王曉蘭

摘要： 高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.本文從四個(gè)方面闡述教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)思維能力發(fā)散性敏捷性靈活性

中國古代大教育家﹑思想家孔子十分強(qiáng)調(diào)思維的重要性，曾說：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆.”意思是學(xué)習(xí)不加思考就會迷惑無所得，現(xiàn)代文明所建樹的一切無一不是思維的功績.近年來，高考數(shù)學(xué)對考查學(xué)生思維能力的要求越來越高，并且此項(xiàng)能力考查的內(nèi)涵也越來越廣泛.然而，很多學(xué)生只會模仿平時(shí)練過的題型，解決傳統(tǒng)的題目，對從來沒練過的新題型束手無策，歸根究底學(xué)生缺乏的是數(shù)學(xué)思維能力與分析解決問題的能力.學(xué)生對基本知識、基本方法不熟悉，更重要的是學(xué)生的思維不夠靈活.因此教數(shù)學(xué)不僅僅是傳授數(shù)學(xué)知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.掌握知識與提高思維能力是互為目的，互為條件的辯證統(tǒng)一過程，只重知識不重能力培養(yǎng)，傳授給學(xué)生的知識是死知識，也就談不上培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.因此只有將數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點(diǎn)放在加強(qiáng)思維訓(xùn)練、提高分析能力上，才能真正發(fā)展學(xué)生智力與潛力，培養(yǎng)思維方式，提高分析能力，使學(xué)生從“知識型”向“智力型”轉(zhuǎn)化.

經(jīng)過三年的教學(xué)與實(shí)踐，從課堂知識講解的方式，例題的選擇，解題的思路，以及解題回顧等方面來提高學(xué)生的思考問題，解決問題的能力，對此我有些粗淺的心得體會.我認(rèn)為可以從以下四個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生解決問題的能力.

一、“一題多解，一題多變”，培養(yǎng)思維的發(fā)散性［１］

一題多解，是從多角度思考同一個(gè)問題，采用不同的基本方法解決問題，找出這些方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐漸引導(dǎo)學(xué)生的多元化思維；一題多變是通過對同一個(gè)題目的引申、變化、發(fā)散，突現(xiàn)問題的背景，揭示問題與條件之間的邏輯關(guān)系.教師在教學(xué)中首先要選擇典型的題目，引導(dǎo)學(xué)生從多方面思考問題，力求一題多解，使知識和方法延伸到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，探究它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；其次要善于挖掘題目的潛在功能，恰當(dāng)?shù)貙︻}目進(jìn)行延伸、演變，使學(xué)生的思維處于積極、興奮的最佳狀態(tài)，提高學(xué)生獨(dú)立分析問題的能力，從而對問題的本質(zhì)屬性及解法規(guī)律有更深刻的理解.

例1：若x＞0，y＞0，x+y=1，求（1+）（1+）的最小值.

對條件分析可以從四個(gè)方面著手：

（1）由條件和問題的對稱性，想到x+y=1為定值，當(dāng)x=y=時(shí)，（1+）（1+）有最小值9；

（2）x＞0，y＞0，x+y=1，想到x+y=1為定值，根據(jù)基本不等式，當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值;

（3）x+y=1，想到1=x+y恒等變形；

（4）x＞0，y＞0，x+y=1，可令x=sint，y=cost，t∈（0，）；

（5）x＞0，y＞0，x+y=1，想到y(tǒng)=1-x，x∈（0，1）可化為一元函數(shù)，從而可以得出五種相應(yīng)的解題方法.

通過“一題多解，一題多變”，可以使學(xué)生形成環(huán)環(huán)相扣的知識網(wǎng)絡(luò)，而不再是一小塊一小塊的零碎知識.“一題多解，一題多變”并不是方法與問題的簡單堆砌，而是從不同的角度去分析，思考同一個(gè)問題不同的切入點(diǎn)，讓學(xué)生意識并掌握從不同角度去思考問題，養(yǎng)成富于聯(lián)想的思維習(xí)慣，有效地培養(yǎng)思維的發(fā)散性.

