杜忠明 徐航 熊飛嶠

摘要： 文中提出可以在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行圓周運(yùn)動(dòng)加速度推導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)，闡述了直角坐標(biāo)系中圓周運(yùn)動(dòng)加速度公式的推導(dǎo)過(guò)程，并給出了教學(xué)建議，認(rèn)為學(xué)生比較容易理解直角坐標(biāo)系中加速度公式的推導(dǎo)方法，建議教材中增加直角坐標(biāo)系中圓周運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)。

關(guān)鍵詞： 圓周運(yùn)動(dòng)加速度直角坐標(biāo)系

普通物理是各大學(xué)院校理工科學(xué)生的必修課，普通物理中都有質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)等曲線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)。圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，但是由于受到知識(shí)的制約，高中學(xué)生在學(xué)習(xí)勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中的加速度時(shí)只是直接接受公式，并加以應(yīng)用，并不知道公式的來(lái)源，教材中有一點(diǎn)不太嚴(yán)格的證明，只是作為課外閱讀資料列出來(lái)的［１］。所以對(duì)于剛剛接觸質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的大學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)中的加速度問(wèn)題可能不會(huì)理解得透徹。如果能讓學(xué)生掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)加速度公式的證明，并和中學(xué)相比較，則可以使學(xué)生加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，學(xué)好圓周運(yùn)動(dòng)也有助于學(xué)習(xí)質(zhì)點(diǎn)的一般曲線運(yùn)動(dòng)，對(duì)整個(gè)大學(xué)物理的學(xué)習(xí)都會(huì)產(chǎn)生好的影響。本文所述的教學(xué)方法對(duì)學(xué)生加深理解質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)有一定的促進(jìn)作用。

1.教材中加速度公式推導(dǎo)方法的分析

大學(xué)物理課本中對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)或者在自然坐標(biāo)中進(jìn)行，或者在極坐標(biāo)中進(jìn)行［２］［３］［４］。課本上自然坐標(biāo)和極坐標(biāo)中的推導(dǎo)都是圖文并茂，邏輯嚴(yán)密，能夠?qū)⒆鴺?biāo)的特點(diǎn)很好地應(yīng)用到推導(dǎo)過(guò)程中，鞏固了學(xué)生對(duì)自然坐標(biāo)和極坐標(biāo)的理解。但是，以師范院校物理系物理學(xué)專(zhuān)業(yè)一年級(jí)的學(xué)生為例，他們剛進(jìn)入大學(xué)就接觸了力學(xué)的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)之前已經(jīng)習(xí)慣于在直角坐標(biāo)系中解決問(wèn)題。自然坐標(biāo)對(duì)于大一新生來(lái)說(shuō)是一種全新的坐標(biāo)系，在自然坐標(biāo)下討論質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)相對(duì)他們來(lái)說(shuō)是一種新的方法，假如教師根據(jù)課本上的推導(dǎo)方法進(jìn)行推導(dǎo)，則學(xué)生首先接受自然坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)，然后在自然坐標(biāo)下和教師一起討論質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)，顯得不太適應(yīng)。極坐標(biāo)系下討論質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)對(duì)新生也是比較陌生的。

質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的加速度公式除了在極坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)中進(jìn)行推導(dǎo)外，還可以在直角坐標(biāo)中推導(dǎo)。學(xué)生在學(xué)習(xí)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)之前已經(jīng)接受了位置矢量對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)得到質(zhì)點(diǎn)加速度的概念，而且不論在矢量知識(shí)和微積分的教學(xué)中，還是質(zhì)點(diǎn)位置矢量與加速度關(guān)系的教學(xué)中，課本都是選擇直角坐標(biāo)系進(jìn)行描述的，并沒(méi)有提到自然坐標(biāo)和極坐標(biāo)等。學(xué)生在中學(xué)坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)中主要也是學(xué)習(xí)直角坐標(biāo)，所以學(xué)生在圓周運(yùn)動(dòng)之前的學(xué)習(xí)中普遍都接受了直角坐標(biāo)。所以如果教師把質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的加速度公式放在直角坐標(biāo)系下討論，學(xué)生對(duì)教師的推導(dǎo)過(guò)程就會(huì)變得容易理解。

2.直角坐標(biāo)系下圓周運(yùn)動(dòng)加速度推導(dǎo)的理論根據(jù)

2.1勻速率圓周運(yùn)動(dòng)

如圖1所示為質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)示意圖，圓的半徑為R，把圓置于坐標(biāo)系Oxy中。以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)位置矢量與x軸的夾角是θ。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中位置矢量發(fā)生變化時(shí)θ跟著變化。

任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y），質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是

=x+y（1）

其中x和y都是時(shí)間的函數(shù)。x和y與θ之間的關(guān)系是x=Rcosθ，y=Rsinθ，所以有

=Rcosθ+Rsinθ（2）

對(duì)上式求導(dǎo)可得

==+=-Rsinθ+Rcosθ（3）

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的角速度是ω=，在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中是恒量，質(zhì)點(diǎn)的速度可以寫(xiě)成

==-Rωsinθ+Rωcosθ（4）

速度矢量對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得到加速度：

===-Rωcosθ-Rωsinθ=-ωRcosθ-ωRsinθ（5）

上式進(jìn)一步寫(xiě)成

===-ωRcosθ-ωRsinθ=-ω（6）

由此可以清楚地看出，加速度的方向與質(zhì)點(diǎn)的位置矢量方向相反，即加速度的方向是指向圓心，加速度的大小為

a=|-ω|=ω||=ωR（7）

用線速度和角速度的關(guān)系v=ωR或ω=v/R，上式可以寫(xiě)為

a=（8）

（7）和（8）兩式就是學(xué)生在高中物理中熟悉的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度公式。

