張樹(shù)來(lái)

（常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇常熟 215500）

一類新超混沌系統(tǒng)的同步與反同步

張樹(shù)來(lái)

（常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇常熟 215500）

以一類新超混沌系統(tǒng)為例，研究了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步與反同步問(wèn)題，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了控制器，實(shí)現(xiàn)了它們的同步與反同步，數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性.

超混沌系統(tǒng)；Lyapunov函數(shù)；同步；反同步

從1963年Lorenz在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)第一個(gè)混沌吸引子以來(lái)，Lorenz系統(tǒng)就被作為第一個(gè)研究混沌的物理和數(shù)學(xué)模型，成為后人研究混沌理論的出發(fā)點(diǎn)和基石.在過(guò)去的幾十年里，混沌控制與同步的理論在一些工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，如圖像加密，保密通信和信息工程等，顯示出了重要的應(yīng)用價(jià)值[1-2]，所以對(duì)混沌控制與同步的理論研究已成為非線性控制理論研究的熱點(diǎn)之一.由于混沌系統(tǒng)對(duì)初值極其敏感性，所以長(zhǎng)期以來(lái)人們認(rèn)為混沌系統(tǒng)是不可控制的，混沌同步就更加難以實(shí)現(xiàn).自從Pecora和Carroll[3]在1990年利用電路實(shí)現(xiàn)混沌同步以來(lái)，混沌同步受到了各個(gè)領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注.隨著混沌控制與同步研究的不斷深入，如廣義同步、完全同步、耦合同步和超混沌系統(tǒng)同步方案[4-7]，近來(lái)又提出了混沌系統(tǒng)的反同步[8]等.

目前對(duì)于混沌控制與同步研究方法很多，但是對(duì)于超系統(tǒng)之間的同步與反同步研究相對(duì)較少，在實(shí)際應(yīng)用中特別是兩個(gè)超混沌系統(tǒng)的同步與反同步容易應(yīng)用于安全通信中，因此考慮兩個(gè)超混沌系統(tǒng)的同步與反同步更具有重要的實(shí)用價(jià)值.本文利用Lyapunov的理論設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制器，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)超混沌系統(tǒng)的同步與反同步，并利用matlab工具進(jìn)行了數(shù)值仿真，驗(yàn)證了其有效性.

1 系統(tǒng)模型

最近，T.Wang等人研究了一類新的四維超混沌系統(tǒng)[8]，系統(tǒng)如下：

這里x1,x2,x3和x4為變量，a,b,c,d為參數(shù).當(dāng)a=2.1,b=0.6,c=30,d=0.7時(shí)，（1）為超混沌系統(tǒng).圖1為超混沌系統(tǒng)（1）的吸引子.

圖1 當(dāng)a=2.1,b=0.6,c=30,d=0.7時(shí)超混沌系統(tǒng)（1）的吸引子

2 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步及數(shù)值仿真

將系統(tǒng)（1）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，相應(yīng)地響應(yīng)系統(tǒng)為：

此處ui(i=1,2,3,4)為控制器.令系統(tǒng)（1）與系統(tǒng)（2）的同步誤差為：

我們構(gòu)建Lyapunov函數(shù)為：

故

此時(shí)若取

即在控制器（7）的作用下，兩個(gè)超混沌系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列可以達(dá)到同步.采用Runge-Kutta方法模擬，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)初值選為：x1(0)=100,x2(0)=5，x3(0)=100,x4(0)=-10，y1(0)=30,y2(0)=20,y3(0)=20,y4(0) =8，數(shù)值模擬得誤差隨時(shí)間變化如圖2所示.由圖2可見(jiàn)，e1,e2,e3,e4很快趨于0，系統(tǒng)達(dá)到了同步.

圖2 系統(tǒng)（1）與（2）對(duì)應(yīng)時(shí)間序列同步誤差曲線

3 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的反同步及數(shù)值仿真

仍然將系統(tǒng)（1）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，（2）為響應(yīng)系統(tǒng)，令系統(tǒng)（1）與系統(tǒng)（2）的同步誤差為：

構(gòu)建（5）式的Lyapunov函數(shù)，則

即在控制器（10）的作用下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）與響應(yīng)系統(tǒng)（2）達(dá)到了反同步.采用四階Runge-Kutta方法模擬，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)初值選為：x1(0)=-10,x2(0)=-5，x3(0)=10,x4(0)=-10，y1(0)=21,y2(0)=20,y3(0)= 8,y4(0)=-9，數(shù)值模擬得誤差隨時(shí)間變化如圖3所示.由圖3可見(jiàn)，e1,e2,e3,e4很快趨于0，系統(tǒng)達(dá)到了同步.

圖3 系統(tǒng)（1）與（2）對(duì)應(yīng)時(shí)間序列反同步誤差曲線

4 結(jié)論

本文首先介紹了混沌及同步方法的內(nèi)容，然后主要利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，根據(jù)實(shí)際情況設(shè)計(jì)了適當(dāng)?shù)目刂破?，?duì)一類新的四維超混沌系統(tǒng)[9]與其對(duì)應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)間序列同步與反同步進(jìn)行了研究，并利用matlab等工具進(jìn)行了數(shù)值仿真，驗(yàn)證了其可行性與有效性.由于該方法設(shè)計(jì)的控制器比較簡(jiǎn)單，因而在實(shí)際工程應(yīng)用中更容易實(shí)現(xiàn)，具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

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Synchronization and Anti-synchronization in a Class of New Hyper-chaotic System

ZHANG Shu-lai
(School of Statistics and Mathematics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

In this paper,the definition of chaos is introduced,and these methods of chaotic synchronization are recommended.Then,as an example of a class of new hyper-chaotic system,chaos synchronization and anti-synchronization of the drive system and the slave system are investigated.With the Lyapunov stability theory,the controller is constructed analytically to synchronize and anti-synchronize them.The numerical simulation results show that the proposed scheme is effective.

TP273；O415.5

A

1008-2794（2012）10-0032-05

2012-09-11

常熟理工學(xué)院青年教師科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目“一類混沌系統(tǒng)的控制與同步”（QZ1204）

張樹(shù)來(lái)（1978—），男，山東臨沂人，講師，碩士，研究方向：混沌動(dòng)力學(xué)．

Key words:hyper-chaotic system;Lyapunov function;synchronization;anti-synchronization