數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用性問題主要涉及以下幾類數(shù)學(xué)模型：

1.函數(shù)模型

現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著的最優(yōu)化問題，常?？蓺w結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和方法去解決.

例1（2011·湖北卷）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．

(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí))

解析：(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b，

再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.

故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為

v(x)＝60， 0≤x<20,13(200-x),20≤x≤200.

(2)依題意并由(1)可得

f(x)＝60x， 0≤x<20，13x(200－x)，20≤x≤200.

當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200；

當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f(x)＝13x(200－x)≤13［x＋(200－x)2］2＝100003.

當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立．

所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間［20,200］上取得最大值100003.

綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間［0,200］上取得最大值100003≈3333.

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí).

說明：本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用.要求同學(xué)們先利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，再求函數(shù)最值，而求最值往往要利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式.這類問題在高考中最為常見， 能全面考查同學(xué)們的綜合素質(zhì)，同學(xué)們應(yīng)特別關(guān)注.

2．?dāng)?shù)列模型

在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，諸如增長(zhǎng)率、降低率、存款復(fù)利、分期付款等與年（月）份有關(guān)的實(shí)際問題，大多可歸結(jié)為數(shù)列問題，即通過建立相應(yīng)的數(shù)列模型來解決.在解應(yīng)用題時(shí)，是否是數(shù)列問題一是看自變量是否與正整數(shù)有關(guān)；二是看是否符合一定的規(guī)律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規(guī)律.

例2 在一次人才招聘會(huì)上，有甲乙兩家公司分別開出他們的工資標(biāo)準(zhǔn)：甲公司允諾第一年月工資收入為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；乙公司允諾第一年月工資收入為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資的基礎(chǔ)上遞增5%.設(shè)某人年初被甲、乙兩家公司同時(shí)錄取，試問：

（1）若該人分別在甲公司或乙公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？

（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘標(biāo)準(zhǔn)（不計(jì)其它因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司？為什么？

（3）在甲公司工作比在乙公司工作的月工資收入最多可以多多少，（精確到1元），說明理由.

參考數(shù)據(jù)：1.059=1.55 1.0510=1.63 1.0511=1.71 1.0517=2.29 1.0518=2.41 1.0519=2.53

解析：（1）此人在甲、乙公司第n年的月工資收入分別為

a璶=1500+230(n－1)，b璶=2000(1+5%)﹏－1，(n∈N*).

（2）若該人在甲公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為

S璶=12(a1+a2+…+a10)=302400（元）.

若該人在乙公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為

S璶=12(a1+a2+…+a10)=302400（元）

因?yàn)樵诩坠臼杖肟偭扛?，該人?yīng)該選擇甲公司.

（3）問題等價(jià)于c璶=a璶－b璶=1270+230n－2000×1.05﹏－1的最大值.

當(dāng)n≥2時(shí)，c璶－c﹏－1=230－100×1.05﹏－2.當(dāng)c璶－c﹏－1>0，即230－100×1.05﹏－2>0時(shí)得n<19.1.因此，當(dāng)2≤n≤19時(shí)，c﹏－1

這就是說，在甲公司工作比在乙公司工作的月工資收入最多可以多820元.

說明：本問題的關(guān)鍵在建立第n年的工資收入與工作年數(shù)n的函數(shù)關(guān)系，有了這個(gè)函數(shù)關(guān)系相關(guān)問題就可得到圓滿解決.解答第（3）個(gè)問題要學(xué)會(huì)將問題轉(zhuǎn)化，即求第n年的收入差c璶=1270+230n－2000×1.05﹏－1的最大值.在求c璶的最大值時(shí)要從c璶>c﹏－1和c璶

3．三角模型

三角模型常分為三角函數(shù)模型和解三角形模型.其中三角函數(shù)模型主要是先從實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系擬合成三角函數(shù)，常以y=A玸in(ωx+φ)+k作為載體.

所謂解三角形模型，就是利用三角函數(shù)知識(shí)，三角形的邊角關(guān)系來解決實(shí)際問題的.

