函數(shù)問題是歷年高考命題的熱點之一，題型有填空題、解答題，解答題一般是以中高檔題為主，這類題將函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等知識融合，難度較大，因此在復(fù)習(xí)過程中有必要認(rèn)真加以研究，以提高應(yīng)試能力.本文對函數(shù)綜合題的題型進(jìn)行一些歸類，供參考．

一、含絕對值的函數(shù)

例1 已知函數(shù)f(x)=|x－m|和函數(shù)g(x)=﹛|x－m|+m2－7m.

（1）若方程f(x)=|m|在［－4,+∞)上有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若對任意x1∈(－∞,4］，均存在x2∈［3,+∞)，使得f(x1)>g(x2)成立，求實數(shù)m的取值范圍.

解：（1）方程f(x)=|m|，即|x－m|=|m|．此方程在x∈R時的解為：x=0和x=2m．要使方程|x－m|=|m|在x∈［-4,+∞)上有兩個不同的解，則2m≥－4且2m≠0，所以m的取值范圍是m≥－2且m≠0.

（2）原命題等價于：對任意x1∈(－∞,4］，存在x2∈［3,+∞)，均有f(x1)┆玬in>g(x2)┆玬in.而對于任意x1∈(－∞,4］，f(x)┆玬in=0(m≤4)m－4(m>4)；

對任意x2∈［3,+∞)，

g(x)┆玬in=m2－10m+9(m<3)m2－7m(m≥3)，┆

① 當(dāng)m<3時，0>m2－10m+9，即1

② 當(dāng)3≤m≤4時，0>m2－7m，即3≤m≤4.

③ 當(dāng)m>4時，m－4>m2－7m，即4

綜上所述：1

點評：本題是融絕對值函數(shù)、最值、不等式、圖像等知識為一體的一個探索性綜合題，其解題思路是：根據(jù)函數(shù)定義域，確定函數(shù)的最小值，最后根據(jù)題目要求探索出滿足條件的結(jié)論，并作論證.解答絕對值函數(shù)要注意：①各段解析式與定義域的對應(yīng)關(guān)系；②要注意分類討論思想的的應(yīng)用，以免漏解；③函數(shù)單調(diào)性及圖象應(yīng)注意各段間的聯(lián)結(jié)關(guān)系.對絕對值函數(shù)的考查已成為高考的一個新的亮點，復(fù)習(xí)中要引起足夠的重視.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象以及導(dǎo)數(shù)這個工具來解決函數(shù)綜合題

例2 已知函數(shù)f(x)=x玡－x(x∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,證明:當(dāng)x>1時, f(x)>ゞ(x)；

(3)如果x1≠x2且f(x1)=f(x2),證明: x1+x2>2.

解: (1)f′(x)=(1－x)玡-x,令f′(x)=0,解得x=1,列表如下:

x(－∞,1)1(1,+∞)

f′(x)+0—

f(x)↗極大值↘

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞,1)，單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞)，函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)=1e.

(2)由題意可知g(x)=f(2－x),得g(x)=(2－x)玡﹛－2.令F(x)=f(x)－g(x),即F(x)=x玡－x+(x－2)玡﹛－2,于是F′(x)=(x－1)(玡2x－2－1)玡－x.當(dāng)x>1時, 2x－2>0,又玡－x>0,所以F′(x)>0,從而函數(shù)F(x)在［1, +∞)是單調(diào)遞增函數(shù),且F(1)=玡－1－玡－1=0,故當(dāng)x>1時,有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).

(3)由(1)的結(jié)論及函數(shù)f(x)的圖象可知:不妨設(shè)x1<1,x2>1,再有(2)的結(jié)論可知f(x2)>g(x2),且g(x2)=f(2－x2),所以f(x2)>f(2－x2),從而ゝ(x1)>猣(2－x2),因為x2>1,所以2－x2<1,又由(1)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞,1)上是增函數(shù),所以x1>2－x2,即x1+x2>2.

點評：導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材后，給函數(shù)綜合題的考查賦予了新的生機(jī)與活力，開辟了許多新的解題途徑，拓寬了高考對函數(shù)綜合題的命題空間.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、函數(shù)圖象等知識，考查運算能力及分類討論的思想方法．

三、函數(shù)與數(shù)列、不等式等知識的綜合題

例3 已知函數(shù)f(x)=1+玪n玿x．

（1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a+1)上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）求證：當(dāng)n∈N,n≥2時，nf(n)<2+12+13+…+1n－1.

解:（1）由f(x)=1+玪n玿x得f′(x)=－玪n玿x2，令ゝ′(x)=0得x=1．則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，(1,+∞)上單調(diào)遞減，即f(x)在x=1處取得極大值，由題意得a<1

（2）∵nf(n)=1+玪n玭,即證：玪n玭<1+12+13…+1n－1，（n≥2, n∈N*）

令T璶=1+12+13+…+1n－1－玪n玭，

則T﹏+1=1+12+13+…+1n－玪n(n+1)，

∴ T﹏+1－T璶=1n－玪n(n+1)+玪n玭

=1n－玪n(1+1n)，

設(shè)1n=t，則t∈(0,12］，令函數(shù)g(t)=t－玪n(1+t),t∈(0,12］，

有g(shù)′(t)=1－11+t>0在t∈(0,12］恒成立，所以g(t)>g(0)=0，

即有T﹏+1>T璶成立，也就是數(shù)列｛T璶｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以T璶≥T2=1－玪n2>0，即nf(n)<2+12+13+…+1n－1成立.

