曹 輝，聶玉寶，余貴春

（1.海軍指揮學(xué)院，南京 210016，2.解放軍92858部隊(duì)，南京 210016）

0 引 言

雷達(dá)的出現(xiàn)和使用極大地提高了艦艇獲取信息的能力，現(xiàn)代艦載雷達(dá)運(yùn)用先進(jìn)技術(shù)，能短時(shí)間內(nèi)獲取目標(biāo)大量重要信息，是艦艇主要的預(yù)警探測(cè)設(shè)備。為奪取海戰(zhàn)勝利，雷達(dá)方要保證己方雷達(dá)正常工作，干擾方需干擾對(duì)方雷達(dá)設(shè)備工作，為此，作戰(zhàn)雙方開展了不斷更新發(fā)展的電子對(duì)抗。干擾方的干擾手段和雷達(dá)方的抗干擾措施都是動(dòng)態(tài)的選擇，而作為研究具有動(dòng)態(tài)對(duì)抗性問題的數(shù)學(xué)理論的對(duì)策論應(yīng)用于這一問題具有一定的實(shí)際意義。

1 艦載雷達(dá)電子對(duì)抗與對(duì)策論

艦載雷達(dá)電子對(duì)抗主要是艦載雷達(dá)方與飛機(jī)、艦艇上的干擾設(shè)備之間的對(duì)抗行動(dòng)，現(xiàn)介紹該問題的提出與對(duì)策論基本理論。

1.1 問題的提出

當(dāng)前，艦載雷達(dá)常用的抗干擾技術(shù)有捷變頻、副瓣隱匿和寬限窄等。對(duì)艦載雷達(dá)的干擾技術(shù)分為有源干擾和無源干擾，常見的有源干擾技術(shù)有阻塞式干擾、掃頻干擾、瞄準(zhǔn)式干擾等；副瓣轉(zhuǎn)發(fā)器、距離拖延門、箔條等為無源干擾技術(shù)。為研究對(duì)策論在艦載雷達(dá)電子對(duì)抗中的應(yīng)用，在對(duì)艦載雷達(dá)干擾設(shè)備及雷達(dá)性能全面分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際訓(xùn)練以及未來海戰(zhàn)場(chǎng)可能出現(xiàn)的情況，以單部某型雷達(dá)與假想干擾機(jī)對(duì)抗為例進(jìn)行說明［1］。

1.2 對(duì)策論的基本理論

具有競(jìng)爭和對(duì)抗性質(zhì)的決策問題稱為對(duì)策，一個(gè)對(duì)策就是對(duì)策論對(duì)現(xiàn)實(shí)世界某個(gè)對(duì)抗局勢(shì)的抽象。因此，艦載雷達(dá)與干擾方的對(duì)抗決策問題可引入對(duì)策論理論。

（1）對(duì)策論簡介

對(duì)策論亦稱博弈論或競(jìng)賽論，它既是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，又是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要學(xué)科。對(duì)策論起源于對(duì)博弈的數(shù)學(xué)研究，其作為一門學(xué)科的正式誕生，始于數(shù)學(xué)家馮·紐曼和摩根斯坦于1944年發(fā)表的《對(duì)策論和經(jīng)濟(jì)行為》。對(duì)策論在利益沖突雙方行動(dòng)和意圖不完全明了的情況下，能用數(shù)學(xué)方法得出決策者應(yīng)采取的最優(yōu)行動(dòng)方案。在艦載雷達(dá)對(duì)抗中引入對(duì)策論來分析對(duì)抗信息，得出最優(yōu)對(duì)抗策略，以此作為艦載雷達(dá)對(duì)抗決策的依據(jù)［2］。

（2）對(duì)策論的重要概念

對(duì)策是現(xiàn)實(shí)對(duì)抗局勢(shì)的數(shù)學(xué)模型。在對(duì)策模型中有3個(gè)要素：局中人、策略和支付［3］。

局中人，就是參與對(duì)抗或競(jìng)爭的個(gè)人或利益集團(tuán)。在對(duì)策中，一個(gè)局中人是一個(gè)代表本方利益的、有決策權(quán)的、理智的決策者。

策略，就是各局中人擁有的可供其選擇采用的行動(dòng)策略。在對(duì)策論中，策略有其特定的含義，一個(gè)策略就是局中人在對(duì)策中的一套完整的行動(dòng)方案。

