蓋建新 付 平 喬家慶 孟升衛(wèi)③

①(哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系 哈爾濱 150080)

②(哈爾濱理工大學(xué)測控技術(shù)與儀器黑龍江省高校重點實驗室 哈爾濱 150080)

③(中國科學(xué)院電子學(xué)研究所 北京 100190)

1 引言

認(rèn)知無線電通過感知周圍頻譜環(huán)境自主發(fā)現(xiàn)“頻譜空穴”并對其進(jìn)行有效利用，在解決無線通信中頻譜資源緊張、頻譜利用率低等問題上表現(xiàn)出巨大的優(yōu)勢。寬帶頻譜感知技術(shù)可以在較短的時間內(nèi)為認(rèn)知無線電提供更多的頻譜接入機(jī)會[1-3]，以壓縮感知(CS)理論[4,5]為基礎(chǔ)的寬帶頻譜感知技術(shù)以其采樣率低并可精確重構(gòu)等特點受到了廣泛關(guān)注[6-8]。這些方法以離散化頻譜的稀疏性為前提，實現(xiàn)了基于亞奈奎斯特采樣的寬帶頻譜感知，緩解了采樣率高的壓力。然而，當(dāng)需要實現(xiàn)較高的頻率分辨率時，由于測量矩陣維數(shù)過大，數(shù)據(jù)處理負(fù)擔(dān)繁重，導(dǎo)致感知速度較慢；另外，在頻譜重構(gòu)階段需要確切的稀疏度信息，而稀疏度在實際的頻譜環(huán)境中是無法準(zhǔn)確預(yù)知的。因此找到一種測量矩陣較小，不需要準(zhǔn)確稀疏度的亞奈奎斯特采樣方法，是寬帶頻譜感知技術(shù)當(dāng)前急待解決的問題。

近年來出現(xiàn)的調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器(MWC)采樣方法[9]，不需對頻譜進(jìn)行離散化，利用低維的測量矩陣即可實現(xiàn)對多帶信號的亞奈奎斯特采樣和精確重構(gòu)。若采用MWC作為采樣前端可以緩解CS方法的計算負(fù)擔(dān)。但現(xiàn)有的MWC理論須已知頻帶數(shù)量和最大帶寬才能構(gòu)建MWC系統(tǒng)并進(jìn)行頻譜重構(gòu)。實際的無線頻譜中，特定時間內(nèi)占用的頻帶數(shù)量是無法準(zhǔn)確預(yù)知的，而且由于相鄰信道可能同時被占用，導(dǎo)致最大頻帶寬度也是未知的。針對無線頻譜上述的不可預(yù)知性特點，本文將無線電發(fā)射信道模型和頻譜多帶模型相結(jié)合，對MWC適用的信號模型進(jìn)行了重新定義，在此基礎(chǔ)上提出了一個不需最大頻帶寬度和確切頻帶數(shù)量的重構(gòu)充分條件。在重構(gòu)算法方面，將稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法進(jìn)行推廣并應(yīng)用到頻譜重構(gòu)中以消除對頻帶數(shù)量的依賴性。最終實現(xiàn)了既不需要各頻帶寬度，也不需要準(zhǔn)確頻帶數(shù)量的寬帶頻譜全盲亞奈奎斯特采樣，數(shù)值實驗驗證了該方法的有效性。

2 MWC采樣理論

2.1 采樣原理

MWC是一種多帶信號亞奈奎斯特采樣方法，其具體采樣原理如下。如圖1所示，輸入信號x(t)同時進(jìn)入m個通道，在第i個通道被周期為Tp(頻率為fp)的偽隨機(jī)符號序列pi(t)混頻，混頻后采用截止頻率為1/2Ts的理想低通濾波器h(t)進(jìn)行濾波，最后通過采樣率fs=1/Ts的ADC獲得m組低速采樣yi(n)。由經(jīng)典傅里葉分析思想可以推導(dǎo)出第i個通道輸出序列yi(n)的離散時間傅里葉變換(DTFT)與x(t)的傅里葉變換X(f)之間有如下關(guān)系：

