孫先國，劉浩，倪計(jì)民

（1．同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院，上海200092；2．舍弗勒集團(tuán)發(fā)動(dòng)機(jī)部，上海201804）

有限元彈性動(dòng)力分析與優(yōu)化在某氣門機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用

孫先國1,2，劉浩2，倪計(jì)民1

（1．同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院，上海200092；2．舍弗勒集團(tuán)發(fā)動(dòng)機(jī)部，上海201804）

對(duì)某發(fā)動(dòng)機(jī)氣門機(jī)構(gòu)建立了混合剛體-彈性體的參數(shù)化非線性有限元模型，進(jìn)行了彈性動(dòng)力學(xué)計(jì)算。通過回歸方程對(duì)模型進(jìn)行了優(yōu)化，降低了搖臂的質(zhì)量，在保證搖臂強(qiáng)度的同時(shí)改善了凸輪-滾子的接觸性能，從而降低了磨損，提高了耐久性。

氣門機(jī)構(gòu)有限元法彈性動(dòng)力回歸優(yōu)化

1 前言

以往的氣門機(jī)構(gòu)分析，多是將氣門機(jī)構(gòu)系統(tǒng)簡化成單質(zhì)量或多質(zhì)量集總參數(shù)模型[1-5]，然后進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是建模方便，計(jì)算快速，理論分析方便。另一種方法是將部件看成沒有變形的剛體，并通過自由度耦合將各部件聯(lián)接起來，組成一個(gè)多剛體系統(tǒng)[6-7]。通過矢量力學(xué)或分析力學(xué)，建立起規(guī)則統(tǒng)一的動(dòng)力學(xué)方程組并求解。

隨著氣門機(jī)構(gòu)向輕量化和高速化方向的發(fā)展[8-10]，部件柔度和慣性力的加大，部件的彈性變形可能給氣門的運(yùn)動(dòng)輸出結(jié)果帶來誤差，因此有必要計(jì)入這種變形對(duì)計(jì)算精度的影響[11]。計(jì)入變形的影響后，還能夠在計(jì)算出動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的同時(shí)得到部件的應(yīng)力譜。

目前比較流行的包含彈性體多體系統(tǒng)的建模方法是相對(duì)坐標(biāo)法。這種方法首先在彈性體上建立一個(gè)浮動(dòng)坐標(biāo)系，將彈性體的運(yùn)動(dòng)分解成浮動(dòng)坐標(biāo)系的牽連運(yùn)動(dòng)和其相對(duì)于浮動(dòng)坐標(biāo)系的變形運(yùn)動(dòng)的疊加。彈性變形則按無大范圍運(yùn)動(dòng)時(shí)理想邊界條件下的整體變形或模態(tài)函數(shù)進(jìn)行離散，其中假設(shè)模態(tài)法在實(shí)際工程中得到了廣泛的應(yīng)用，成為很多商業(yè)動(dòng)力學(xué)軟件的理論基礎(chǔ)[12-14]。假設(shè)模態(tài)法將整個(gè)彈性體的變形場表示為一組模態(tài)函數(shù)和模態(tài)坐標(biāo)的線性組合。因?yàn)橛?jì)算之前需要先進(jìn)行模態(tài)分析，所以只能考慮小變形的情況，而且模態(tài)函數(shù)的選取有一定的隨意性。

以Shabana[15]為代表的一派學(xué)者提倡將彈性體的大位移以及彈性變形都用相對(duì)總體坐標(biāo)系的單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)描述，不區(qū)分物體的剛性運(yùn)動(dòng)和變形，對(duì)二者都按照連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的方式統(tǒng)一處理，在此基礎(chǔ)上發(fā)展出能處理部件在任意范圍內(nèi)的大運(yùn)動(dòng)、大變形的非線性動(dòng)力學(xué)模型，稱之為絕對(duì)坐標(biāo)法。相對(duì)坐標(biāo)法可以看作是多剛體動(dòng)力學(xué)框架內(nèi)的推廣。絕對(duì)坐標(biāo)法實(shí)際上是一種有限元法，通過有限元網(wǎng)格離散的同時(shí)計(jì)算部件的剛體運(yùn)動(dòng)和變形（應(yīng)力），而且可以直接計(jì)算彈性體之間的接觸－沖擊及滑動(dòng)，這是假設(shè)模態(tài)法難以做到的。理論上非線性有限元的工具都有可能用來進(jìn)行多體動(dòng)力學(xué)分析。

