賀浩

【摘要】利用代數方法，探索了兩個二次代數曲面的3次GC1階拼接條件，得出一個充要條件的結論，并利用結論給出了實例，結合玀ATLAB軟件工具給出了球面和圓柱體沿截平面光滑拼接圖形.

【關鍵詞】代數曲面；光滑拼接；玀ATLABオ

1.引 言

設g1(x,y,z)=0,g2(x,y,z)=0分別為兩個二次曲面，1989年，獼.Warren［1］給出了一個新的幾何連續(xù)性定義：

定義1.1 設s(g1),s(g2)分別為過不可約空間曲線C的兩個代數曲面，關于C上的GC琸連續(xù)，若存在

（1）s(g1),s(g2)于C上除有限個點外光滑；

（2）鯝,B∈C［x,y,z］于C上不恒等于0,使得Ag1,Bg2于C上的k階偏微分商相等.

隨著后來學者的研究，獹roebner基方法和吳方法的提出，國內外學者對于代數曲面之間的拼接進入一個新的階段，有了如下的一些定理的出現.

定理1［1］ 設二次曲面S(g璱)與截平面S(h璱)交于不可約二次曲線，i=1,2,…,n，若存在多項式f，對于S(f)分別實現S(h璱)處與S(g璱)處實現GC琸拼接，則有

f∈∩∩…∩.(1.1)

并且f有表達式：

f=u璱g璱+a璱h﹌+1璱,i=1,2,…,n.(1.2)

其中玠eg(u璱)≤玠eg(f)-玠eg(g璱).

玠eg(a璱)≤玠eg(f)-(k+1).(1.3)

若存在這樣的f，則S(f)分別與S(g璱)在S(h璱)上GC琸光滑拼接的條件就是當u璱在S(g璱,h璱)上不恒為零.

獼.Warren給出的結論給我們提供了很好的解決方法，理論上可以求出階數很高的光滑拼接，但是由于涉及大量的計算問題，不容易處理，在實際應用中，對其要求也很低，希望過渡曲面是一個低次的曲面，吉林大學和西南交通大學的學者［3］對在控制曲面存在的情況下的低次拼接作出了理論研究，1994年，我國數學家吳文俊先生研究了兩個軸互相垂直的管道，在3次GC1光滑拼接曲面存在的條件.廣大學者之后展開了對特殊情況下的代數曲面低次拼接條件的探求.

本文主要是對兩個二次代數曲面的3次GC1階拼接條件的探討和應用.

2.三次拼接曲面存在的充要條件計算

現在我們研究建立在兩個二次代數曲面上的3次GC1光滑拼接條件，設兩個代數曲面方程為：

g璱(x,y,z)=a﹊1獂2+a﹊2獃2+a﹊3獄2+a﹊4獂y+a﹊5獃z+a﹊6獂z+a﹊7獂+a﹊8獃+a﹊9獄+a﹊0=0(i=1,2).

從定理1知道，得到的過渡曲面f滿足f∈∩.

f=m1g1+n1h21=m2g2+n2h22.（2.1）

截平面方程為：

h璱(x,y,z)=c﹊1獂+c﹊2獃+c﹊3獄+c璱=0(i=1,2).（2.2）

由式（1.3）知：

玠eg(m璱)≤玠eg(f)-玠eg(g璱)=3-2=1,玠eg(n璱)≤┆玠eg(f)-(1+1)=3-2=1.

