1 不得不關注的兩個事實

1．1 解析幾何在歷年試卷中的比重：

2．圓錐曲線與方程

中心在坐標原點橢圓的標準方程與幾何性質√

中心在坐標原點雙曲線的標準方程與幾何性質√

頂點在坐標原點拋物線的標準方程與幾何性質√

1.3 參照近幾年江蘇卷我們會發(fā)現(xiàn)：

（1）解析幾何內容在近幾年江蘇高考中，從所占的分值來看平均大約占21分，在理科附加題的考查中也常有解析幾何的影子；

（2）從題型上看，一般填空題為1~2題，解答題一般為1題；

（3）從試題命題的難度看，僅有2010年第6題考查的是有關雙曲線的問題是屬于基礎題，其他試題均屬于中檔題或綜合性較強的問題.

事實上，從江蘇高考考綱對這一部分的要求來看，也只有對雙曲線與拋物線的要求是A級，所以我們在復習這兩種圓錐曲線時切忌挖得太深．當然，關于空間直角坐標系的考查主要是放在理科附加題部分空間向量在立體幾何中的應用．

2 解析幾何題高考指向

2.1 指向1：有關直線的問題

考題1（08 江蘇 9）如圖，在平面直角坐標系xOy中，設三角形ABC的頂點分別為A(0,a),B(b,0),〤(c,0)，點P(0,p)是線段AO上的一點（異于端點），這里a,b,c,p均為非零實數，設直線BP,CP分別與邊AC,AB交于點E,F，某同學已正確求得直線OE的方程為(1b－1c)x+(1p－1a)y=0，請你完成直線OF的方程：()+(1p－1a)y=0．

【解析】本小題考查直線方程的求法．畫草圖，由對稱性可猜想填1c－1b．事實上，由截距式可得直線AB：xb+ya=1，直線CP：xc+yp=1，兩式相減得(1c－1b)x+(1p－1a)y=0，顯然直線AB與CP 的交點F 滿足此方程，又原點O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程．

【答案】1c－1b.

2.2 指向2：有關圓錐曲線的問題

考題2（10 江蘇 6）在平面直角坐標系xOy中，雙曲線x24－y212=1上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的距離是__________.

【答案】4

考題3（08 江蘇 12）在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2c，以O為圓心，a為半徑作圓M，若過P(a2c，0)作圓M的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為__________.

【解析】設切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a2c=2a，解得e=ca=22．

【答案】22

考題4（09 江蘇 13）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A1,A2,B1,B2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為__________

【答案】27-5

【解析】用a,b,c表示交點T，得出M坐標，代入橢圓方程即可轉化解得離心率.

2.3 指向3：有關直線與圓的問題

考題5（10 江蘇 9）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x－5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是__________.

【答案】(－13,13)

【解析】考查圓與直線的位置關系．圓半徑為2，圓心(0,0)到直線12x－5y+c=0的距離小于1，|c|13<1，所以c的取值范圍是(－13,13).

考題6（08 江蘇 18）在平面直角坐標系xOy中，記二次函數f(x)=x2+2x+b（x∈R）的圖象與兩坐標軸有三個交點．經過這三個交點的圓記為C．

（1）求實數b的取值范圍；

（2）求圓C的方程；

（3）問圓C是否經過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論．

解析：（1）令x=0,由b≠0且Δ>0,得b<1且b≠0.

(2)涉及圓與坐標軸的交點問題，設圓的一般方程轉化為二次方程解的問題，可得圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.也可以首先求出三個交點的坐標，利用待定系數法，將點的坐標代入圓的方程.

（3）將圓C過定點轉化為方程恒成立問題，求得圓C過定點(0,1),(-2,1).

考題7（09 江蘇 18）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1:(x+3)2+(y－1)2=4和圓C2:(x－4)2+(y－5)2=4

（1）若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為23，求直線l的方程；

（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標.

【解析】(1) y=0或y=－724(x－4)，

(2)利用垂徑定理可知弦心距相等，再轉化為關于k的方程恒成立問題.或由題意知P在線段C1C2的中垂線上，且與C1、C2成等腰直角三角形，利用幾何關系計算可得點P坐標為(－32,132)或(52,－12)．┆

2.4 指向4：有關直線與橢圓的問題

考題8（10 江蘇 18）在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓x29+y25=1的左、右頂點為A、B，右焦點為F．設過點T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1,y1)、㎞(x2,獃2)，其中m>0，y1>0,y2<0．

（1）設動點P滿足PF2－PB2=4,求點P的軌跡；

（2）設x1=2,x2=13，求點T的坐標；

（3）設t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）．

［解析］ （1）點P的軌跡為直線x=92．

（2）點T的坐標為(7,103)．

（3）將直線AT、BT分別與橢圓聯(lián)立方程組.考慮到A、B兩點為定點，

解得：M(3(80－m2)80+m2,40m80+m2)、N(3(m2－20)20+m2,－20m20+m2)．

（方法一）當x1≠x2時，直線MN方程為：y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x－3(m2－20)20+m23(80－m2)80+m2－3(m2－20)20+m2

令y=0，解得：x=1．此時必過點D（1，0）；

當x1=x2時，直線MN方程為：x=1，與x軸交點為D（1，0）．

所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）．

（方法二）若x1=x2，則由240－3m280+m2=3m2－6020+m2及m>0，得m=210，

此時直線MN的方程為x=1，過點D（1，0）．

若x1≠x2，則m≠210，直線MD的斜率k㎝D=40m80+m2240－3m280+m2－1=10m40－m2，

直線ND的斜率k㎞D=－20m20+m23m2－6020+m2－1=10m40－m2，得k㎝D=k㎞D，所以直線MN過D點．

因此，直線MN必過x軸上的點（1，0）．

3 2012年江蘇高考數學預測

3.1 從近幾年的命題及考綱要求看，有這樣一個現(xiàn)象值得關注：那就是直線與圓和直線與橢圓的輪番交替出現(xiàn)．08年在填空題第12題考查了求橢圓的離心率，隨即在第18題考查了直線與圓的綜合題；09年在填空題第13題考查了求橢圓的離心率，隨即在第18題考查了直線與圓的綜合題；10年在填空題第9題考查了直線與圓，隨即在第18題考查了運算量較強的直線與橢圓的綜合題．也就是說直線與圓和直線與橢圓這幾年考查規(guī)律基本上是以一大一小的形式進行，而且均有一定的綜合性．

3.2 新考綱對雙曲線及拋物線的要求較低（均為A級要求），從這幾年的高考命題來看，僅有一題考察了雙曲線的基本知識，這就提示我們在復習這兩種圓錐曲線時，一定要大膽摒棄一些難度偏大的填空題，運算量偏大的解答題，那些在舊考綱要求下的繁瑣問題要堅決舍棄，不能因此讓我們復習偏離了方向．

（作者：薛鈞，江蘇省如皋中學)