2.2變速率圓周運(yùn)動(dòng)

在變速率圓周運(yùn)動(dòng)下，質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式仍然用（3）或（4）式，但是對(duì)時(shí)間求導(dǎo)時(shí)角速度已經(jīng)不再是恒量，所以加速度為

==（-Rcosθω-Rsinθ）+（-Rsinθω+Rcosθ）

=（-Rcosθω-Rsinθω）+（-Rsinθ+Rcosθ）（9）

上式中前一項(xiàng)就是（6）式，所以寫(xiě)為-ω，其大小和方向與（6）式相同。后一項(xiàng)可以寫(xiě)為

（-sinθ+cosθ）=（-sinθ+cosθ）（10）

其大小為

=（11）

令（10）式和（2）式（即質(zhì)點(diǎn)的矢量）相點(diǎn)乘

（-sinθ+cosθ）?（Rcosθ+Rsinθ）=R（-sinθ?cosθ-sinθ?sinθ+cosθ?cosθ+cosθ?sinθ）=0

說(shuō)明這兩個(gè)矢量相互垂直，即方向在切線方向，該加速度分量是質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的切向加速度，在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中該項(xiàng)為零。（6）式就是（9）式的前一部分，所表示的加速度分量為質(zhì)點(diǎn)的法向加速度。

所以圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)法向加速度的大小是ωR=，方向指向圓心；切向加速度的大小是，方向在圓周的切線方向。

3.教學(xué)建議

教師在課堂上采用上述推導(dǎo)過(guò)程帶學(xué)生推導(dǎo)時(shí)應(yīng)遵循啟發(fā)式教學(xué)的指導(dǎo)思想，首先復(fù)習(xí)質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)中速度和加速度的求法，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出在不同坐標(biāo)系里質(zhì)點(diǎn)加速度的推導(dǎo)都是遵循著共同的原則：列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程→結(jié)合示意圖對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求一次導(dǎo)數(shù)得到質(zhì)點(diǎn)的速度→對(duì)速度再一次求導(dǎo)得出質(zhì)點(diǎn)的加速度。同時(shí)教師應(yīng)向?qū)W生講述，各種坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程應(yīng)具體情況具體分析，不同的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)應(yīng)的求導(dǎo)方法也有差異，但是最后的物理意義是相同的。

引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的過(guò)程大致如下：教師首先在黑板上作出圖1；引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出（1）式和（2）式，并寫(xiě)在主板書(shū)的位置上；以提問(wèn)學(xué)生和總結(jié)的方式在副板書(shū)位置上推導(dǎo)（3）—（6）式，并將（6）式寫(xiě)于主板書(shū)的位置，著重講述其物理意義；在副板書(shū)位置重寫(xiě)（3）式，交代變速率圓周運(yùn)動(dòng)中角速度也是時(shí)間的變量，對(duì)該式求導(dǎo)時(shí)應(yīng)把角速度考慮進(jìn)去；用（3）式引導(dǎo)學(xué)生推出（9）式并將其前一部分和（6）式做比較；引導(dǎo)學(xué)生按照（9）式以后的各式總結(jié)出質(zhì)點(diǎn)切向加速度的大小和方向，并在推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)矢量乘法進(jìn)行回顧，重點(diǎn)講述各式的物理意義；在主板書(shū)位置上把加速度矢量寫(xiě)成切向加速度矢量加法向加速度矢量的簡(jiǎn)潔形式；對(duì)推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行小結(jié)。

除了必要的主板書(shū)以外，其余的推導(dǎo)可以采用多媒體播放的方式進(jìn)行教學(xué)。要想使推導(dǎo)過(guò)程對(duì)學(xué)生更有說(shuō)服力，可以讓?zhuān)?）式和（2）式點(diǎn)乘得到結(jié)果為0，說(shuō)明速度矢量和質(zhì)點(diǎn)位置矢量相垂直，從而說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)速度方向?yàn)榍芯€方向。

4.結(jié)語(yǔ)

在直角坐標(biāo)系中對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)比較簡(jiǎn)單，邏輯也比較嚴(yán)密，所占的篇幅也比較小，教學(xué)過(guò)程需時(shí)間不多，有其可取之處。在質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)加速度推導(dǎo)的教學(xué)中，如果在課本所述推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，按本文所述的思想進(jìn)行補(bǔ)充，至少對(duì)學(xué)生加深對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)加速度公式的來(lái)源的理解是有益的。相關(guān)教材如果能把直角坐標(biāo)系中推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)加速度公式的內(nèi)容加進(jìn)去，先讓學(xué)生學(xué)會(huì)在直角坐標(biāo)中對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)加速度公式進(jìn)行推導(dǎo)，然后學(xué)習(xí)在自然坐標(biāo)和極坐標(biāo)中的推導(dǎo)，至少將直角坐標(biāo)中加速度的推導(dǎo)作為學(xué)生閱讀的內(nèi)容展示給學(xué)生，將有助于學(xué)生加深對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)加速度公式的理解。

參考文獻(xiàn)：

［1］人民教育出版社物理室編著.物理（第二版）［M］.北京：人民教育出版社，2006：88.

［2］劉克哲，張承琚.物理學(xué)（上）（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：16-20.

［3］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：43-47.

［4］周衍柏.理論理學(xué)教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，1986：9-18.

遵義師范學(xué)院教研項(xiàng)目（編號(hào)11-27）。

貴州省重點(diǎn)支持學(xué)科（黔教高發(fā)（2011）275號(hào)）。