賀皖松

一、利用極限的四則運算法則求極限

極限的四則運算法則為：

設(shè)﹍im玿→x0f(x)=A,﹍im玿→x0g(x)=B,A,B為有限常數(shù)，則

（1）﹍im玿→x0［f(x)±g(x)］=﹍im玿→x0f(x)±﹍im玿→x0g(x)=A±B.

（2）﹍im玿→x0［f(x)g(x)］=﹍im玿→x0f(x)﹍im玿→x0g(x)=AB.

（3）﹍im玿→x0f(x)[]g(x)=﹍im玿→x0f(x)[]﹍im玿→x0g(x)=A[]B,(B≠0).

以上四則運算法則對自變量x的其他變化趨勢也同樣適用.

使用極限四則運算法則時，我們應(yīng)注意它們的條件，即當(dāng)每個函數(shù)的極限都存在時，才可使用和、差、積的極限法則；當(dāng)分式的分子、分母的極限都存在，且分母的極限不為零時，才可使用商的極限法則.為了使用極限的四則運算法則，我們往往需要對函數(shù)作代數(shù)或三角的恒等變形.例如：（1）當(dāng)分子、分母的極限都是零時，有時可通過因式分解或有理化分子（或分母）消去分子、分母中極限為零的因式；（2）當(dāng)分子、分母的極限都是無窮大時，分子、分母可同除以x（或n)的最高次冪；（3）作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q；（4）利用三角公式變形，等等.

下面通過典型例題加以說明.

例1 求極限﹍im玿→1x2+x+2[]x+1.

解 當(dāng)x→1時，分子、分母的極限均存在，且分母的極限不為零，故滿足極限四則運算的條件，直接使用極限的四則運算法則求極限.

﹍im玿→1x2+x+2[]x+1=﹍im玿→1(x2+x+2)[]﹍im玿→1(x+1)=﹍im玿→1x2+﹍im玿→1x+﹍im玿→12﹍im玿→1x+﹍im玿→11=1+1+2[]1+1=2.

例2 求極限﹍im玿→1x2+1-x2+x[]2x+1-3.

解 由于﹍im玿→1(2x+1-3)=0，故不能直接使用商的極限運算法則，需要把分子、分母分別有理化，得

﹍im玿→1x2+1-x2+x[]2x+1-3=﹍im玿→1(x2+1-x2+x)(x2+1+x2+x)[](2x+1-3)(2x+1+3)·2x+1+3[]x2+1+x2+x

=﹍im玿→11-x[]2(x-1)﹍im玿→12x+1+3[]x2+1+x2+x

=-1[]2×23[]22=-6[]4.

總結(jié) 使用極限的四則運算法則時，應(yīng)注意它們的使用條件，即當(dāng)每個函數(shù)的極限都存在時，才可使用和、差、積的極限法則.當(dāng)分子、分母的極限都存在，且分母的極限不為零時，才可使用商的極限法則.為了簡化極限的運算，往往需要對函數(shù)作代數(shù)或三角的恒等變形.

二、利用無窮小的性質(zhì)求極限

定理 無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量.

例3 求極限﹍im玿→0

x玸in1[]x.

解 當(dāng)x→0時,玸in1[]x的極限是不存在的，故不能使用極限運算法則求極限，必須用無窮小量的性質(zhì)求之.

因為﹍im玿→0x=0,玸in1[]x≤1，根據(jù)無窮小量的性質(zhì)知：┆﹍im玿→0x玸in1[]x=0.

總結(jié) 在求兩個變量的乘積的極限時，如果其中之一為無窮小量，另一個為有界變量，則用性質(zhì)：無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量得出結(jié)論.

三、利用無窮小與無窮大的關(guān)系求極限

定理 在自變量的同一變化趨勢中，若X為無窮大，則其倒數(shù)1[]X為無窮??；反之，在自變量的同一變化趨勢中，若X為無窮小（X≠0），則其倒數(shù)1[]X為無窮大.

例4 求極限：﹍im玿→43x+4[]x2-16.

解 因為﹍im玿→4(x2-16)=0,﹍im玿→4(3x+4)≠0,故必須利用無窮小與無窮大的關(guān)系求該極限.