支付，在對(duì)策論中是指當(dāng)各局中人決定了各自策略之后，這些策略組合所導(dǎo)致的對(duì)抗結(jié)果的數(shù)量表示。支付可以是對(duì)抗結(jié)果的價(jià)值，也可以是結(jié)果的效用。

從決策的角度看，局中人就是決策者。這里的策略就是雙方（決策）方案，支付就是雙方所得到的決策結(jié)果。

（3）對(duì)策論要素分析

在對(duì)策論中，可以根據(jù)各種不同的標(biāo)準(zhǔn)將對(duì)策分為不同的對(duì)策類型：

（a）根據(jù)對(duì)策中局中人的個(gè)數(shù)，可以分為二人對(duì)策和多人（N人）對(duì)策。

（b）根據(jù)各局中人的支付之和是否為一固定的常數(shù)，可以分為常和對(duì)策和非常和對(duì)策；根據(jù)各局中人的支付之和是否為零，可以分為零和對(duì)策和非零和對(duì)策。零和對(duì)策是常和對(duì)策的一種特例。

（c）根據(jù)各局中人的策略數(shù)目是否是有限個(gè)，可以分為有限對(duì)策和無限對(duì)策。

對(duì)于艦載雷達(dá)對(duì)抗這個(gè)特定的研究對(duì)象來說，可以認(rèn)為這是“二人有限零和”對(duì)策。“二人”是雷達(dá)方和干擾方；“有限”指干擾方的干擾措施和雷達(dá)方的抗干擾措施是有限的；“零和”的意義則為雷達(dá)方／干擾方的所得即是干擾方／雷達(dá)方的所失。

一個(gè)二人有限零和對(duì)策的數(shù)學(xué)模型是：Γ（I，J，U），其中Γ為對(duì)策，I為局中人1的策略集合，即：

式中：Ii為局中人1的第i個(gè)策略，其總的策略數(shù)量為m。

J表示局中人2的策略集合，即：

式中：J j為局中人1的第j個(gè)策略，其總的策略數(shù)量為n。

U表示局中人1的支付矩陣，即：

式中：U ij為局中人1采取第i個(gè)策略并且局中人2采取第j個(gè)策略時(shí)，局中人1所得到的支付。

由于局中人2的支付矩陣等于局中人1支付矩陣的負(fù)值，因此局中人2的支付矩陣為－U。

（4）對(duì)策論的求解

針對(duì)單部艦載雷達(dá)電子對(duì)抗問題所關(guān)心的是對(duì)抗雙方能否達(dá)到一個(gè)平衡局勢(shì)，分為純策略（有鞍點(diǎn)）和混合策略（無鞍點(diǎn)）2種情況。

（1）一個(gè)矩陣對(duì)策，如果支付矩陣有：

成立，記其值為V，稱為對(duì)策的值，使上式成立的局中人1的第i個(gè)策略和局中人2的第j個(gè)策略，分別是局中人1和局中人2的最優(yōu)純策略。

（2）一個(gè)矩陣對(duì)策，當(dāng)下式成立時(shí)：

該矩陣不存在鞍點(diǎn)，不存在最優(yōu)純策略，但存在最優(yōu)混合策略解。矩陣對(duì)策總是存在最優(yōu)混合策略解，純策略是混合策略的特例。

局中人的一個(gè)混合策略，就是該局中人純策略集合上的一個(gè)概率分布。局中人1策略集I的概率分布為X＝（X1，X2，…，Xm），局中人2策略集J的概率分布為Y＝（Y1，Y2，…，Y n），這2個(gè)混合策略必須滿足

2 對(duì)策論在雷達(dá)電子對(duì)抗中的應(yīng)用

為了便于綜合分析問題，依據(jù)艦載雷達(dá)性能，其抗干擾的策略集為［4］：

M＝｛寬限窄，副瓣對(duì)消，副瓣隱匿，捷變頻｝

此處假定艦載雷達(dá)干擾方的策略集可取為：

N＝｛瞄準(zhǔn)，掃描，阻塞，轉(zhuǎn)發(fā)式欺騙，箔條干擾｝

結(jié)合艦載雷達(dá)與干擾裝備的具體性能參數(shù)和對(duì)抗雙方的實(shí)際情況，例如對(duì)抗雙方的天線增益、發(fā)射功率、干擾噪聲帶寬、相隔距離等，設(shè)定1個(gè)固定值，經(jīng)定量計(jì)算和定性分析并且結(jié)合相應(yīng)的干擾效果算法，可得到艦載雷達(dá)抗干擾對(duì)抗關(guān)系矩陣。經(jīng)分析計(jì)算得出的對(duì)抗關(guān)系矩陣見表1［5］。