點評：數(shù)列是特殊的函數(shù),函數(shù)的圖象、性質(zhì)能反映數(shù)列的規(guī)律特征,利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)解數(shù)列問題,體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合,更能使復(fù)雜問題簡單化．

四、以基本函數(shù)為依據(jù)構(gòu)造新函數(shù)

例4 對于函數(shù)f1(x),f2(x),h(x)，如果存在a,b使得h(x)=af1(x)+bf2(x)，那么稱h(x)為ゝ1(x),猣2(x)的生成函數(shù).

（1）下面給出一組函數(shù)，問h(x)是否分別為ゝ1(x),猣2(x)的生成函數(shù)？并說明理由.

f1(x)=玸in玿,

f2(x)=玞os玿,

h(x)=玸in(x+π3).

(2)設(shè)f1(x)=玪og2x,f2(x)=玪og12獂,a=2,b=1,生成函數(shù)h(x).若不等式h(4x)+t·h(2x)<0在x∈［2,4］上有解,求實數(shù)t的取值范圍.

(3)設(shè)f1(x)=x(x>0),f2(x)=1x(x>0),取a>0,b>0,生成函數(shù)h(x)圖像的最低點坐標(biāo)為(2,8).若對任意正實數(shù)x1,x2,x1+x2=1,問是否存在最大的常數(shù)m,使h1(x)h2(x)≥m恒成立?如果存在,求出這個m的值;如果不存在,請說明理由.

解: (1)設(shè)玸in(x+π3)=a玸in玿+b玞os玿，即12玸in玿+32玞os玿=a玸in玿+b玞os玿，取a=12,b=32，所以﹉(x)是f1(x),f2(x)的生成函數(shù).

（2)h(x)=2f1(x)+f2(x)=2玪og2x+玪og12獂=玪og2x.由h(4x)+t·h(2x)<0，即玪og2(4x)+t·┆玪og2(2x)<0，即(2+玪og2x)+t(1+玪og2x)<0．因為x∈［2,4］，所以1+玪og2x∈［2,3］，則t<－2+玪og2x1+玪og2x=－1－11+玪og2x，函數(shù)y=－1－11+玪og2x在［2,4］上單調(diào)遞增，所以y┆玬ax=－43，故t<－43.

（3)由題意h(x)=ax+bx(x>0,a>0,b>0),則h(x)≥2ab,故2a+b2=82ab=8,解得a=2b=8,所以h(x)=2x+8x(x>0).假設(shè)存在最大的常數(shù)m,使得﹉1(x)h2(x)≥m恒成立,則設(shè)u=h1(x)h2(x)=4(x1+4x1)(x2+4x2)=4x1x2+64x1x2+16(x1x2+x2x1) = 4x1 獂2+ 64x1 獂2+ 16·x21+ x22 獂1 獂2= 4x1 獂2+ 64x1 獂2+ 16·(x1+ x2 )2-2x1 獂2 獂1 獂2 =4x1x2+80x1x2－32

設(shè)t=x1x2,則t=x1x2≤(x1+x22)2=14,即t∈(0,14］,則u=4t+80t－32,t∈(0,14］,因為u′(t)=4－80t2<0,t∈(0,14］,所以u=4t+80t－32在(0,14］上單調(diào)遞減,從而u≥u(14)=289,故存在最大的常數(shù)m=289.

點評：本題以一道新定義型函數(shù)為背景，通過設(shè)置新情境，考查同學(xué)們閱讀、理解、遷移新知識的能力，以及靈活運用函數(shù)知識求解問題能力.此類題型的解題思路是：理解定義，按定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換，利用已有的函數(shù)等相關(guān)知識求解.由于此類創(chuàng)新性函數(shù)問題往往能將函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等知識融為一體，極富有思考性和挑戰(zhàn)性，能有效考查同學(xué)們的思維水平和綜合能力.預(yù)計在今后的高考中將會設(shè)計出更加靈活，更能體現(xiàn)“能力立意”的命題，復(fù)習(xí)中要注意這種趨向.

綜上所述，函數(shù)解答題往往立足于考查函數(shù)單調(diào)性、極值、切線、恒成立等問題，尤其是利用導(dǎo)數(shù)工具解決單調(diào)區(qū)間和極值問題的能力，同時要注重含參問題的分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．

解題時還要注意以下幾點：先仔細(xì)審題，確定解題方案，這就是所謂的“先想后動、多想少動”；求導(dǎo)要準(zhǔn)，否則后面就會白費力氣而不能得分；求極值和單調(diào)區(qū)間時別忘了定義域；極值不一定是最值，最值也不一定是極值，連續(xù)函數(shù)的最值有可能在邊界或極值處取得；分類討論時要討論全面，避免遺漏；解決含參問題時要注意能否取等．最后一點，復(fù)習(xí)時別忘了重視用通法、通性解題．

（作者：牛海亮，江蘇省蘇州大學(xué)附屬中學(xué))お