郭 龍， 李 煒， 蔡 勖

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，武漢 430074；2.華中師范大學(xué)粒子物理研究所，武漢 430079；3.華中師范大學(xué)復(fù)雜科學(xué)中心，武漢430079）

人類社會(huì)是一個(gè)復(fù)雜的多組分系統(tǒng)，其最基本的組元不是粒子而是一個(gè)個(gè)具有思想的人，每一個(gè)個(gè)體都與其有限的同伴而不是系統(tǒng)中所有的個(gè)體發(fā)生相互作用，例如說服和被說服，合作出演一部電影等.由于人們不可能詳細(xì)知道人類社會(huì)中每一個(gè)個(gè)體的基本運(yùn)動(dòng)方程.因此，對(duì)人類社會(huì)現(xiàn)象的基本原理探究和數(shù)學(xué)協(xié)同學(xué)運(yùn)算就存在很大的挑戰(zhàn).盡管如此，人類社會(huì)還是具有極好的宏觀性質(zhì).社會(huì)現(xiàn)象中無序向有序的轉(zhuǎn)化，例如語言和文化的自發(fā)形成以及輿情一致態(tài)（即系統(tǒng)中所有個(gè)體都持有相同的輿情值）的涌現(xiàn)等.這些宏觀性質(zhì)要求統(tǒng)計(jì)物理方法和思想在社會(huì)中的應(yīng)用.實(shí)現(xiàn)社會(huì)分析的量化，促使自然科學(xué)和人文科學(xué)的交叉融合.

自從17世紀(jì)“政治算術(shù)”和人口性別“誤差曲線”的提出［1］，人們開始追尋用像物理學(xué)定理一樣來描述社會(huì)現(xiàn)象，揭示社會(huì)現(xiàn)象背后的物理和社會(huì)規(guī)律.直到19世紀(jì)30年代，“社會(huì)物理學(xué)”才被首次提出，而將社會(huì)物理學(xué)分為“社會(huì)靜力學(xué)”和“社會(huì)動(dòng)力學(xué)”.人們試圖從物質(zhì)世界的量化到社會(huì)系統(tǒng)中的量化的類比研究中去解釋“為什么人類行為如同粒子運(yùn)動(dòng)一樣”，以及從微觀角度的隨機(jī)性和無序性來揭示社會(huì)宏觀現(xiàn)象等一系列社會(huì)問題.

直到19世紀(jì)70年代，社會(huì)動(dòng)力學(xué)才被物理學(xué)家廣泛關(guān)注.社會(huì)物理學(xué)致力于用統(tǒng)計(jì)物理學(xué)方法和思想，對(duì)真實(shí)社會(huì)系統(tǒng)進(jìn)行研究，尋找社會(huì)系統(tǒng)的拓?fù)涮匦?，從而模擬分析宏觀社會(huì)現(xiàn)象涌現(xiàn)的微觀機(jī)制.人們從微觀角度社會(huì)個(gè)體之間的相互作用的隨機(jī)性和無序性來模擬研究大尺度的社會(huì)現(xiàn)象.例如輿情動(dòng)力學(xué)形成和演化、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)上傳播行為動(dòng)力學(xué)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行與安全的普適規(guī)律以及人類行為動(dòng)力學(xué).

從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)角度來研究社會(huì)動(dòng)力學(xué)時(shí)，一般需要知道如何描述系統(tǒng)中個(gè)體的行為.整個(gè)系統(tǒng)的宏觀行為并不是這些個(gè)體的動(dòng)力學(xué)行為的簡單累積，而是依賴于系統(tǒng)中個(gè)體之間的相互作用，即社會(huì)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).然而社會(huì)系統(tǒng)中的個(gè)體不同于物理中基本粒子，他們是智能個(gè)體，他們的行為受到復(fù)雜的心理和生理過程的影響，不可能十分精確地了解個(gè)體的動(dòng)力學(xué)行為，甚至包含個(gè)體之間的相互作用.因此，對(duì)社會(huì)現(xiàn)象的模擬描述不能面面俱到，否則，問題的極端復(fù)雜性將迫使人們束手無策.在對(duì)社會(huì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模擬研究時(shí)就會(huì)碰到兩個(gè)困難：一是模型構(gòu)造的仿真程度，二是構(gòu)造模型的微觀行為所導(dǎo)致的宏觀現(xiàn)象的涌現(xiàn)機(jī)制.