有關(guān)用集總參數(shù)法或多剛體模型和假設(shè)模態(tài)法的剛－彈耦合模型的氣門機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)計(jì)算例子已經(jīng)有很多，但應(yīng)用非線性有限元法對(duì)氣門機(jī)構(gòu)進(jìn)行彈性動(dòng)力分析尚少見相關(guān)的文獻(xiàn)。

ABAQUS是一款基于非線性連續(xù)介質(zhì)理論的通用非線性有限元軟件，本文試圖在ABAQUS軟件的基礎(chǔ)上，建立起適合計(jì)算氣門機(jī)構(gòu)的混合剛體－彈性體非線性有限元?jiǎng)恿W(xué)模型。

2 模型處理

某發(fā)動(dòng)機(jī)的氣門機(jī)構(gòu)模型如圖1所示。有限元?jiǎng)恿W(xué)模型的自由度比較多，如何正確反映模型的主要特點(diǎn)又盡可能地縮小模型的規(guī)模，是建模的首要考慮。比如剛度大的部件可以簡化成剛體，有限元模型盡量使用殼單元和梁單元，避免使用實(shí)體單元等。

圖1 總體幾何模型

2.1 凸輪

凸輪結(jié)構(gòu)的剛度比較大，為降低模型規(guī)模，凸輪簡化成剛體，剛體的整體運(yùn)動(dòng)通過參考點(diǎn)控制（圖2）。參考點(diǎn)即為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0，0）。由于假設(shè)凸輪繞參考點(diǎn)作等速轉(zhuǎn)動(dòng)，不需要輸入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖2 凸輪剛體模型

2.2 滾子

滾子也即滾子軸承，整體剛度大，零件多，為了降低模型規(guī)模，滾子也簡化成剛體（圖3）。滾子的質(zhì)量是16.8 g，對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是442 g·mm2。

圖3 滾子剛體模型

2.3 搖臂

搖臂是氣門機(jī)構(gòu)系統(tǒng)中承受凸輪和彈簧動(dòng)載荷的部件，剛度不高，應(yīng)使用彈性體模型（圖4）。搖臂是鈑金件，適合用殼單元模擬，并可以方便地通過定義殼厚h將搖臂模型參數(shù)化，搖臂殼厚為3 mm。

圖4 搖臂有限元模型

搖臂使用通用縮減積分殼單元S4R，S4R單元可以根據(jù)定義的殼厚度自動(dòng)選擇薄殼或厚殼公式。限于篇幅，S4R通用殼單元的有限元格式本文不再詳述，相關(guān)內(nèi)容可以參考相關(guān)文獻(xiàn)[16]。

2.4 氣門與氣門彈簧

氣門雖然也有一定的變形，但本文氣門不是關(guān)注的重點(diǎn)，僅取與搖臂接觸的頂面做成剛體面，氣門簡化成參考點(diǎn)上的集中質(zhì)量，如圖5所示。

圖5 氣門與氣門彈簧模型

除了氣門外，彈簧上座、氣門鎖夾的質(zhì)量也都集中到氣門參考點(diǎn)上，三者質(zhì)量之和為42.1 g。

彈簧對(duì)氣門機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)有重要影響[17-18]，等距螺旋彈簧剛度可計(jì)算如下[19]，式（1）中各項(xiàng)參數(shù)見表1。

式中，

K——彈簧剛度，N/mm；

G——?dú)忾T彈簧剪切彈性模量，MPa；

d——鋼絲直徑，mm；

D——彈簧中徑，mm；

n——有效圈數(shù)。

表1 彈簧參數(shù)

根據(jù)式（1）計(jì)算得彈簧剛度K=39.5 N/mm，與搖臂類似，可以通過定義d將彈簧模型參數(shù)化。

為了模擬彈簧的顫振效果，將彈簧分成11段，質(zhì)量點(diǎn)之間以彈簧－阻尼聯(lián)接，見圖5。

每點(diǎn)的質(zhì)量可以計(jì)算如下[20]：

其中，ρ為彈簧密度（同表2），其余同式（1）。

取1.85Mi的彈簧質(zhì)量集中到氣門參考點(diǎn)上（圖5），其余質(zhì)量點(diǎn)均取Mi。

文獻(xiàn)[1]經(jīng)試驗(yàn)研究建議，等距螺旋彈簧阻尼比δ取0.01～0.011。本文取0.011，彈簧阻尼可計(jì)算如下：

K、M、c分別為彈簧的總剛度、總質(zhì)量和總阻尼。由于各個(gè)質(zhì)量點(diǎn)是串聯(lián)的關(guān)系，各質(zhì)量點(diǎn)之間的彈簧阻尼要取總體剛度和阻尼的11倍。

