，系統(tǒng)(1)-(6)的整體解存在且唯一。因此，定理1得證。

4 穩(wěn)態(tài)解

考慮如下邊值問(wèn)題：

ΔrW=λf(W),0

(42)

(43)

其中λ是一個(gè)非負(fù)參數(shù)。

引理3 假設(shè)條件(B1)滿足，則對(duì)任意的λ>0，問(wèn)題(42)-(43)有唯一的解W=W(r,λ)滿足條件

(44)

λ≤0≤λ,0

顯然(ws(r),Rs)為(1)-(6)的穩(wěn)態(tài)解當(dāng)且僅當(dāng)它滿足如下兩點(diǎn)邊值問(wèn)題：

Δrws=f(ws),0

(45)

(46)

(47)

引進(jìn)一個(gè)函數(shù)

,,S>0

引理4 問(wèn)題(45)-(47)有解(ws(r),Rs)(Rs>0)當(dāng)且僅當(dāng)方程F(S)=0有一個(gè)正根Rs。而且當(dāng)Rs是這樣的根時(shí)，(45)-(47)的解為Rs和

,,0

(48)

證明必要性。已知Rs是(45)-(46)的解由(48)給出時(shí)，將(48)代入(47)可得F(Rs)=0。

充分性。 給定Rs>0，顯然(48)是(45)-(46)的解，故若Rs是F(S)=0的正根，顯然由(48)和Rs得到的(ws(r),Rs)為(45)-(47)的解。

(49)

所以式(49)成立。由介值定理可得，存在Rs>0使F(Rs)=0。

利用以上引理可得到定理2，下面將給出證明。

證明(i)由引理3和引理5易得結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

[1]GREENSPAN H.Models for the growth of solid tumors by diffusion [J].Stud Appl Math,1972,51: 317-340.

[2]GREENSPAN H.On the growth and stability of cell cultures and solid tumors [J].Theor Biol,1976,56: 229-242.

[3]CUI S.Analysis of a free boundary problem modeling tumor [J].Acta Math Sin Engl Ser,2005,21: 1071-1082.

[4]FRIEDMAN A,REITICH F.Analysis of a mathematical model for the growth of tumors [J].Math Biol,1999,38: 262-284.

[5]FRIEDMAN A.Mathematical analysis and challenges arising from models of tumor growth [J].Math Models Appl Sci,2007,17: 1751-1771.

[6]FRIEDMAN A.Free boundary problems associated from models of tumor growth [J].Math Model Nat Phenom,2009,4(3): 134-155.

[7]衛(wèi)雪梅,崔尚斌.一個(gè)腫瘤生長(zhǎng)自由邊界問(wèn)題解的整體存在性和唯一性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2006,26(1): 1-8.

[8]衛(wèi)雪梅，崔尚斌.一個(gè)腫瘤生長(zhǎng)自由邊界問(wèn)題解的漸近性態(tài)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2007,27(4): 648-659.

[9]WEI X,CUI S.Global well-posedness for a drug transport model in tumor multicell spheroids [J].Math and Computer Modelling,2007,45: 553-563.

[10]NORRIS E S,KING J R,BYRNE H M.Modelling the response of spatially structured tumors to chemotherapy: drug kinetics [J].Math Comp Mod,2006,43: 820-837.

[11]葉其孝，李正元.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論[M].北京：科學(xué)出版社,1990: 115-118.