二、勇于探索，善于分析，培養(yǎng)思維的敏捷性

思維的敏捷性是能在較短的時(shí)間內(nèi)提出解決問題的正確意見.思維活動的快慢集中表現(xiàn)為分析問題和解決問題的快慢.教學(xué)中我們經(jīng)常觀察到有些學(xué)生反應(yīng)遲鈍，思維混亂，生搬硬套，特別在大型考試中碰到新穎的題型驚惶失措，常常陷入傳統(tǒng)的定勢思維.因此，學(xué)生思維敏捷性有待提高，這就要靠教師平時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索，引導(dǎo)學(xué)生分析問題.我認(rèn)為主要從以下各方面培養(yǎng)學(xué)生思考與分析問題：（1）題目中的條件是什么？待求結(jié)論是什么？（2）通過已知條件可以映射到什么結(jié)果？（3）仔細(xì)研究問題的求解目標(biāo)，分析要達(dá)到此目標(biāo)必須具備的條件.（4）改變原問題的表達(dá)形式，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的形式簡單或容易解決的問題.（5）如從正面思考有困難就從反面思考，直接法不能奏效時(shí)就用間接法.

例2（2010江蘇高考第19題）：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S，已知2a=a+a，數(shù)列{}是公差為d的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式（用n，d表示）；

（2）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式S+S＞cS都成立，求證c的最大值為.

分析：首先根據(jù)條件我們可以得到如下信息：（1）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S，就想到a=a，n=1S-S，n≥2；（2）數(shù)列{}是公差為d的等差數(shù)列，可以得到=+（n-1）d，從而得到S.然后看看問題，第一小問是求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式（n，d表示），由前面的分析，我們已經(jīng)得到a可用a，n，d來表示，所求問題是要用n，d表示，再比較分析一下就可以得出我們要做的事情用d來表示a.如何用d來表示a呢？由條件2a=a+a就可以得到.第二小問用分離參數(shù)法和基本不等式是比較容易的.有了這些分析，解題途徑基本明確，接下來的工作便是正確而合理地進(jìn)行計(jì)算.

解：（1）由題意知，=+（n-1）d=+（n-1）d

當(dāng)n≥2時(shí)，a=S-S=（-）（+）=2d-3d+2dn

由2a=a+a，得到2（2d+d）=a+2d+3d，=d

故當(dāng)n≥2時(shí)，a=2nd-d=（2n-1）d

又a=d，所以數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a=（2n-1）d.

（2）由=d（d＞0），=+（n-1）d=+（n-1）d=nd

得到S=nd

∵S+S＞cS∴md+nd＞ckd=d

又d＞0，∴m+n＞，c＜

∵m≠n∴m+n＞＞

∴c≤，所以c的最小值為.

要培養(yǎng)學(xué)生的思維敏捷性，必須讓學(xué)生學(xué)會分析題目條件，結(jié)合題目結(jié)論或所求，探索問題的突破口，采納相應(yīng)解決方法，并進(jìn)行長期的鍛煉，從而達(dá)到提高學(xué)生的思維敏捷性.

三、加強(qiáng)探究猜想，培養(yǎng)思維的靈活性［２］

思維的靈活性是一個(gè)人的思維活動能根據(jù)客觀情況的變化而變化.思維活動的靈活程度，它表現(xiàn)為對知識的應(yīng)用熟練程度，根據(jù)熟悉的條件形式，展開合理的猜想，將待求問題轉(zhuǎn)變成熟悉的形式，巧妙地解決問題.猜想要以知識和經(jīng)驗(yàn)作為支柱，但培養(yǎng)敢于猜想，善于探索的思維習(xí)慣則是形成直覺的基本素質(zhì).波利亞十分推崇學(xué)習(xí)過程中的猜想，因此在教學(xué)中教師要鼓勵(lì)學(xué)生猜想，看到已知條件要善于“浮想聯(lián)翩”，勇于嘗試.先抓住一些信息，做出猜想，再做修正、證明，從而培養(yǎng)思維的靈活性.猜想是依據(jù)已有的知識和結(jié)果，經(jīng)過嘗試而獲得對于待解決問題向結(jié)果靠近的方向猜想，除了猜想獲得結(jié)果外還需驗(yàn)證所得猜想，所以此項(xiàng)能力集中體現(xiàn)為綜合素質(zhì)能力，要求比較高，經(jīng)常放在解答題中考查.