設m璱，n璱分別為下式：

m璱(x,y,z)=m﹊1獂+m﹊2獃+m﹊3獄+m﹊4=0(i=1,2),

n璱(x,y,z)=n﹊1獂+n﹊2獃+n﹊3獄+n﹊4=0(i=1,2).（2.3）

將（2.2）（2.3）代入m璱g璱+n璱h2璱中得：

m璱g璱+n璱h2璱=(m﹊1猘﹊1+n﹊1猚2﹊1)x3+(m﹊2猘﹊2+n﹊2猚2﹊2)y3+(m﹊3猘﹊3+n﹊3猚2﹊3)z3+(m﹊1猘﹊4+m﹊2猘﹊1+2n﹊1猚﹊1猚﹊2+n﹊2猚2﹊1)x2y+(m﹊1猘﹊6+m﹊3猘﹊1+2n﹊1猚﹊1猚﹊3+n﹊3猚2﹊1)x2z+(m﹊1猘﹊2+m﹊2猘﹊4+2n﹊2猚﹊1猚﹊2+猲﹊1猚2﹊2)y2x+(m﹊2猘﹊5+m﹊3猘﹊2+2n﹊2猚﹊2猚﹊3+n﹊3猚2﹊2)y2z+(m﹊1猘﹊3+m﹊3猘﹊6+2n﹊3猚﹊1猚﹊3+n﹊1猚2﹊3)z2x+(m﹊2猘﹊3+m﹊3猘﹊5+2n﹊3猚﹊2猚﹊1+猲﹊2猚2﹊3)z2y+(m﹊1猘﹊7+m﹊2猘﹊1+2n﹊1猚﹊1猚璱+n﹊4猚2﹊1)x2+(m﹊2猘﹊8+m﹊4猘﹊2+2n﹊2猚﹊3猚璱+n﹊4猚212)y2+(m﹊3猘﹊9+m﹊2猘﹊1+2n﹊3猚﹊3猚璱+猲﹊3猚2﹊3)z2+(m﹊1猘﹊8+m﹊2猘﹊7+m﹊4猘﹊4+2n﹊1猚﹊3猚璱+2n﹊4猚﹊1猚﹊2+2n﹊2猚﹊1猚璱)xy+(m﹊2猘﹊9+m﹊3猘﹊8+m﹊4猘﹊5+2n﹊2猚﹊3猚璱+2n﹊3猚﹊3猚璱+2n﹊4猚﹊2猚﹊3)yz+(m﹊1猘﹊9+m﹊3猘﹊7+m﹊4猘﹊6+2n﹊1猚﹊3猚璱+2n﹊3猚﹊1猚璱+2n﹊4猚﹊1猚﹊3)xz+(m﹊1猘﹊5+m﹊2猘﹊6+m﹊3猘﹊4+2n﹊1猚﹊2猚﹊3+2n﹊2猚﹊1猚﹊3+2n﹊3猚﹊1猚﹊2)xyz+(m﹊1猘﹊0+m﹊4猘﹊7+n﹊1猚2璱+2n﹊4猚﹊1猚璱)x+(m﹊2猘﹊0+m﹊4猘﹊8+n﹊2猚2璱+2n﹊4猚﹊3猚璱)y+(m﹊3猘﹊0+m﹊4猘﹊9+n﹊3猚2璱+2n﹊4猚﹊3猚璱)z+m﹊4猘﹊0+n﹊4猚2璱.

由（1.2）知：m1g1+n1h21=m2g2+n2h22.要使其成立，即使上式的x,y,z為未知數的等式系數相等，故可以得到一個關于

m﹊1,m﹊2,m﹊3,m﹊4,n﹊1,n﹊2,n﹊3,n﹊4(i=1,2)的系數方程式，如下：

(m11猘11+n11猚211)-(m21猘21+n21猚221)=0，

(m12猘12+n12猚212)-(m22猘22+n22猚222)=0，

(m13猘13+n13猚213)-(m23猘23+n23猚223)=0,

(m14猘10+n14猚21)-(m24猘20+n24猚22)=0,

(m11猘14+m12猘11+2n11猚11猚12+n12猚211)-(m21猘24+m22猘21+2n21猚21猚22+n22猚221)=0.

(m11猘16+m13猘11+2n12猚11猚13+n13猚211)-(m21猘26+m23猘21+2n21猚21猚23+n23猚221)=0.

(m11猘12+m12猘14+2n12猚11猚12+n11猚212)-(m21猘22+m22猘24+2n22猚21猚22+n21猚222)=0.