其中cin表示序列pi(t)傅里葉級數(shù)的系數(shù)，L0=

圖1 MWC采樣系統(tǒng)框圖

其中Φ是m×L矩陣，Φin=cin且m＜L。若對式(2)兩端同時進(jìn)行DTFT的逆運算，可得未知序列Ζ(n)與測量值Y(n)之間的線性關(guān)系：

其中Y(n)= [y1(n),y2(n),…,ym(n)]T,Z(n)=[z1(n),z2(n),…,zL(n)]T,n∈Z。由于m＜L，式(2)和式(3)均是欠定的，無法通過求逆的方法獲得唯一解?？紤]到多帶信號在頻域的稀疏性，z(f)中只有少量的非零元素，當(dāng)滿足如下定理給出的充分條件時，式(2)具有唯一的最稀疏解。

定理1[9]設(shè)多帶信號x(t)由N個頻帶組成，各頻帶中最大帶寬為B，按照圖1所示的MWC結(jié)構(gòu)進(jìn)行采樣，如果以下條件成立：

(1)fs≥fp≥B并且fs/fp數(shù)值不是很大；

(2)一個周期內(nèi)序列pi(t)的符號(±1)間隔數(shù)M

(3)m≥2N；

(4)矩陣Φ的任意2N列線性無關(guān)。

則對于 ?f∈Fs,z(f)是式(2)的唯一的N-稀疏解。

2.2 重構(gòu)方法

當(dāng)多帶信號中各個頻帶的位置已知時，聯(lián)合支撐集Ω= s upp(Z(n))是確定的，如果矩陣ΦΩ滿足列滿秩則可以通過式(4)從采樣值Y(n)中恢復(fù)出Z(n)：

其中ΦΩ表示以Ω中的元素為索引的Φ的列子集，代表矩陣ΦΩ的偽逆矩陣且。當(dāng)Ω未知時需要將式(2)無限測量向量(IMV)問題[10]變換成與之具有相同支撐的多測量向量(MMV)問題[11]，然后，求解該MMV問題的支撐集Ω，最后按式(4)完成重構(gòu)。

2.3 利用MWC理論進(jìn)行寬帶頻譜感知需解決的問題

由定理1可知，構(gòu)建MWC時，采樣率fs及符號序列的頻率fp選擇的依據(jù)是最大頻帶寬度B。而在無線頻譜環(huán)境中各個信道是可以相鄰的，由于各信道占用的隨機(jī)性，很難預(yù)測不相鄰頻帶(每個頻帶可能由一個或多個占用的相鄰信道組成)的最大帶寬。另一方面，信道相鄰導(dǎo)致無法預(yù)知特定時間互不相鄰的頻帶數(shù)量N，而重構(gòu)階段需要以頻帶數(shù)(稀疏度)作為迭代的停止條件，才能通過貪婪算法(如同步正交匹配追蹤)找到支撐集。針對上述問題，本文對認(rèn)知頻譜環(huán)境中信號模型進(jìn)行了重新定義，并改進(jìn)了頻譜重構(gòu)充分條件。

3 頻譜稀疏信號全盲亞奈奎斯特采樣

3.1 頻譜稀疏信號模型

假設(shè)信號x(t)為帶限于F=[-fNYQ/ 2,fNYQ/2]的實值連續(xù)時間信號，其中F由彼此相鄰但不重疊的多個無線發(fā)射信道組成。如果信號x(t)的頻譜X(f)由若干個帶寬為Bi彼此不相鄰的非零頻帶組成，每個頻帶包含一個或多個相鄰發(fā)射信道，且頻帶可以任意地分布在F內(nèi)，則稱這樣的信號集M為頻譜稀疏信號。圖2給出了M中典型的信號頻譜。

圖2 典型頻譜稀疏信號的頻譜示意圖

3.2 盲譜重構(gòu)充分條件

頻譜稀疏信號模型弱化了傳統(tǒng)多帶信號模型中最大頻帶寬度B=m ax(Bi)和頻帶數(shù)量這兩個參數(shù)的作用，將相鄰子頻帶(信道)看成了一個頻帶。為了實現(xiàn)適合上述模型的亞奈奎斯特采樣，本文將聯(lián)合稀疏度引入重構(gòu)條件中。

設(shè)參數(shù)化向量U(f)對于?f∈Fs支撐集supp(U(f))= {k|Uk(f)≠ 0}，式中Uk表示向量U的第k個元素，則U(Fs)的聯(lián)合支撐集可表示為：

改進(jìn)定理假設(shè)x(t)是M中的一個任意信號，采用MWC系統(tǒng)進(jìn)行采樣。對于式(2)，如果以下條件成立：

(1)fs≥fp，并且fs/fp數(shù)值不是很大；

(2)一個周期內(nèi)pi(t)的符號數(shù)

(3)m≥2K，其中；

(4)矩陣Φ的任意2K列線性無關(guān)。則z(Fs)是式(2)唯一的K-稀疏解。

證明由式(1)，式(2)可知，z(f)的每個分量都是X(f)的nfp移位、濾波所得到的寬度為fs的頻譜片段，其中fp是每次移位的步進(jìn)值。若fp≤fs成立，則每次移位的步進(jìn)足夠小，以至于z(Fs)中的頻譜片段可以覆蓋整個頻譜。因此如果式(2)能夠重構(gòu)，則從重構(gòu)的未知向量z(Fs)可以精確地恢復(fù)出整個頻譜X(f)及原信號x(t)。

條件(2)是為保證符號序列pi(t)在一個周期內(nèi)有足夠的偽隨機(jī)符號數(shù)，進(jìn)而使所構(gòu)成的矩陣有較大的Kruskal秩，具體證明參見文獻(xiàn)[9]。

考慮式(2)與式(3)的等價性，只要式(3)具有唯一K-稀疏解，則對應(yīng)可得到式(2)的K-稀疏解。易知向量組Y(n)所張成的空間的維數(shù)dim(span(Y(n)))≤K，因此可以找到空間span(Y(n))的一個框架V(n)，如果用V(n)代替式(3)中Y(n)則V(n)=ΦZ(n)與式(3)的唯一K-稀疏解具有相同的支撐集[10]。依據(jù)文獻(xiàn)[12]中定理 2.2，有以下等價命題成立：對于滿足V=ΦZ的聯(lián)合K-稀疏的向量Z，如果Φ的任意2K列均線性無關(guān)，則Z為此方程唯一的K-稀疏解。于是通過此方程可以求得式(3)的支撐集，進(jìn)而通過偽逆得到式(3)的唯一K-稀疏解。 證畢

本文所提出的改進(jìn)定理相當(dāng)于對定理 1的推廣。定理 1通過要求fp≥B= m ax(Bi)將稀疏度與頻帶數(shù)量聯(lián)系起來。由上述分析可知該條件不是必要的，當(dāng)fp＜ m ax(Bi)時在改進(jìn)定理條件下問題式(2)仍然可以精確重構(gòu)?？梢姼倪M(jìn)定理的提出使 MWC系統(tǒng)的構(gòu)建擺脫了最大頻帶寬度的束縛。

3.3 頻譜感知中MWC通道數(shù)的確定

本文所提出的改進(jìn)定理使構(gòu)建MWC時不再需要頻帶數(shù)量和最大頻帶寬度，但需要根據(jù)實際頻譜對聯(lián)合稀疏度進(jìn)行估算，進(jìn)而估計出所需的通道數(shù)m。

考慮fs=fp的基本配置情況，設(shè)在實際頻譜中第i個頻帶Bi貢獻(xiàn)到向量z(f)的非零元素數(shù)量記作I(Bi)。根據(jù)MWC采樣的頻域行為并考慮頻帶位置的隨機(jī)性可得：所以整個頻譜貢獻(xiàn)到z(f)中的非零元素數(shù)即聯(lián)合稀疏度滿足如下關(guān)系：

應(yīng)該指出，MWC通道數(shù)的確定并不需要準(zhǔn)確的稀疏度K，實際中可以根據(jù)頻譜監(jiān)管部門頻譜統(tǒng)計特征確定一個保守的范圍(m≥ 2K)即可。