∵﹍im玿→4x2-16[]3x+4=0,∴﹍im玿→43x+4[]x2-16=∞.

例5 求極限﹍im玿→∞1[]x-3.

解 ∵﹍im玿→∞(x-3)=∞,∴﹍im玿→∞1[]x-3=0.

總結(jié) 當(dāng)求分式的極限時，若分母極限為零，而分子的極限存在且不為零；或者分母的極限為無窮大，而分子的極限存在且不為零時，則利用無窮小與無窮大的關(guān)系求極限.

四、利用兩個準(zhǔn)則求極限

準(zhǔn)則一 夾逼準(zhǔn)則，即在變量的同一變化趨勢中，若（1）A≤B≤C,(2)A與C的極限均存在假設(shè)為m,則B的極限也為m.

例6 求極限：﹍im玭→∞1[]n2+1+1[]n2+2+…+1[]n2+n.

解 令B=1[]n2+1+1[]n2+2+…+1[]n2+n,

A=1[]n2+n+1[]n2+n+…+1[]n2+n=n[]n2+n,

C=1[]n2+1+1[]n2+1+…+1[]n2+1=n[]n2+1.

則A≤B≤C，且﹍im玭→∞A=﹍im玭→∞n[]n2+n=1，オ﹍im玭→∞C=﹍im玭→∞n[]n2+1=1.

故由夾逼準(zhǔn)則知：﹍im玭→∞B=﹍im玭→∞1[]n2+1+1[]n2+2+…+1[]n2+n=1.

準(zhǔn)則二 單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則，即單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則.其求解步驟為：

（1） 判定數(shù)列{x璶}的單調(diào)性、有界性.若{x璶}單調(diào)且有界，則極限﹍im玭→∞x璶存在.

（2） 令﹍im玭→∞x璶=A,代入通項公式得到待定極限A的方程.

（3） 解方程得出A.

例7 已知x1=a，x2=a+a，…,x璶=a+a+…+a,a>0,求﹍im玭→∞x璶.

解 因為x2=a+x1>x1，設(shè)當(dāng)n=k時，x璳>x﹌-1,則有a+x璳>a+x﹌-1,

從而a+x璳>a+x﹌-1，即數(shù)列{x璶}為單調(diào)遞增數(shù)列.

因為x1=a

根據(jù)單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則知：極限﹍im玭→∞x璶存在.

設(shè)﹍im玭→∞x璶=A,則﹍im玭→∞x璶=﹍im玭→∞a+x﹏-1,即A=a+A,解得A=1[]2(1+1+4a).

故﹍im玭→∞x璶=1[]2(1+1+4a).

總結(jié) 在利用兩個準(zhǔn)則求極限時，必須按準(zhǔn)則所需要滿足的條件按步驟進(jìn)行.

五、利用等價無窮小替換求極限

原理 在自變量的同一變化趨勢中,若X~X1,Y~Y1,若┆玪im猉1[]Y1存在或為∞，則┆玪im猉[]Y=﹍im玐1[]Y1.

由此可見，等價無窮小在求兩個無窮小之比的極限時有重要作用.

常用的等價無窮小有：當(dāng)x→0時，玸in玿~x,玹an玿~x,玜rcsin玿~x,玜rctan玿~x,1-玞os玿~1[]2x2,玡瑇-1~x,玪n(1+x)~x,(1+x)琣-1~ax.

例8 求極限：﹍im玿→0x玸in2x[]玹an玿2.

解 因為當(dāng)x→0時，玸in2x~2x,玹an玿2~x2，故根據(jù)等價無窮小的替換原理得：

﹍im玿→0x玸in2x[]玹an玿2=﹍im玿→0x·2x[]x2=﹍im玿→02x2[]x2=2.

例9 求極限:﹍im玿→0玹an玿-玸in玿[]x玸in玿2.

解 [HT]﹍im玿→0玹an玿-玸in玿[]x玸in玿2=﹍im玿→0玸in玿[]玞os玿-玸in玿[]x玸in玿2=﹍im玿→0玸in玿1[]玞os玿-1[]x·x2=﹍im玿→0x(1-玞os玿)[]x3=﹍im玿→0x·1[]2x2[]x3=1[]2.

