晁春陽 馬壯

[摘 要] 文章介紹控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及系統(tǒng)的分類，通過實(shí)驗(yàn)室電路模擬和MATLAB仿真兩種方法，對線性O(shè)型和Ⅰ型系統(tǒng)在階躍響應(yīng)下的穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證了系統(tǒng)理論計(jì)算的準(zhǔn)確性，分析并得出兩者間存在誤差的主要原因。

[關(guān)鍵詞] MATLAB；實(shí)驗(yàn)；穩(wěn)態(tài)誤差；線性系統(tǒng)

[作者簡介] 晁春陽，唐山學(xué)院信息工程系，研究方向 ：電氣工程及其自動化，河北 唐山，063000；馬壯，唐山學(xué)院信息工程系講師，研究方向 ：自動控制理論研究與自動化技術(shù)應(yīng)用，河北 唐山，063000

[中圖分類號] TP202 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-7723（2012）11-0035-0003

MATLAB即矩陣實(shí)驗(yàn)室，是一款當(dāng)今世界上最優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算軟件，是用于概念設(shè)計(jì)、算法開發(fā)、建模仿真、實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)的美國公司開發(fā)的理想的集成環(huán)境。它為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案[1]，在數(shù)學(xué)、教學(xué)、研究等方面得到廣泛應(yīng)用。穩(wěn)態(tài)誤差在實(shí)際生產(chǎn)中有著不可替代的作用，是衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定品質(zhì)的重要指標(biāo)。

一、控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差概念

系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下輸出量的期望值與之間的誤差，稱為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的大小是衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標(biāo)。由于不靈敏區(qū)、零點(diǎn)漂移、老化等非線性因素以及輸入函數(shù)的形式不同，使得自動控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，從而不可避免地存在穩(wěn)態(tài)誤差[2]。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。

圖1為控制系統(tǒng)的典型動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)給定信號Xr（s）與主反饋信號Xf（s）不相等時(shí)，一般定義其差值E（s）為誤差信號。此時(shí)，誤差定義為：

E（s）=Xr（s）-Xf（s）=Xr（s）-Wf（s）Xc（s）[3]

這個(gè)誤差是可以測量的。

另一種誤差的定義方法是從系統(tǒng)的輸出端來定義的，誤差等于系統(tǒng)輸出量的實(shí)際值與期望值之差。這種方法定義的誤差，在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無法測量，因而一般只具有數(shù)學(xué)意義。

對于圖2所示單位反饋系統(tǒng)，這兩種方法定義是相同的。對于單位反饋控制系統(tǒng)，反饋傳遞函數(shù)Xf（s）=1，則輸出量的希望值就是輸入信號，因而兩種誤差定義的方法是一致的。

二、系統(tǒng)的劃分[4]

根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)，可將系統(tǒng)分為幾種不同類型。單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為：

式中：N——開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)的階次，也稱為系統(tǒng)的無差階數(shù)；

——N個(gè)串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)。

N=0時(shí)的系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)；N=1的系統(tǒng)稱為Ⅰ型系統(tǒng)，以此類推。隨著N值增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低。

本文主要分析0型Ⅰ型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差問題。

三、實(shí)驗(yàn)步驟及分析

本文利用已知的系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

和

首先對系統(tǒng)進(jìn)行理論分析得出計(jì)算值，然后通過實(shí)驗(yàn)電路和MATLAB仿真對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證線性0型Ⅰ型在階躍信號響應(yīng)下穩(wěn)態(tài)誤差的準(zhǔn)確性。

（一）實(shí)驗(yàn)設(shè)備

本文以AEDK-LabACT-3A實(shí)驗(yàn)箱為例，來進(jìn)行分析。

（二）實(shí)驗(yàn)過程

1. Ⅰ型系統(tǒng)分析

I型系統(tǒng) ： ，其穩(wěn)態(tài)誤差公式為：

對于Ⅰ型系統(tǒng)，位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)為 ：

Ⅰ型系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差：

經(jīng)計(jì)算：

自然角頻率：

阻尼比：

超調(diào)量：

峰值時(shí)間為： ≈0.41s

調(diào)節(jié)時(shí)間： （5%）≈ =0.60s

（1）根據(jù)圖3中的電路圖連接電路，接通實(shí)驗(yàn)箱電源，打開Lab ACT軟件，進(jìn)行觀察。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

由實(shí)驗(yàn)觀察得出，峰值時(shí)間Tr≈0.41s；

超調(diào)量為：

穩(wěn)態(tài)誤差為0。

（2）用Matlab仿真[5]如下：

num=[25]；den=[0.3，3，25]；

t=[0：0.1：5]；

sys=tf（num，den）；

step（t，3.008*sys）；

grid

由仿真結(jié)果圖5可知如下參數(shù)：

超調(diào)量： 12.80%

峰值時(shí)間為 ≈0.41s

調(diào)節(jié)時(shí)間： （5%）≈0.58s

穩(wěn)態(tài)誤差仿真過程及結(jié)果如下：

num1=[0.3，3，0]；den1=[0.3，3 25]*3.008；

ess1=dcgain（num1，den1）

ess1 =0

該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：ess=0

2. 0型系統(tǒng)分析

0型系統(tǒng)

經(jīng)計(jì)算：

自然角頻率：

阻尼比：

峰值時(shí)間為：

調(diào)節(jié)時(shí)間：

超調(diào)量： ≈18.77%

穩(wěn)態(tài)誤差： ≈3.008*1/（1+4）≈0.60V

（1）同理根據(jù)圖6的電路圖連接電路，用LabACT進(jìn)行觀察。

由實(shí)驗(yàn)圖7觀察得出：

峰值時(shí)間Tr≈0.24s

超調(diào)量：

穩(wěn)態(tài)誤差： ≈3.008-2.42=0.588≈0.59V

用matlab仿真程序如下：

num=[200]；

den=[1，15，250]；

t=[0：0.1：5]；

sys=tf（num，den）；

step（t，3.008*sys）；grid

由仿真結(jié)果圖8可知如下參數(shù)：

超調(diào)量： 18.40%

峰值時(shí)間為： ≈0.22s

調(diào)節(jié)時(shí)間： （5%）≈0.33s

穩(wěn)態(tài)誤差仿真過程及結(jié)果為：

num2=[0.04 0.3 1]；

den2=[0.04 0.3 5]；

ess2=dcgain（num2，den2）*3.008

ess2 =0.6016

該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：

ess≈0.6V