4 稀疏度自適應(yīng)重構(gòu)算法

在頻譜重構(gòu)的過程中如果不知道準(zhǔn)確的稀疏度則容易出現(xiàn)稀疏度過估計或欠估計的問題，導(dǎo)致重構(gòu)結(jié)果具有嚴(yán)重誤差[13]。本文在原有MWC重構(gòu)框架基礎(chǔ)上將CS中的稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(SAMP)算法引入到了無限測量向量(IMV)問題的求解中，在預(yù)先不知道確切稀疏度的前提下實現(xiàn)了支撐集的精確重構(gòu)。圖3給出了重構(gòu)的總體框圖。

圖3 盲譜重構(gòu)支撐集獲取框圖

如圖3所示，重構(gòu)時首先將IMV問題轉(zhuǎn)化成具有相同支撐集的MMV問題。為此需先找到Y(jié)(n)所張成的空間的一個框架V(n)，具體求解方法如下：計算，并利用奇異值分解原理找到滿足Fm×m=V?VT的矩陣V，則矩陣V即是所求框架[9]。然后將V作為測量值矩陣構(gòu)建MMV問題。最后使用所提出的SAMP MMV算法求解該MMV問題的支撐集。

4.1 SAMP MMV算法描述

SAMP算法充分利用了“自底向上”和“自頂向下”重構(gòu)思想的優(yōu)點，可以在未知稀疏度的前提下實現(xiàn)精確重構(gòu)[13]。本文把適用于CS的SAMP算法推廣到了MMV問題的求解中，改進(jìn)了SAMP算法中的初步測試和最終測試思想。改進(jìn)后，用初步測試找出Φ中與Rk-1最相關(guān)的I個列的索引值Sk，最終測試將本次短支撐集Sk與上次最終集Fk-1進(jìn)行合并形成2I個元素的候選集Ck，然后通過回溯思想從Ck中選出I個最優(yōu)的向量作為本次迭代的最終集Fk。整個過程分為若干個階段，且每個階段均有若干次迭代，具體流程如表1所示。

4.2 SAMP MMV算法有效性分析

SAMP MMV算法采用回溯的思想使每個階段都具有如下特點，即當(dāng)前迭代的余項能量總比上一次迭代的余項能量小[13]。步驟 6的階段轉(zhuǎn)換條件保證了迭代中余項能量的單調(diào)遞減性，使算法在每個階段均向收斂的方向發(fā)展。當(dāng)算法執(zhí)行到階段j時，最終集F的元素數(shù)量為js，可選的元素總數(shù)為L，因此F最多有種可能形式。如果迭代次數(shù)超過，則最終集開始重復(fù)，余項能量不再單調(diào)遞減，算法轉(zhuǎn)入下一階段。可見該算法不會在任何階段陷入無限次迭代。當(dāng)算法執(zhí)行到第階段時便等效成估計稀疏度為的子空間追蹤算法，其收斂性在文獻(xiàn)[14]中已得到證明，故該算法在有限迭代次數(shù)內(nèi)一定收斂。算法收斂時的稀疏度與真實的稀疏度K近似相等，從而在未知稀疏度的前提下實現(xiàn)了重構(gòu)。當(dāng)然重構(gòu)中算法需經(jīng)過個階段的嘗試，使計算復(fù)雜度略有增加。

表1 SAMP MMV算法流程

5 仿真實驗及結(jié)果分析

為了驗證本文方法的有效性，本節(jié)設(shè)計了 3個仿真實驗：5.1節(jié)驗證在定理1條件下SAMP MMV算法的有效性；5.2節(jié)在5.1節(jié)的基礎(chǔ)上驗證在改進(jìn)定理條件下SAMP MMV算法的有效性；5.3節(jié)結(jié)合應(yīng)用背景考察該方法的重構(gòu)效果。實驗中頻譜稀疏信號均采用下式產(chǎn)生：

其中En,Bn,fn,τn分別代表所產(chǎn)生的第n個頻帶的能量系數(shù)、帶寬、載波頻率和延遲時間，n(t)為高斯白噪聲。為了仿真實際MWC采樣過程，用5倍奈奎斯特率的離散信號來表示連續(xù)信號，采用數(shù)字乘法和數(shù)字濾波運算來仿真模擬乘法器和模擬濾波器的實際處理效果，利用抽取的方法實現(xiàn)濾波后的采樣過程。每個實驗中，以下過程重復(fù)500次，將成功次數(shù)的百分率作為成功概率。

(1)采樣系統(tǒng)的符號波形pi(t)按均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生；

(2)各個頻帶的載波頻率fn在區(qū)間 [-fNYQ/2,fNYQ/2]內(nèi)按均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生；

(3)重構(gòu)時先將IMV問題轉(zhuǎn)換成MMV問題，然后采用 OMP(正交匹配追蹤)MMV 算法[12]或SAMP MMV算法來估計支撐集；

需要指出的是，與 SAMP MMV算法不同，OMP MMV算法需要利用稀疏度來控制迭代的次數(shù)。因此，涉及到OMP MMV算法時則使用確切稀疏度作為最大迭代次數(shù)，盡管該數(shù)值在實際中無法準(zhǔn)確預(yù)知。

5.1 定理1條件下SAMP MMV算法的有效性驗證

本節(jié)通過對比SAMP MMV算法和OMP MMV算法重構(gòu)支撐集的成功率來說明在定理 1條件下即fs≥fp≥ m ax(Bi)時SAMP MMV算法的有效性。不失一般性，本實驗以 4個頻帶的信號為例，具體參數(shù)設(shè)置如下：En={1,2};Bn= { 40,40}MHz;τn={0.75,1.88} μs ，載波頻率fn隨機(jī)地分布在 [-fNYQ/2,fNYQ/2]內(nèi),fNYQ= 1 0GHz。采樣參數(shù)按照定理1設(shè)置：fs=fp=fNYQ/197= 5 0.76MHz;L0=98,L=2L0+1 =1 97;m=50。

圖4分別給出了在不同信噪比條件下，當(dāng)通道數(shù)m在區(qū)間[10, 50]內(nèi)以1為步進(jìn)變化時兩種算法的重構(gòu)成功率情況。從圖中可以看出，當(dāng)m＜20時，在無噪聲情況下，SAMP MMV算法略優(yōu)于OMP MMV算法，在有噪聲情況下，這種優(yōu)勢變得不明顯。當(dāng)m≥20時，隨著信噪比的降低，SAMP MMV算法的重構(gòu)率優(yōu)勢趨于明顯，如當(dāng)m=30，信噪比為30 dB, 15 dB, 5 dB時，該算法的重構(gòu)率分別比OMP MMV算法提高了1%, 2%, 4%。為了具體地說明重構(gòu)效果，圖5給出了當(dāng)m=20,fn={3.53,4.71}GHz，信噪比為15 dB時該算法重構(gòu)前后信號的時域和頻域形式。如圖所示，時域和頻域的重構(gòu)結(jié)果均較好地再現(xiàn)了原信號的波形與頻譜。上述結(jié)果表明，在定理1條件下，SAMP MMV算法可以在不需要稀疏度的情況下實現(xiàn)精確重構(gòu)，且總體重構(gòu)率情況與OMP MMV算法相當(dāng)。

5.2 改進(jìn)定理條件下SAMP MMV算法的有效性驗證

圖4 定理1條件下算法重構(gòu)成功率比較

圖5 SAMP MMV算法盲重構(gòu)時、頻域波形比較

5.1節(jié)驗證了在定理1條件下SAMP MMV算法的有效性，那么在改進(jìn)定理條件下算法是否有效呢？本節(jié)針對fs≥fp＜ m ax(Bi)條件下的重構(gòu)情況進(jìn)行數(shù)值仿真。此時MWC原有重構(gòu)算法不再適用，因此實驗只觀察SAMP MMV算法的重構(gòu)率情況。本實驗在 5.1節(jié)的基礎(chǔ)上，提高頻帶寬度使Bn={80,80}MHz，信號其它參數(shù)及系統(tǒng)采樣參數(shù)保持不變。

圖6給出了信噪比為{-5,0,5,30} dB時重構(gòu)成功率隨采樣通道數(shù)目變化的情況?？梢钥闯?，成功重構(gòu)所需要的通道數(shù)隨著信噪比的提高而減少。在信噪比為30 dB時，正如改進(jìn)定理所述，只要滿足m≥ 2K≈ 2 4則重構(gòu)成功的概率接近于1。當(dāng)信噪比降低時，則需要增加MWC的通道數(shù)來提高重構(gòu)的成功率，如信噪比為5 dB, 0 dB, -5 dB時，分別至少需要28, 31, 41個通道。綜上所述，SAMP MMV算法在未知稀疏度的情況下仍然可以實現(xiàn)高概率重構(gòu)，表明該算法在改進(jìn)定理條件下是有效的。

5.3 寬帶頻譜感知應(yīng)用舉例

本節(jié)應(yīng)用全盲亞奈奎斯特采樣方法，對認(rèn)知無線電頻譜進(jìn)行感知，考察該方法在頻譜感知應(yīng)用中的盲重構(gòu)效果。假設(shè)在某一時刻有10個主用戶同時在帶寬Sn= { 6,8,10,20,60,10,15,6,6,80}MHz的10個信道內(nèi)進(jìn)行通信，由于某些用戶信道相鄰，一共形成了12個(6對)頻帶，各信道的中心頻率(載波)fn={1,1.007,1.016,2.5,2.54,2.575,3,3.1,3.3,4.58} GHz，信號的能量系數(shù)En= { 4,4,4,2,2,2,4,3,4,4}，環(huán)境噪聲為加性高斯白噪聲，將整個頻帶的信噪比設(shè)置在10 dB，圖7(a)所示為其奈奎斯特采樣率下頻譜形式。

圖6 改進(jìn)定理條件下不同信噪比時盲重構(gòu)成功率情況

采用的MWC參數(shù)配置如下：fs=fp=fNYQ/197=50.76MHz;L0=98,L=2L0+1 =1 97;m=50。

圖7(b)給出了盲重構(gòu)的頻譜結(jié)果。從圖中可以看出，盡管原信號中的最大頻帶寬度(80 MHz)超過了fp，在改進(jìn)定理條件下，SAMP MMV算法在未知稀疏度的前提下仍然實現(xiàn)了較好的重構(gòu)。由于重構(gòu)算法只對找出的支撐集所對應(yīng)的分量進(jìn)行了恢復(fù)，而其它分量強(qiáng)制為零，因此在恢復(fù)的頻譜中消除了大量噪聲。此外，由于該算法具有稀疏度自適應(yīng)的特點能夠較好地克服過匹配問題，因而在恢復(fù)的頻譜中只存在較少的雜波，達(dá)到了較好的恢復(fù)效果。

圖7 寬帶頻譜感知應(yīng)用實例

需要說明的是，為了直觀地說明本文所提出的采樣方法的重構(gòu)性能，本節(jié)才恢復(fù)了完整的頻譜。當(dāng)該采樣方法應(yīng)用于寬帶頻譜感知時，只需重構(gòu)出支撐集及其對應(yīng)的低速采樣值，然后根據(jù)其能量就可以進(jìn)一步判斷出各個頻帶是否真正存在主用戶，而無需恢復(fù)出完整的頻譜。限于篇幅，將在其他文章中繼續(xù)研究。

6 結(jié)論

本文通過改進(jìn) MWC重構(gòu)理論并引入 SAMP MMV重構(gòu)算法，提出了一種可用于寬帶頻譜感知的全盲亞奈奎斯特采樣方法。所提出的MWC重構(gòu)充分條件消除了信號最大頻帶寬度對采樣的約束。所提出的SAMP MMV算法在重構(gòu)中可以不需要確切的稀疏度信息。實驗結(jié)果表明，在未知稀疏度的前提下，該算法的性能與已知確切稀疏度時的OMP MMV算法相當(dāng)，可以較好地實現(xiàn)盲譜重構(gòu)。本文所提出的全盲亞奈奎斯特采樣方法為寬帶內(nèi)多信道快速頻譜感知提供了一種有效途徑。

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