プ芙 在使用等價無窮小替換原理求極限時，替換的只能是因子，而不是因子的部分，否則容易出錯.

六、 利用洛必達(dá)法則求極限

洛必達(dá)法則 設(shè)f(x),g(x)滿足以下條件：

（1）﹍im玿→x0f(x)=0(∞),﹍im玿→x0g(x)=0(∞)；

（2）f(x),g(x)在x0的鄰域內(nèi)可導(dǎo)（在x0處可除外），且g′(x)≠0;

(3)﹍im玿→x0f′(x)[]g′(x)存在（或∞)，

則﹍im玿→x0f(x)[]g(x)=﹍im玿→x0f′(x)[]g′(x).（當(dāng)x→∞時，也有類似的條件與結(jié)論)

例10 求極限：﹍im玿→0玡瑇-玸in玿-1[]玸in玿玜rcsin玿.

解 因為當(dāng)x→0時，玸in玿~x,玜rcsin玿~x,

所以﹍im玿→0玡瑇-玸in玿-1[]玸in玿玜rcsin玿=﹍im玿→0玡瑇-玸in玿-1[]x·x=﹍im玿→0玡瑇-玸in玿-1[]x20[]0型=﹍im玿→0玡玿-玞os玿[]2x=﹍im玿→0玡瑇+玸in玿[]2=1[]2.

例11 求極限：﹍im玿→0x4玸in1[]x[]玹an玿(玜rcsin玿)2.

解 雖然是0[]0型，但不能使用洛必達(dá)法則，因為當(dāng)x→0時玸in1[]x的極限不存在，因為x→0時玹an玿~x，玜rcsin玿~x，

所以﹍im玿→0x4玸in1[]x[]玹an玿(玜rcsin玿)2=﹍im玿→0x4玸in1[]x[]x·x2=﹍im玿→0x4玸in1[]x[]x3=﹍im玿→0x玸in1[]x=0.

總結(jié) 在使用洛必達(dá)法則求極限時，必須驗證是否是0[]0型或∞[]∞型.使用洛必達(dá)法則求極限必須注意以下事項：

（1）只有0[]0或∞[]∞的未定式，才可能使用該法則，只要是0[]0或∞[]∞，則可一直用下去；

（2）每用完一次法則，要將式子整理化簡；

(3)為簡化運算經(jīng)常將法則與等價無窮小替換結(jié)合使用；

（4）﹍im玿→x0f′(x)[]g′(x)不存在（也不為∞）推導(dǎo)不出﹍im玿→x0f(x)[]g(x)不存在；

（5）當(dāng)x→∞時，極限式中含有玸in玿,玞os玿，不能使用該法則;當(dāng)x→0時,

極限式中含有玸in1[]x,玞os1[]x,不能使用該法則.

七、利用重要極限公式求極限

重要公式一：﹍im玿→0玸in玿[]x=1.

其演變形式：

﹍im玿→0x[]玸in玿=1,﹍im玜(x)→0玸in(ax)[](ax)=1，

﹍im玜(x)→0(ax)[]玸in(ax)=1.

重要公式二：﹍im玿→∞1+1[]x瑇=玡.

其演變形式：﹍im玿→0(1+x)1[]x=玡,﹍im玜(x)→0(1+a(x))1[]a(x)=玡,﹍im玜(x)→∞1+1[]a(x)゛(x)=玡.

例12 求極限：﹍im玿→01-玞os玿[]2(玸in玿)2.

分析 因為當(dāng)x→0時玸in玿~x，﹍im玿→0玸in玿[]x=1，所以該題有多種解法：

解法一 ﹍im玿→01-玞os玿[]2(玸in玿)2=﹍im玿→02玸in2玿[]2[]2x2=1[]4﹍im玿→0玸in2x[]2[]x[]22=1[]4﹍im玿→0玸in玿[]2[]x[]2

2=1[]4.

解法二 ﹍im玿→01-玞os玿[]2(玸in玿)2=﹍im玿→01[]2x2[]2x2=﹍im玿→01[]4=1[]4.