3 模型設(shè)置

3.1 材料特性

氣門機(jī)構(gòu)各部件均由鋼材組成。凸輪、滾子、彈簧、氣門分別簡化成剛體和集中質(zhì)量，無需輸入彈性材料參數(shù)。搖臂材料是16MnCr5，材料的特性參數(shù)見表2。

表2 搖臂材料參數(shù)

3.2 接觸連接

凸輪－滾子（圖1）、搖臂－氣門（圖5）之間的接觸使用基于罰函數(shù)法的有限滑動(dòng)、面－面接觸公式[21]，摩擦系數(shù)為0.01。液壓間隙調(diào)節(jié)器（HLA）不是關(guān)注的重點(diǎn)，可以簡化成固定的接地點(diǎn)。搖臂右側(cè)球面與接地點(diǎn)建立彈性連接（圖6），耦合全部自由度。彈性連接將一組節(jié)點(diǎn)與一個(gè)參考點(diǎn)相連，由參考點(diǎn)控制被連接節(jié)點(diǎn)的幾何運(yùn)動(dòng)。與剛性連接不同的是彈性連接允許被連接節(jié)點(diǎn)之間有相對(duì)位移，而且參考點(diǎn)所受載荷會(huì)根據(jù)被連接點(diǎn)的相對(duì)位置加權(quán)分配到各個(gè)節(jié)點(diǎn)上[21]。

圖6 搖臂與接地點(diǎn)的連接

由于搖臂簡化成殼單元，搖臂與滾子的接觸面（圖1）也退化成一圈節(jié)點(diǎn)（圖7），兩側(cè)分別與位于圓心的參考點(diǎn)建立彈性連接，耦合全部自由度。

圖7 搖臂與滾子的連接

ABAQUS的CONNECTOR單元提供了各種模擬2個(gè)點(diǎn)之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的方法；其中Hinge連接可以模擬2個(gè)點(diǎn)之間僅有一個(gè)自由度的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)[21]，符合滾子與搖臂之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。

3.3 載荷工況

求解分以下幾個(gè)步驟：

1）沿彈簧作用方向移動(dòng)彈簧參考點(diǎn)（圖5），使彈簧產(chǎn)生一個(gè)初始預(yù)緊力，同時(shí)凸輪－滾子、搖臂－氣門建立接觸關(guān)系。

2）轉(zhuǎn)動(dòng)凸輪參考點(diǎn)，帶動(dòng)凸輪以及滾子搖臂工作，假設(shè)凸輪軸轉(zhuǎn)速是3 000 r/min（對(duì)應(yīng)曲軸轉(zhuǎn)速6 000 r/min）等速旋轉(zhuǎn)。

3）凸輪工作時(shí)，固定凸輪參考點(diǎn)和搖臂接地點(diǎn)除轉(zhuǎn)動(dòng)方向的所有自由度，固定彈簧參考點(diǎn)。

4 模型計(jì)算

4.1 計(jì)算方法

考慮無阻尼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

式中，

M——質(zhì)量矩陣；

K——為剛度矩陣；

F——是外力向量；

U——是位移向量。

方程（4）的初始條件

對(duì)t+Δt時(shí)刻，將方程（4）、（5）表示為如下形式

以上是HHT隱式積分格式[22]，其中β=1/4 (1-α2)，γ=1/2-α，-1/2≤α≤0。HHT法是Newmark法的推廣，當(dāng)α=0等同于Newmark法，二階精度，無條件穩(wěn)定。HHT法的優(yōu)點(diǎn)是通過參數(shù)α自動(dòng)在方程（4）中引入一個(gè)數(shù)值阻尼，并可以通過α方便地控制其大小。

由于網(wǎng)格離散形成的非光滑表面，有限元?jiǎng)恿W(xué)模型在計(jì)算接觸－沖擊的時(shí)候會(huì)帶來沒有意義的高頻響應(yīng)。HHT法通過微小的數(shù)值阻尼就可以抑制高頻噪聲，而對(duì)低頻的求解沒什么影響，因此很適合用來求解有限元?jiǎng)恿W(xué)問題。

4.2 氣門的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

取α=-0.414 21，每周計(jì)算360步，時(shí)間步長為5.5×10-5s。氣門參考點(diǎn)的升程、速度、加速度曲線如圖8所示，凸輪-滾子和氣門-搖臂的接觸力如圖9所示。