隨著統(tǒng)計(jì)物理的發(fā)展，它為物理學(xué)家研究社會(huì)現(xiàn)象提供了可能.因?yàn)榇蟪叨认律鐣?huì)現(xiàn)象一般不依賴于社會(huì)系統(tǒng)中個(gè)體的微觀行為.另外，系統(tǒng)宏觀呈現(xiàn)出來的對(duì)稱性、標(biāo)度率以及守恒律等是系統(tǒng)個(gè)體微觀行為相互作用的結(jié)果.因此，在對(duì)社會(huì)系統(tǒng)的模型描述時(shí)，需要對(duì)某一社會(huì)現(xiàn)象的最簡單的個(gè)體行為以及重要屬性進(jìn)行準(zhǔn)確描述，進(jìn)而研究社會(huì)系統(tǒng)中某一特殊現(xiàn)象的涌現(xiàn)行為.這就要求對(duì)社會(huì)系統(tǒng)的實(shí)證研究結(jié)果進(jìn)行分析比對(duì).

1 社會(huì)網(wǎng)絡(luò)

社會(huì)網(wǎng)絡(luò)是由個(gè)人或社會(huì)組織通過一定的相互作用關(guān)系而形成的一種網(wǎng)絡(luò)［2－3］.在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，個(gè)人或社會(huì)組織稱為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，而網(wǎng)絡(luò)中的邊體現(xiàn)在人與人之間或社會(huì)組織之間的相互作用關(guān)系.這種相互作用關(guān)系的方式是多樣的，例如：人與人之間的朋友關(guān)系［4］，企業(yè)之間的商業(yè)來往關(guān)系［5］、家庭之間的聯(lián)姻關(guān)系［6］、科學(xué)家之間的合作關(guān)系等［7－8］.

關(guān)于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的量化研究可以追溯到20世紀(jì)20年代.關(guān)于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的早期研究有：1926年Wellman研究了小學(xué)生朋友關(guān)系網(wǎng)［9］；1936年Davis及其合作者研究了南美婦女社交網(wǎng)絡(luò)［10］；以及在20世紀(jì)30年代Mayo關(guān)于工廠工人社會(huì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的研究［11］.Rapoport是第一個(gè)用數(shù)學(xué)模型來模擬和研究社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的科學(xué)家，他首次在網(wǎng)絡(luò)研究中引入了節(jié)點(diǎn)度分布的概念［10］.近年來，商業(yè)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)以及性關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的研究也得到了一定程度的關(guān)注.

一個(gè)關(guān)于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)驗(yàn)是著名的Milgram“小世界”實(shí)驗(yàn)［12－13］.在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，要求志愿者把信交給自己所認(rèn)識(shí)的一個(gè)人，并且他認(rèn)為通過這個(gè)人這封信可以經(jīng)過盡可能少的傳遞次數(shù)最后轉(zhuǎn)交到給定對(duì)象的手上.盡管大部分信件在傳遞過程中丟失，還是有四分之一的信件被傳遞到給定對(duì)象的手中.通過對(duì)這些成功傳遞的信件分析，這些信件從開始寄出到最后被傳遞到給定對(duì)象手中平均需要6個(gè)人的協(xié)助才能完成.這就是著名的“六度分離”的起源實(shí)驗(yàn)，盡管這個(gè)概念直到幾十年后才被Guare提出來［14］.