解法三 ﹍im玿→01-玞os玿[]2(玸in玿)2=﹍im玿→01-玞os玿[]2x2=﹍im玿→0玸in玿[]4x=1[]4﹍im玿→0玸in玿[]x=1[]4.

例13 求極限：﹍im玿→∞x+1[]x-1瑇.

解 ﹍im玿→∞x+1[]x-1瑇=﹍im玿→∞x-1+2[]x-1瑇=﹍im玿→∞1+2[]x-1瑇=﹍im玿→∞1+2[]x-1瑇-1[]22x[]x-1=玡2.

總結(jié) 利用重要極限公式求極限，關(guān)鍵在于把要求的極限化成重要極限公式的標(biāo)準(zhǔn)形式或它們的變形式，從而求出所求的極限.

八、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限

例14 已知(玸in玿)′=玞os玿,利用導(dǎo)數(shù)定義求極限：﹍im玿→0玸inπ玔]2+x-1[]x.

解 因為玸inπ玔]2=1，x=π玔]2+x-π玔]2,

﹍im玿→0玸inπ玔]2+x-1[]x=﹍im玿→0玸inπ玔]2+x-玸inπ玔]2[]π玔]2+x-π玔]2=(玸in玿)′|﹛=π玔]2=(玞os玿)|﹛=π玔]2=玞osπ玔]2=0.

總結(jié) 利用導(dǎo)數(shù)的概念求極限，關(guān)鍵在于理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，即f′(x0)=┆﹍imΔ玿→0Δ珁[]Δ玿=﹍imΔ玿→0f(x0+Δ玿)-f(x0)[]Δ玿.

九、利用換元法求極限

例15 求極限：﹍im玿→1x瑇-1[]x玪n玿.

解 令t=x瑇-1,則x玪n玿=玪n(t+1)，

x→1時，t→0,故﹍im玿→1x瑇-1[]x玪n玿=﹍im玹→0t[]玪n(t+1)=﹍im玹→0t[]t=1，

(t→0時，玪n(1+t)~t)

總結(jié) 當(dāng)一個函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，從而達(dá)到簡化的目的，求出結(jié)果.

十、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限

利用級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)А啤轠]n=0u璶收斂，則當(dāng)﹏→∞時，通項u璶→0.運用該方法求極限，首先判定級數(shù)А啤轠]n=0u璶收斂，從而求出┆玪im猲→∞u璶=0.

例16 求極限：┆玪im猲→∞n琻[](n!)2.

解 令u璶=n琻[](n!)2，則┆玪im猲→∞u﹏+1猍]u璶=┆玪im猲→∞1[]n+1·1+1[]n琻=0<1，由比值判別法知：

А啤轠]n=0u璶收斂,由級數(shù)收斂的必要條件知：┆玪im猲→∞u璶=0，即┆玪im猲→∞n琻[](n!)2=0.

總結(jié) 若級數(shù)А啤轠]n=0u璶收斂，則當(dāng)n→∞時，通項u璶→0.

十一、利用極限存在的充要條件求極限

在x0點極限存在的充要條件是f(x0-)=f(x+0)，利用該方法一般用來求分段函數(shù)在分段點處的極限.

例17 已知f(x)=玡瑇+1,x≤0,

2x+3,x>0,

求┆玪im獂→0f(x).

解 因為f(0-)=┆玪im獂→0-f(x)=┆玪im獂→0-(玡瑇+1)=2，

f(0+)=┆玪im獂→0+f(x)=┆玪im獂→0+(2x+3)=3，

f(0-)≠f(0+)，

所以┆玪im獂→0f(x)不存在.

總結(jié) 常用在x0點極限存在的充要條件是f(x-0)=ゝ(x+0)，求分段函數(shù)在分段點處的極限.

十二、利用定積分定義求和式的極限

定積分是某一和式的極限，即А要琤璦f(x)玠玿=┆玪imλ→∞А苙[]i=1f(ξ璱)Δ玿璱，因此，如果關(guān)于n的某一和式可以表示成某一積分和形式時，則可根據(jù)定積分定義，求出這個和式的極限.

例18 求極限：┆玪im猲→∞1[]n+1+1[]n+2+…+1[]2n.