圖8 氣門響應(yīng)特性

由圖8可以看出，由于彈簧阻尼的作用，隨著凸輪升程的結(jié)束，速度、加速度都會(huì)迅速衰減至穩(wěn)定狀態(tài)，符合實(shí)際的工作情形。由圖9可以看出，接觸力都有明顯的波動(dòng)效應(yīng)，升程結(jié)束后迅速衰減。如果接觸力小于0，氣門和搖臂之間會(huì)出現(xiàn)飛脫，凸輪在旋轉(zhuǎn)的同時(shí)氣門升程卻沒有變化，氣門不能正常工作，產(chǎn)生接觸損失。本文中接觸力在一個(gè)凸輪周期內(nèi)都大于0。

圖9 凸輪－滾子和氣門－搖臂的接觸力

4.3 搖臂的強(qiáng)度計(jì)算

有限元彈性動(dòng)力分析能在求解動(dòng)力學(xué)積分的同時(shí)對(duì)包含單元的彈性體直接計(jì)算出每一步的應(yīng)力，最大凸輪接觸力時(shí)刻應(yīng)力分布如圖10所示。A是最大的應(yīng)力集中點(diǎn)，在工作周期內(nèi)A點(diǎn)的應(yīng)力譜如圖11所示。

可見A點(diǎn)應(yīng)力譜和凸輪接觸力非常相似，說明凸輪接觸力是影響搖臂強(qiáng)度最重要的因素。厚為3 mm的搖臂模型A點(diǎn)應(yīng)力最大值為103 MPa。

圖10 搖臂應(yīng)力分布

圖11 A點(diǎn)應(yīng)力譜

凸輪－滾子的接觸應(yīng)力Scon是氣門機(jī)構(gòu)性能最重要的評(píng)價(jià)指標(biāo)之一。2個(gè)外圓柱之間的線接觸可以按赫茲接觸公式計(jì)算[23]。

式中：

F——接觸力；

W——接觸線寬度；

ρ1，ρ2——接觸點(diǎn)處凸輪與滾子的曲率半徑；

μ1，μ2——凸輪與滾子的泊松比；

E1，E2——凸輪與滾子的彈性模量。

表3中ρ1是最大接觸力時(shí)刻凸輪的曲率半徑，可以通過三點(diǎn)定圓法計(jì)算得到。凸輪－滾子最大接觸力為1 514 N，根據(jù)式（9）相應(yīng)的接觸應(yīng)力為921.9 MPa。

根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范（表4），搖臂強(qiáng)度和接觸應(yīng)力滿足要求，搖臂強(qiáng)度良好。但接觸應(yīng)力偏高，有必要對(duì)模型進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。

表3 接觸輸入?yún)?shù)

表4 設(shè)計(jì)規(guī)范（MPa）

5 模型優(yōu)化

5.1 設(shè)計(jì)方案

使用殼單元搖臂模型和多點(diǎn)質(zhì)量彈簧模型的優(yōu)點(diǎn)之一就是可以方便地通過定義相關(guān)幾何尺寸對(duì)模型參數(shù)化以便優(yōu)化分析。選取搖臂厚度h和鋼絲直徑d作為設(shè)計(jì)變量，設(shè)計(jì)空間分別為h[2.1，3.0]和d[3.47，3.7]，厚度h取7個(gè)點(diǎn)，直徑d取6個(gè)點(diǎn)，在二維空間上均勻布置，共42個(gè)方案，任一方案均是參數(shù)（h，d）的組合。

根據(jù)前述有限元模型和參數(shù)設(shè)計(jì)方案，搖臂A處最大應(yīng)力和凸輪－滾子接觸應(yīng)力如表5和表6所示；搖臂A點(diǎn)應(yīng)力和接觸應(yīng)力的響應(yīng)面如圖12所示。

表5 搖臂A點(diǎn)應(yīng)力（MPa）

表6 接觸應(yīng)力（MPa）

圖12 凸輪－滾子接觸應(yīng)力

從圖表中可以看出無論是搖臂強(qiáng)度還是凸輪－滾子接觸強(qiáng)度的響應(yīng)面都接近平面，沒有明顯的凸面或凹面，并且單調(diào)。

5.2 回歸優(yōu)化分析

響應(yīng)面法是基于回歸理論的優(yōu)化方法。根據(jù)一定數(shù)量的測試結(jié)果，建立輸出參數(shù)和輸入變量的經(jīng)驗(yàn)方程，通過求解回歸方程達(dá)到優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的[24]。多項(xiàng)式響應(yīng)面模型是應(yīng)用比較廣泛的一種近似模型，通常使用二元二次模型[25]