例3 如圖所示，某動(dòng)物園要為剛?cè)雸@的小老虎建造一間兩面靠墻的三角形露天活動(dòng)室，已知已有兩面墻的夾角為60°（即∠C=60°），現(xiàn)有可供建造第三面圍墻的材料6米（兩面墻的長(zhǎng)均大于6米），為了使得小老虎能健康成長(zhǎng)，要求所建造的三角形露天活動(dòng)室盡可能大，記∠ABC=θ，問當(dāng)θ為多少時(shí)，所建造的三角形露天活動(dòng)室的面積最大？

解析:在△ABC中，AC玸inθ=AB玸inπ3=BC玸in(θ+π3)，

化簡(jiǎn)得AC=43·玸inθ，BC=43·玸in(θ+π3)，所以

S△ABC=12AC·BC·玸inπ3

=123·玸inθ·玸in(θ+π3)

=123玸inθ·(12玸inθ+32玞osθ)

=63(玸in2θ+3玸inθ·玞osθ)

=63(1－玞os2θ2+32玸in2θ)

=63·［12+玸in(2θ－π6)］

即S△ABC=63·玸in(2θ－π6)+33

所以，當(dāng)2θ－π6=π2,即θ=π3時(shí)，(S△ABC)┆玬ax=93玬2┆

答：當(dāng)θ=60°時(shí)，所建造的三角形露天活動(dòng)室的面積最大．

說明：本題是以一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際問題出發(fā)設(shè)計(jì)的一個(gè)考查三角形中的正弦定理、三角恒等變換、三角函數(shù)性質(zhì)的題目，完整解答該題必須對(duì)三角恒等變換十分熟練．

4．統(tǒng)計(jì)與概率模型

在新課標(biāo)數(shù)學(xué)教材中，統(tǒng)計(jì)與概率是必修3模塊的主打內(nèi)容，并在選修2-3中進(jìn)一步拓展.在近幾年的高考應(yīng)用題中，統(tǒng)計(jì)與概率模型應(yīng)用題幾乎占盡“半壁江山”.

例4 （2011·遼寧卷文科卷）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn)．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙．

(1)假設(shè)n＝2，求第一大塊地都種植品種甲的概率；

(2)試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n＝8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位：玨g/hm2)如下表：

品種甲,403,397,390,404,388,400,412,406;品種乙,419,403,412,418,408,423,400,413;分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？

附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x璶的樣本方差s2＝1n［(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x璶－)2］，其中為樣本平均數(shù)．

解析: (1)設(shè)第一大塊地中的兩小塊地編號(hào)為1,2，第二大塊地中的兩小塊地編號(hào)為3,4，令事件A＝“第一大塊地都種品種甲”．

從4小塊地中任選2小塊地種植品種甲的基本事件共6個(gè)：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．

而事件A包含1個(gè)基本事件：(1,2)．

所以P(A)＝16.

(2)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

甲＝18(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，

s2甲＝18［32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62］＝57.25.

品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，

S2乙＝18［72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12］＝56.

由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙．

說明：本題為概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)內(nèi)容,涉及到總體特征數(shù)的估計(jì)以及古典概型求事件的概率問題.要讀懂題意,分清類型,列出基本事件,查清個(gè)數(shù),利用有關(guān)概率與統(tǒng)計(jì)的公式解答.

例5 （2011廣東高考模擬理科卷）某電器商由多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店出售的電冰箱的臺(tái)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列P(ξ=k)=112(k=1,2,……,12)，設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，該臺(tái)冰箱可獲利300元，若售不出則囤積在倉(cāng)庫(kù)，每臺(tái)需支付保管費(fèi)100元/月，問：該電器商月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使自己的月平均收入最大？

解析：找出離散型隨機(jī)變量月收入η與ξ的線性函數(shù)關(guān)系，用表格形式列出η與ξ的相關(guān)分布列，把月平均收入最大的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為月售電冰箱利潤(rùn)期望值的最大問題.

設(shè)電器商月初購(gòu)進(jìn)的電冰箱臺(tái)數(shù)為x，月收益為η，則η是隨機(jī)變量ξ的函數(shù)η＝300x(ξ≥x)

300ξ-100(x-ξ)(ξ

ξ1…x-1xx+1…12

η300×1-100(x-1)…300(x-1)-100×1300x300x…300x

P112…112112112…112

則Eη=［300×1－100(x－1)］×112+［300×2－100(x－2)］×112+…+［300(x-1)-100］×112+300x(13-x)×112=253(－2x2+38x)=－503(x－192)2+90256

所以當(dāng)x=9或10時(shí)，Eη值最大.

答：電器商月初購(gòu)進(jìn)9或10臺(tái)電冰箱時(shí)能使自己的月平均收入最大.

說明：注重對(duì)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望意義的理解，關(guān)于離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用題，關(guān)鍵是找出相關(guān)變量之間的關(guān)系，而列表是一個(gè)比較好的方法，它能清晰地反映出變量之間的聯(lián)系，有利于解題.在實(shí)際問題中有時(shí)用期望或方差兩個(gè)數(shù)字特征來反映事件的優(yōu)劣.

最后提醒同學(xué)們注意的是要答題規(guī)范.數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題表述，一般都有“一解，二設(shè)，三由題意得，四求解，五由實(shí)際意義定取舍，六寫答案的完整”的步驟與格式.

（作者：徐彩娥，江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué))