賀昌輝，冷 毅，潘英鋒

(空軍雷達學院信息對抗系，湖北武漢 430019)

“電磁場與電磁波”是工科電子類專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎課程，也是“微波技術(shù)”、“天線”、“電波傳播”及“電磁兼容”等后續(xù)課程的理論基礎。矢量分析是研究電磁場與電磁波的重要的數(shù)學工具，這其中有關(guān)距離矢量［1］R聯(lián)系著場點和源點。因此研究由場源產(chǎn)生的場的性質(zhì)，必然涉及到關(guān)于的運算，所以關(guān)于R的運算在電磁場與電磁波中具有很重要的地位。本文通過教學實踐，導出了距離矢量R的幾個重要結(jié)論:R，f(R)，1/R的梯度及1/R的梯度的散度，并介紹了這些結(jié)論在電磁場與電磁波中有關(guān)場量的計算中的重要地位，藉此有助于這門課教學效果的提高。

1 位置矢量R的幾個重要結(jié)論

如圖1所示，場點坐標是(x，y，z)，用位置矢量r=exx+eyy+ezz表示;源點可用位置矢量r'=exx'+eyy'+ezz'表示。

圖1 源點到場點的距離

1.1 距離矢量的結(jié)論一

1.2 距離矢量的結(jié)論二

1.3 距離矢量的結(jié)論三

當源點不變，兩場點變化時，1/R的梯度表示為(1/R)。當場點不變，源點變化時，1/R的梯度表示為'(1/R)。

［證明］在結(jié)論二中，如果令f(R)=1/R，則由f(R)=［df(R)/dR］eR，可得

1.4 距離矢量的結(jié)論四

這表明在場點與源點不重合的情況下，1/R對場點或者是源點梯度的散度相等，且均為0。

(2)在R=0(即場點與源點重合)這個點上是個奇點，可以求得

根據(jù)δ函數(shù)的定義式

這里已應用了高斯散度定理，s是限定體積τ的閉合面。

其中，(R/R2)·ds是面元ds在原點所張的立體角dΩ，面積分s(R/R2)·ds則是包圍原點的閉合面s在原點所張的立體角，它的數(shù)值等于4π，所以式(7)左邊也等于1，這就證明了式(6)是恒成立的。

綜合(1)與(2)，兩種情況位置矢量的結(jié)論四可以用一個公式表示，即

2 基于上述結(jié)論的應用

2.1 用于簡化矢量計算

很顯然，運用距離矢量的性質(zhì)，避免了繁瑣復雜的旋度運算，使復雜的問題簡單化。

2.2 推導點電荷電位

現(xiàn)已知點電荷計算場強的公式為

式中，體積分是對源點進行的源點變化;求梯度式對場點進行的場點變化。故兩種運算相互獨立，可以交換次序。故有

式中，常數(shù)C的梯度為0。

由上式可知，電場強度可表示為某個標量函數(shù)的負梯度，我們把這個標量函數(shù)定義為電位，并用φ來表示，則

于是，很容易地推導出了點電荷電位的表達式。

2.3 恒定磁場中安培環(huán)路定理的證明

安培環(huán)路定理［3］是恒定磁場中一個重要的定理。下面我們利用矢量磁位來推導該定理。

對于式(14)中的體積分，在R=0(即原點與場點重合這一點)之外的全部區(qū)域全為0。因此，積分區(qū)域可縮小到場點附近的小區(qū)域，如圖2所示。

圖2場點附近的源點

假定小區(qū)域是以場點為球心，以R為半徑的球體。因R可以任意小，可以認為小體積中的Jx為常數(shù)。并將其移到積分號之前，根據(jù)散度定理有

式中，eR是源點到場點的單位矢量，指向球心;dS'沿球面外法線方向，即半徑方向，與eR方向相反;所以有eR·dS'=-dS'，代入上式得

這就是真空中安培環(huán)路定理的微分形式。

除此之外，靜電場的高斯定理，在有不少電磁場與電磁波的教科書采用立體角的概念推導［4］。但這種推導很麻煩，但如果應用距離矢量的結(jié)論四和δ函數(shù)來推導，就要簡單得多。

3 結(jié)語

本文通過教學實踐，給出并證明了距離矢量的幾種重要結(jié)論，并介紹了這些結(jié)論在電磁場與電磁波中有關(guān)場量的計算與推導中的重要應用。正是因為應用了這些結(jié)論，使復雜的計算簡單化，使各種定理的推導容易化，便于學生很輕松地理解，藉此提高本課程的教學效果。

［1］王澤忠.工程電磁場［M］.北京:清華大學出版社，2008，3

［2］傅文斌.微波技術(shù)與天線［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2007，3

［3］謝處方.電磁場與電磁波［M］.北京:高等教育出版社，2006，1

［4］黃玉蘭.電磁場與微波技術(shù)［M］.北京:人民郵電出版社，2007，8