實(shí)際應(yīng)用中如果沒有明顯的凸面或凹面（圖12），可以略去式（10）中的高階項(xiàng)，簡化為平面模型

使用Excel軟件自帶的多元線性回歸工具分別對(duì)搖臂強(qiáng)度和接觸強(qiáng)度結(jié)果進(jìn)行回歸分析[26]，得到搖臂強(qiáng)度Slever和接觸強(qiáng)度Scon的回歸方程

氣門機(jī)構(gòu)優(yōu)化的目的是降低凸輪－滾子之間的接觸強(qiáng)度使其進(jìn)入“良好”區(qū)域，同時(shí)保證搖臂的強(qiáng)度在可接受區(qū)域內(nèi)，也就是Slever≤125，Scon≤900。

將Slever=125，Scon=900代入式（12,13），可以得到搖臂厚度h=2.364，鋼絲直徑d=3.635。該計(jì)算結(jié)果只是由回歸方程得到的理論值，考慮到搖臂實(shí)際的加工制造和彈簧元件選型的限制，取h為2.4 mm，d為3.6 mm，代入式（12,13），得Slever=122.1 MPa，Scon=895.7 MPa，符合設(shè)計(jì)要求。

將優(yōu)化后的參數(shù)（2.4,3.6）重新代入模型，計(jì)算得到A點(diǎn)應(yīng)力為119.8 MPa，凸輪－滾子接觸應(yīng)力為891.1 MPa，與前述回歸方程計(jì)算結(jié)果的誤差分別為1.88%和0.51%。凸輪－滾子接觸力、氣門加速度和搖臂－氣門接觸力對(duì)比如圖13至圖15所示。

圖13 滾子接觸力對(duì)比

圖14 氣門加速度

6 結(jié)論

針對(duì)某發(fā)動(dòng)機(jī)氣門機(jī)構(gòu)建立了非線性參數(shù)化有限元模型，進(jìn)行了隱式動(dòng)力學(xué)分析，得到了搖臂和氣門的強(qiáng)度及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了優(yōu)化分析。

圖15 氣門接觸力

經(jīng)回歸優(yōu)化設(shè)計(jì)后的氣門機(jī)構(gòu)搖臂厚度由3 mm降到2.4 mm，減重達(dá)20%；凸輪－滾子間的接觸應(yīng)力由921.9 MPa降到了891.1MPa，同時(shí)搖臂應(yīng)力也滿足設(shè)計(jì)規(guī)范。接觸應(yīng)力的降低有利于提高部件的疲勞耐久性和減少磨損。

由圖13及式（12）和式（13）可以看到，搖臂強(qiáng)度和接觸強(qiáng)度都是彈簧鋼絲直徑d的單調(diào)函數(shù)，d減少，搖臂強(qiáng)度和接觸強(qiáng)度也都會(huì)降低。在前述優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，模型還有進(jìn)一步優(yōu)化的潛力，但前提是保證氣門與搖臂的接觸力大于0。

本例只是選取了搖臂在凸輪周期內(nèi)的峰值應(yīng)力校核搖臂強(qiáng)度。如果對(duì)搖臂應(yīng)力譜用雨流計(jì)數(shù)法[27]之類的載荷統(tǒng)計(jì)工具，可以計(jì)算出搖臂在一個(gè)工作周期內(nèi)所有的應(yīng)力循環(huán)，結(jié)合疲勞分析理論得到更精確的強(qiáng)度壽命，這也是今后進(jìn)一步開展工作的方向。

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The Application of FEM Elastic-dynamic Analysis and Optimization in a Valve Train

Sun Xianguo1,2,Liu Hao2,Ni Jimin1
（1 Automobile Academy,Tongji University;2 Engine Dept.,Schaeffler Group,China）

An elastic-dynamic analysis of a valve train is carried with parametric nonlinear rigid-flexible FEM mode,and then the mode is optimized by regression equation.As a result,the mass of the lever is reduced,and the contact performance between cam and roller is improved when the strength of the lever is safe at the same time,so the fatigue durability is improved and the wear of cam and roller decreased.

valve train,FEM,elastic-dynamic,regression optimization

10.3969/j.issn.1671-0614.2012.04.002

來稿日期：2012-08-07

孫先國（1981-），男，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)有限元分析。