張忠一

小船在有一定水流流速的河中渡河時，實際上參與了兩個方向的分運動，即隨水流的運動（水沖船的運動）和船相對于水的運動（即在靜水中船的運動），船的實際運動是這兩個運動的合運動. 設小河的寬度為d，小船在靜水中的速度為v1，水流速度為v2，船頭與河岸上游的夾角為θ，如圖1所示. 根據(jù)運動的分解和合成有：

分運動的速度為vx=v2－v1cosθ，vy=v1sinθ.

分運動的位移為x=（v2－v1cosθ）t，y=v1sinθ·t.

■ 模型一怎樣渡河時間最短

小船在垂直河岸方向的分運動的位移y=d，再根據(jù)y=v1sinθ·t，解得渡河所需時間為t=■，可以看出：在d、v1一定時，t隨sinθ的增大而減??；當θ=90°時，sinθ=1（最大），所以，船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，且為：tmin=■.

■ 例1小船在靜水中的速度v1=4 m/s，水流速度v2=3 m/s，河寬d=100 m.

（1） 要使小船過河時間最短，船速方向如何？小船的實際運動方向如何？

（2） 過河的最短時間為多大？這時船到達正對岸的地點在何處？

■ 解析（1） 要使小船過河時間最短，船頭垂直河岸航行，即船速方向正對河岸. 設此時小船實際運動方向與河岸下游的夾角為α，則tan α=■=■，故α=53°.

（2） 最短時間tmin=■=■ s=25 s，此時x=v2t=3×25 m=75 m，即小船到達正對岸下游75 m處.

■ 模型二怎樣渡河位移最短

設小船渡河的實際位移為s，由運動的合成可知s=■，而y方向的位移為定值d，則當x=0時，smin=d，此時vx=v2－v1cosθ=0，因為0≤cosθ≤1，故必須有v1>v2，此結論才能成立. 若v1=v2，則θ=0，此時船靜止，不合題意. 若v10，小船實際速度不會垂直于河岸. 下面分兩種情況來探究：

1. 若v1>v2，小船渡河最小位移為河寬d，小船的合速度方向與河岸垂直，如圖2甲所示. 則有

x=（v2－v1cosθ）t=0

解得cosθ=■，

所以當θ=arccos ■時，smin=d.

2. 若v1

■ 例2河寬60 m，水流速度v1=6 m/s，小船在靜水中速度v2=3 m/s，則：

（1） 它渡河的最短時間是多少？

（2） 最短航程是多少？

■ 解析（1） 以水流速度方向為x軸正方向，以垂直河岸方向為y軸正方向. 以船開出點為坐標原點建立坐標系，設船與岸成?茲角開出（如圖3所示）將v2沿x、y方向分解，則

v2x=v2cos ?茲，v2y=v2sin ?茲

過河時間t=■.

當?茲=90°時，過河的時間最短，

tmin=■=■s=20 s.

（2） 先作出OA表示水流速度v1，然后以A為圓心，以船對水的速度v2的大小為半徑作圓，過D作圓的切線OB與圓相切于B，連接AB，過O作AB平行線，過B作OA的平行線，兩平行線相交于C，則OC為船對水的速度v2，（如圖4所示）所示. 由圖不難看出，船沿OBD行駛到對岸位移最短，設v2與河岸的夾角為?琢，則有cos ?琢=■=■=0.5，所以?琢=60°.

Smin=■=120 m.

■ 模型三怎樣渡河速度最小

在小船渡河的出發(fā)點和目的地均確定的情況下，如何確定最小船速呢？如圖5所示，小船的合速度v方向（沿OP方向）已經(jīng)確定，即α確定，水流的速度v2大小和方向是確定的，則當v1的方向與v的方向垂直時，v1的值最小. 這時v1與上游河岸的夾角θ=arccos■，小船渡河的最小速度為v1=v2sinα.

■ 例3有一小船正在橫渡一條寬為30 m的河流，在正對岸下游40 m處有一危險水域，假如水流速度為5 m/s，為了使小船在危險水域之前到達對岸，那么，小船相對于靜水的最小速度是多少？

■ 解析根據(jù)題意，船實際航行方向至少滿足與河岸成夾角α，則tanα=■，所以α=37°，如圖5所示，則根據(jù)速度的矢量合成，船能保證沿虛線移動，而不進入危險區(qū)，又滿足速度值最小. 因此v1=v2·sin 37°=3 m/s.