(m12猘15+m13猘12+2n12猚12猚13+n13猚212)-(m22猘25+m23猘22+2n22猚22猚23+n23猚222)=0.

(m11猘13+m13猘16+2n13猚11猚13+n11猚213)-(m21猘23+m23猘26+2n23猚21猚23+n21猚223)=0.

(m12猘13+m13猘15+2n13猚12猚11+n12猚213)-(m22猘23+m23猘25+2n23猚22猚21+n22猚223)=0.

(m11猘17+m12猘11+2n11猚11猚1+n14猚211)-(m21猘17+m22猘21+2n21猚21猚2+n24猚221)=0.

(m12猘18+m14猘12+2n12猚13猚1+n14猚212)-(m22猘28+m24猘22+2n22猚23猚2+n24猚222)=0.

(m12猘18+m14猘12+2n12猚13猚1+n14猚212)-(m22猘28+m24猘22+2n22猚23猚2+n24猚222)=0.

(m13猘19+m12猘11+2n13猚13猚1+n13猚213)-(m23猘29+m22猘21+2n23猚23猚2+n23猚223)=0.

(m11猘18+m12猘17+m14猘14+2n11猚13猚1+2n14猚11猚12+2n12猚11猚1)-(m21猘28+m22猘27+m24猘24+2n21猚23猚2+2n24猚21猚22+2n22猚21猚2)=0,

(m12猘19+m13猘18+m14猘15+2n12猚13猚1+2n13猚13猚1+2n14猚12猚13)-(m22猘29+m23猘28+m24猘25+2n22猚23猚2+2n23猚23猚2+2n24猚22猚23)=0,

(m11猘19+m13猘17+m14猘16+2n11猚13猚1+2n13猚11猚1+2n14猚11猚13)-(m21猘29+m23猘27+m24猘26+2n21猚23猚2+2n23猚21猚2+2n24猚21猚23)=0,

(m11猘15+m12猘16+m13猘14+2n11猚12猚13+2n12猚11猚13+2n13猚11猚12)-(m21猘25+m22猘26+m23猘24+2n21猚22猚23+2n22猚21猚23+2n23猚21猚22)=0,

（m11猘10+m14猘17+n11猚21+2n14猚11猚1)-(m21猘20+m24猘27+n21猚22+2n24猚21猚2)=0,

（m12猘10+m14猘18+n12猚21+2n14猚13猚1)-(m22猘20+m24猘28+n22猚22+2n24猚23猚2)=0,

（m13猘10+m14猘19+n13猚21+2n14猚13猚1)-(m23猘20+m24猘29+n23猚22+2n24猚23猚2)=0.

以上得到一個關于m﹊1,m﹊2,m﹊3,m﹊4,n﹊1,n﹊2,n﹊3,n﹊4(i=1,2)這16個未知數，20個獨立方程組成的齊次線性方程組.其系數是關于g璱,h璱(i=1,2)中系數常量.設上式的系數矩陣為M，若要上式存在非零解，則M的秩小于16.

結論 兩個二次代數曲面沿平面截口的3次GC1拼接時，3次拼接曲面存在的充要條件是上述齊次線性方程組的系數組成的矩陣M的秩小于16.

3.三次拼接曲面存在的應用

我們給出一個球面方程和一個圓柱方程：

g1(x,y,z)=x2+y2+z2-4,g2(x,y)=x2+y2-1.（3.1）

其對應的截平面分別是：

h1=z-1,h2=z-2.（3.2）

經過將對應系數代入上述齊次線性方程組和（2.1），得到一個滿足三次拼接條件的一個低次曲面f(x,y,z)=-2z3+x2+y2+8z2-8z-1=0.

通過玀ATLAB軟件的計算實現了3次光滑拼接，如圖所示：

拼接效果圖

4.小 結

本文探討了實現3次GC1階拼接的充要條件，并進行了實例演示，從圖上可以看到，拼接曲面將圓柱體和球面實現了光滑拼接，從而說明了3次GC1階低次拼接的可取性和合理性.

ァ靜慰嘉南住開

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