社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的傳統(tǒng)研究往往會(huì)碰到不精確、主觀因素以及小樣本等因素的影響.為了避免這些因素，許多研究者利用其它方法來研究社會(huì)網(wǎng)絡(luò).其中一個(gè)有豐富而又相對(duì)可靠的數(shù)據(jù)庫的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)就是合作關(guān)系網(wǎng).在這些合作關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，合作的個(gè)體可以屬于同一個(gè)團(tuán)體也可以屬于不同的團(tuán)體，但是這些個(gè)體之間的合作關(guān)系卻是同一種合作關(guān)系.例如電影合作網(wǎng)絡(luò)中，演員可以具有不同的國籍，但是他們之間合作卻是出演在同一部電影中.關(guān)于電影演員合作網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)庫來自在線網(wǎng)絡(luò)電影數(shù)據(jù)庫（http：／／www.imdb.com／）.在電影演員合作網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)就是出演電影的演員，而兩個(gè)演員之間如果存在一條邊表示這兩個(gè)演員合作出演同一部電影.另一個(gè)著名的合作網(wǎng)絡(luò)就是科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò).在科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)中，科學(xué)家表示節(jié)點(diǎn)，而如果表示科學(xué)家的節(jié)點(diǎn)之間存在一條邊則表示這兩個(gè)科學(xué)家合作完成一篇論文.Newman研究了4個(gè)科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)［7－8］，其中包括物理科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)、生物醫(yī)學(xué)科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)、高能物理科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)以及計(jì)算機(jī)科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò).Barabási及其合作者研究了數(shù)學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)和神經(jīng)科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)［15］.

另一個(gè)具有可靠數(shù)據(jù)庫的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)就是人們之間的個(gè)人交往網(wǎng)絡(luò).例如，可以構(gòu)建一個(gè)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)，其中節(jié)點(diǎn)之間的連線表示人與人之間的郵件來往關(guān)系.Newman等對(duì)郵件網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了研究［16］.Barabási等通過分析個(gè)人郵件網(wǎng)絡(luò)來分析研究人類行為動(dòng)力學(xué)［17－22］.國內(nèi)中科大汪秉宏小組研究了人類城市出行的回轉(zhuǎn)半徑［23］以及人類空間運(yùn)動(dòng)的層次性模型［24］.

大量實(shí)證分析表明：真實(shí)社會(huì)系統(tǒng)具有其特有的特性，例如小世界特性、節(jié)點(diǎn)度分布的無標(biāo)度性和社團(tuán)結(jié)構(gòu).一個(gè)顯而易見的問題：這些拓?fù)涮匦缘漠a(chǎn)生機(jī)制是什么，這些拓?fù)涮匦匀绾斡绊懓l(fā)生在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，例如疾病的傳播、輿情的形成和演化等.本文將目光聚焦在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的輿情動(dòng)力學(xué)方向，對(duì)前人的工作進(jìn)行簡要的概述，以期能為初學(xué)者提供基本的參考和幫助.

2 輿情模型（opinion models）

達(dá)成協(xié)議是社會(huì)系統(tǒng)中最重要的活動(dòng)之一［25］.在日常生活中會(huì)碰到各種各樣的問題，這就需要與周圍的小團(tuán)體達(dá)成協(xié)議，例如觀點(diǎn)、觀念、行為甚至是意識(shí)形態(tài)等等，統(tǒng)稱為輿情（opinion）.達(dá)成協(xié)議能促使其更強(qiáng)，進(jìn)而增強(qiáng)其在社會(huì)中的地位和影響力［25］.社會(huì)系統(tǒng)中人們之間相互作用相互影響的復(fù)雜性決定了人們達(dá)成協(xié)議與否的動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性.統(tǒng)計(jì)物理學(xué)家利用輿情動(dòng)力學(xué)模型來定義社會(huì)系統(tǒng)中個(gè)體的輿情值以及個(gè)體之間的相互作用的基本過程.在數(shù)學(xué)模型中，輿情值往往是一個(gè)變量集，每一個(gè)個(gè)體的輿情值只能取變量集中的元素.變量集中的元素可以是離散的也可以是連續(xù)的.這樣，面臨的挑戰(zhàn)就是如何構(gòu)造足夠的數(shù)學(xué)規(guī)則來描述系統(tǒng)中個(gè)體之間的相互影響和系統(tǒng)輿情值的演化.目前，較著名的輿情模型有：選舉模型，Sznajd模型和Deffuant模型.