解 ┆玪im猲→∞1[]n+1+1[]n+2+…+1[]2n=┆玪im猲→∞1[]1+1[]n+1[]1+2[]n+…+1[]1+n[]n·1[]n=┆玪im猲→∞А苙[]i=11[]1+i[]n·1[]n.

令f(x)=1[]1+x，且把［0，1］等分為n等份，則每一小區(qū)間的長度Δ玿=1[]n,取ξ璱為每一小區(qū)間的右端點時，有：

┆玪im猲→∞1[]n+1+1[]n+2+…+1[]2n=┆玪im猲→∞А苙[]i=11[]1+i[]n·1[]n=И∫101[]1+x玠玿=玪n(1+x)|10=玪n2.И

例19 求極限：┆玪im猲→∞1琾+2琾+…+n琾[]n﹑+1，其中p>1，且p為常數(shù).

解 ┆玪im猲→∞1琾+2琾+…+n琾[]n﹑+1=┆玪im猲→∞1琾+2琾+…+n琾[]n琾·1[]n=┆玪im猲→∞1[]n琾+2[]n琾+…+n[]n琾·1[]n=┆玪im猲→∞А苙[]i=1i[]n琾·1[]n=А要10x琾玠玿=1[]p+1x﹑+1獆10=1[]p+1.

總結(jié) 利用定積分定義求極限，其關(guān)鍵在于將極限和式轉(zhuǎn)化成某一函數(shù)的定積分形式.

十三、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

原理 一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.

即若函數(shù)f(x)為初等函數(shù)，其定義域為D，x0點是D內(nèi)任意一點，

則┆玪im獂→x0f(x)=f(x0).

例20 求極限：┆玪im獂→π玔]2［玪n(玸in玿)］.

解 因為函數(shù)f(x)=玪n(玸in玿)的定義域為(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)，π玔]2∈(2kπ,2kπ+π),(k∈Z),故函數(shù)f(x)=玪n(玸in玿)在x=π玔]2處連續(xù)，所以┆玪im獂→π玔]2［玪n(玸in玿)］=┆玪n玸inπ玔]2=玪n1=0.

總結(jié) 若函數(shù)f(x)為初等函數(shù)，其定義域為D，x0點是D內(nèi)任意一點,則┆玪im獂→x0f(x)=f(x0).

十四、利用泰勒展開式求極限

泰勒展開式 若f(x)在x=0點有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，

則f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(x)[]2!x2+…+f(n)(x)[]n!x琻+R璶(x),

R璶(x)=f(n+1)(ζ)[](n+1)!x﹏+1，（其中ζ在0與1之間）.

例21 求極限：┆玪im獂→0玞os玿-玡-x2[]2猍]x4.

解 因為玞os玿=1-x2[]2!+x4[]4!+0(x4),e-x2[]2=1+-x2[]2+-x2[]22[]2!+0(x4)，

所以玞os玿-玡-x2[]2=-x4[]12+0(x4).

故┆玪im獂→0玞os玿-玡-x2[]2猍]x4=┆玪im獂→0-x4[]12+0(x4)[]x4=-1[]12.

總結(jié) 利用泰勒展開式求極限其關(guān)鍵在于常見函數(shù)的泰勒展開式，如：

（1）1[]1-x=1+x+x2+x3+…+x琻+0(x琻),x∈(-1,1).

（2）1[]1+x=1-x+x2-x3+…+(-1)琻x琻,x∈(-1,1).

（3）玡瑇=1+x+x2[]2!+x3[]3!+…+x琻[]n!+0(x琻),x∈(-∞,+∞).

（4）玸in玿=x-x3[]3!+…+（-1）琻1[](2n+1)!x2n+1+┆0(獂2n+1)，獂∈(-∞,+∞).

（5）玞os玿=1-x2[]2!+x4[]4!-…+(-1)琻1[](2n)!x2n+0(x2n），x∈(-∞,+∞).

（6）玪n(1+x)=x-x2[]2+x3[]3-…+（-1）琻x﹏+1猍]n+1+0(x﹏+1),x∈(-1,1］.

（7）(1+x)琣=1+ax+a(a-1)[]2!x2+…+a(a-1)(a-2)·…·(a-n+1)[]n!x琻+0(x琻)，

其中x∈(-1,1).