表1 雷達(dá)方與干擾方的對(duì)抗關(guān)系矩陣

通過表1中的數(shù)據(jù)可看出對(duì)抗雙方在純策略情況下，各自所采取的策略進(jìn)行對(duì)抗的得益情況。如在與寬限窄方式的對(duì)抗中，箔條干擾條件下抗干擾成功概率為0.37，而抗掃頻干擾條件下抗干擾成功概率為0.65，表明寬窄限對(duì)抗掃頻干擾的效果較好，這與實(shí)際情況相符，從而證實(shí)了數(shù)據(jù)的可靠性。

由表1就可確定支付矩陣A：

結(jié)合取定的M，N，一個(gè)完整的對(duì)策問題就被描述出來。

矩陣對(duì)策有很多成熟的解法，如線性規(guī)劃算法、迭代算法等。線性規(guī)劃算法是矩陣對(duì)策的普適解法，可以用于求解任何矩陣對(duì)策，包括有鞍點(diǎn)的矩陣對(duì)策；而迭代算法用于求解大型矩陣對(duì)策，是最實(shí)用、最適于計(jì)算機(jī)執(zhí)行的算法。在此利用線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。

根據(jù)表1，建立下面2個(gè)線性規(guī)劃問題。

（1）艦載雷達(dá)效用最高的線性規(guī)劃問題

（2）干擾方使艦載雷達(dá)效用最低的線性規(guī)劃問題

利用線性規(guī)劃計(jì)算軟件（如LINDO）可以求解得到艦載雷達(dá)方與干擾方矩陣對(duì)策，結(jié)果如表2所示。

表2 雷達(dá)方與干擾方對(duì)抗的矩陣對(duì)策解

從表2中可看出，艦載雷達(dá)的最優(yōu)混合策略是分別以概率0.54和0.46采用副瓣對(duì)消和捷變頻選擇方式及零概率采取寬限窄、副瓣隱匿進(jìn)行抗干擾。而干擾方的最優(yōu)混合策略是分別以概率0.35和0.65采用阻塞和箔條干擾以及零概率采取瞄準(zhǔn)、掃頻、轉(zhuǎn)發(fā)式欺騙干擾的策略來干擾艦載方雷達(dá)。得到艦載雷達(dá)方與干擾設(shè)備對(duì)抗中的得益值僅為0.478 5左右。通過數(shù)據(jù)分析可知，艦載雷達(dá)方得益較小的原因是艦載雷達(dá)缺乏有效對(duì)抗箔條干擾的措施。根據(jù)分析結(jié)果可知，在海戰(zhàn)中，箔條干擾仍是對(duì)抗雷達(dá)的有效措施，而為有效提高艦載雷達(dá)的對(duì)抗性能和在對(duì)抗中的收益，可相應(yīng)地采取抗箔條干擾的措施或者配備多部不同的雷達(dá)。

3 結(jié)束語

本文分析結(jié)果表明，將對(duì)策論應(yīng)用于艦載雷達(dá)電子對(duì)抗策略分析后，將極大地優(yōu)化艦載雷達(dá)抗干擾方式，為合理地制定艦載雷達(dá)抗干擾策略，提高艦載雷達(dá)的電子對(duì)抗能力有著重要的指導(dǎo)作用。

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［2］史越冬.指揮決策定量分析［M］.北京：海潮出版社，2008.

［3］李潮，張多林，劉付顯.對(duì)策論在雷達(dá)電子戰(zhàn)效能評(píng)估中的應(yīng)用［J］.航天電子對(duì)抗，2006，23（3）：21－22.

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［5］沈鵬，張宏銘，張瑞峰，等.對(duì)策論及其在雷達(dá)電子對(duì)抗中的應(yīng)用研究［J］.電子對(duì)抗，2009（5）：14－16.