例3（2010江蘇高考第20題）：設(shè)f（x）定義在區(qū)間（1，+∞）上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對任意的x∈（1+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x-ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a）.

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=1nx+（x＞1），其中b為實(shí)數(shù).

（i）求證：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a）.

（ii）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）已知函數(shù)g（x）具有性質(zhì)P（2）.給定x，x∈（1，+∞），x＜x，設(shè)m為實(shí)數(shù)，α=mx+（1-m）x，β=（1-m）x+mx，且α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x）-g（x）|，求m的取值范圍.

分析：本小題主要考查了函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想方法進(jìn)行探索，分析與解決問題的綜合能力.由題意易證明（i）.（ii）對b分類討論易得：當(dāng)b≤2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；當(dāng)b＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，），單調(diào)減區(qū)間為（b+，∞）.第（2）題由題意g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，猜想α，β∈（x，x），則符合題意；看到α=mx+（1-m）x，β=（1-m）x+mx這一條件馬上猜想并驗(yàn)證m∈（0，1）時(shí)，α，β∈（x，x）.由于分類討論的原則是：不重不漏，由于對m討論的完整性，再考慮m≤0和m≥1的情況，經(jīng)討論都不符合題意，所以m∈（0，1）.有了這些思考，接下來解題就迎刃而解了.

看到熟悉的條件，要形成條件反射，聯(lián)想到相應(yīng)的結(jié)論或相似的結(jié)果，這些聯(lián)想可能就是題目的突破口.要想形成這種條件反射，教師必須在教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生善于猜測，用于探索，不斷提高學(xué)生的思維靈活性，走出傳統(tǒng)的定勢思維.

四、重視解題回顧，深化數(shù)學(xué)思維［３］

解題回顧是題目解答完后，教師引導(dǎo)學(xué)生重新審讀題目，講評解題對策的由來及其過程，幫助學(xué)生總結(jié)出數(shù)學(xué)的基本思想和基本方法，促進(jìn)學(xué)生掌握，并學(xué)會將這些思想與方法運(yùn)用到新的問題中去，成為以后分析和解決問題的堅(jiān)固后盾，因此解題回顧也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).通過解題回顧可使學(xué)生學(xué)會尋求題目的分析入口，幫助學(xué)生掌握解題策略，也有利于提高與發(fā)展學(xué)生的解題能力.習(xí)題講解完畢，教師不妨提出以下幾點(diǎn)讓學(xué)生思考與實(shí)踐.

（1）對題目的條件反復(fù)推敲，抓住最棘手的條件，往往最棘手的條件正是題目的突破口.

（2）對習(xí)題現(xiàn)行的方法進(jìn)行分析，思考這些方法為什么行之有效，進(jìn)一步思考有無更直接或更完美的解題方案.

（3）對問題本身進(jìn)行分析，分析該問題是不是特殊情況，能否將該問題推廣到一般，成為一個(gè)普適的結(jié)論.

（4）總結(jié)出題目中的因果關(guān)系和其他的邏輯關(guān)系，還可以將這些條件與結(jié)論互易，是否也成立；或者加強(qiáng)某個(gè)條件，結(jié)論是不是依然成立.

盡管培養(yǎng)與提高學(xué)生的思維能力不是一朝一夕的事，但是我們作為教師，應(yīng)本著“授之以魚，不如授之以漁”的原則，教會學(xué)生如何思考數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.教師要注意通過教學(xué)活動，創(chuàng)造有利條件，促進(jìn)學(xué)生在掌握知識和技能的過程中思維能力得到發(fā)展.平時(shí)教學(xué)應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生正確分析問題，探究知識之間的聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)思想，并闡述采用該種數(shù)學(xué)思想的緣由；通過作業(yè)輔導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維的基本方法，逐步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維方法去分析具體問題，解決實(shí)際問題.

參考文獻(xiàn)：

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