2.1 選舉模型（voter model）

選舉模型最早由Clifford和Sudbury在考慮物種競爭中提出來的.選舉模型規(guī)則：首先，系統(tǒng)中每一個(gè)個(gè)體都賦予一個(gè)二進(jìn)制變量s＝±1做為其輿情值；然后，每一演化步，個(gè)體i從它的鄰居中選擇一個(gè)鄰居j并改變自己的輿情值而采用其所選鄰居的輿情值sj.系統(tǒng)中個(gè)體輿情的效仿來自其鄰居的壓力.在選舉模型中，個(gè)體只受到其所選擇的一個(gè)鄰居的影響而具有較大的漲落.早期，人們研究了規(guī)則格子上的選舉模型，例如二維格子上演化成具有相同輿情值中心團(tuán)增長而邊緣蓬亂的斑圖.

在規(guī)則格子上，選舉模型可以精確地映射為隨機(jī)行走模型，個(gè)體選擇其一個(gè)鄰居并采用其輿情值，猶如隨機(jī)行走者被隨機(jī)引導(dǎo).因此，可以利用隨機(jī)行走理論來研究選舉模型.在d維格子中，每一個(gè)格點(diǎn)代表一個(gè)具體的個(gè)體.用集合S＝｛si｝表示系統(tǒng)的狀態(tài)，其中si表示第i個(gè)格點(diǎn)的輿情值.然后，給出格點(diǎn)的輿情值發(fā)生反轉(zhuǎn)的躍變概率Wk（S）＝W（sk→－sk）［26］，給出概率分布函數(shù)P（S）滿足的主方程.從主方程中可知任意階的關(guān)聯(lián)函數(shù)都是收斂的，即它們不依賴于更高階的函數(shù).因此，關(guān)聯(lián)函數(shù)是可解的［27］.許多學(xué)者分析研究了一階關(guān)聯(lián)函數(shù)和二階關(guān)聯(lián)函數(shù)，得到有意義的結(jié)果［27－28］.在完全圖中，磁化強(qiáng)度幾率分布的?？耍绽士朔匠叹哂信c一維含位置依賴的擴(kuò)散參數(shù)的擴(kuò)散方程一樣的形式［29］.因此，可以給出解析解.對(duì)于任意初始的磁化強(qiáng)度，有限系統(tǒng)達(dá)到一致相（即系統(tǒng)中所有節(jié)點(diǎn)擁有相同的輿情值）的平均時(shí)間可以精確計(jì)算，且與系統(tǒng)的大小N成比例.

實(shí)證研究表明，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度分布滿足冪律分布，即網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度的差異性很大，例如節(jié)點(diǎn)的活躍性、節(jié)點(diǎn)的影響力等，稱之為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的異質(zhì)性（heterogeneous）.近年來，許多學(xué)者研究了網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性對(duì)選舉輿情演化的影響［30－34］以及小世界網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)選舉模型演化的影響［35－36］.例如，Sood和Redner研究了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的選舉模型，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)達(dá)到一致相的平均時(shí)間TN與節(jié)點(diǎn)度分布指數(shù)γ滿足N（2γ－4）／（γ－1）［30］.Yang等［37］提出了非線性選舉模型，其中節(jié)點(diǎn)按照一定的概率采納輿情值，其采用＋1的概率函數(shù)為p＋＝n＋a／（n＋a＋n－a），采用－1的概率為p－＝1－p＋，其中n＋a和n－a分別為節(jié)點(diǎn)及其鄰居中持有＋1和－1的個(gè)數(shù)，α為可調(diào)參數(shù).然后再規(guī)則格子和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上研究了非線性選舉模型的達(dá)到一致相的時(shí)間與可調(diào)參數(shù)α之間的關(guān)系.

2.2 Sznajd模型

社會(huì)影響理論（social impact theory）是社會(huì)心理學(xué)中一個(gè)重要的理論.它描述了社會(huì)中個(gè)體如何受其同伴的影響以及它又如何影響其同伴.社會(huì)團(tuán)體影響力的大小取決于社會(huì)團(tuán)體中個(gè)體數(shù)量、個(gè)體或團(tuán)體的說服力以及團(tuán)體與被影響個(gè)體之間的距離.這一距離可以使空間距離表現(xiàn)為抽象空間中個(gè)體之間關(guān)系的親疏性.Sznajd模型［38］就是基于這一原理提出來的.這里，以一維環(huán)為例闡述Sznajd模型的演化規(guī)則.由N個(gè)個(gè)體相連圍成一維的環(huán)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都與其左右鄰居相連.si表示節(jié)點(diǎn)i的輿情值，且si是二進(jìn)制變量±1表示節(jié)點(diǎn)i對(duì)某一事物的態(tài)度.每一時(shí)間演化步，隨機(jī)選擇兩個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)作為說服者，例如節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)（i＋1）.他們將根據(jù)其輿情值來說服其鄰居（i－1）和（i＋2）改變他們的輿情值，其說服規(guī)則為

其中，規(guī)則（1）是鐵磁規(guī)則，規(guī)則（2）是反鐵磁規(guī)則.因此，如果說服者具有相同的輿情值，他們將成功說服其鄰居采用與之相同的輿情值；反之，兩個(gè)說服者分別說服對(duì)方的鄰居采用與之相同的輿情值，從而瓦解對(duì)方.這就是所謂的“和則成，離則敗”（united we stand，divided we fall）.

許多學(xué)者模擬研究了不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上的Sznajd模型，以及改進(jìn)Sznajd模型演化動(dòng)力學(xué)［29，39－50］.研究了小世界網(wǎng)絡(luò)上的Sznajd模型，發(fā)現(xiàn)長程連接具有增強(qiáng)系統(tǒng)創(chuàng)成關(guān)聯(lián)的作用，從而促使系統(tǒng)演化到一致相［51］.一些學(xué)者利用統(tǒng)計(jì)物理方法對(duì)Sznajd模型進(jìn)行理論分析.Slanina等研究了完全圖中類Sznajd模型的精確解［30］.Sznajd等給出了Sznajd模型演化動(dòng)力學(xué)的合理的哈密頓形式［52－54］.

Sznajd模型被廣泛應(yīng)用到不同領(lǐng)域，可用來描述政治競選行為［43，46］.被選舉者的支持者分布滿足冪律關(guān)系P（n）～1／n，其中P（n）表示被選舉者有n個(gè)支持者的概率.它也可用描述個(gè)人傾向之間的相互作用與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)之間的關(guān)系，以及開放市場中不同產(chǎn)品之間的競爭行為［55］和不同團(tuán)體之間的輿情傳播行為［56］.

2.3 Deffuant模型

前文提到的選舉模型和Sznajd模型是特殊的離散輿情動(dòng)力學(xué)模型.然而，在某些情況下，人們對(duì)某一事物的輿情值是可以從一個(gè)極端向另一個(gè)極端連續(xù)變化的［25］.例如，一個(gè)人對(duì)某一事物的關(guān)注程度，例如教育，它不僅僅局限于“非此即彼”而是可以處于這兩者之間的某一取向.在日常生活中，人們之間的依據(jù)其輿情值的不同區(qū)分出親疏關(guān)系.并不是任何人之間都可以信息交流，人們對(duì)與其交流有一定的信任范圍，稱之為有限信任（bounded confidence）原理.在模型中，用一個(gè)實(shí)數(shù)ε來表示有限信任原理，稱之為信任參數(shù).兩人之間的輿情值差異如果小于ε，他們將協(xié)商各自做出讓步向著對(duì)方輿情值的方向改變自己的輿情值.反之，什么也不做.其中，Deffuant模型就是一個(gè)典型的連續(xù)輿情模型［57］.

考慮含有N個(gè)個(gè)體的群體.用含有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)來描述這個(gè)群體，其中節(jié)點(diǎn)表示群體中的個(gè)體，而節(jié)點(diǎn)之間的邊表示這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)將會(huì)相互彼此影響.起始，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)i都隨機(jī)地從［0，1］中選擇一個(gè)數(shù)作為此節(jié)點(diǎn)的輿情值si.每一演化步，隨機(jī)地選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)和這個(gè)節(jié)點(diǎn)的一個(gè)鄰居.假設(shè)在t時(shí)刻選中了一對(duì)鄰居節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j，它們的輿情值分別為si（t）和sj（t）.Deffuant模型的演化規(guī)則為：如果｜si（t）－sj（t）｜＞ε節(jié)點(diǎn)i和j什么也不做；如果｜si（t）－sj（t）｜＜ε，他們將協(xié)商各自做出讓步，向著對(duì)方輿情值的方向改變自己的輿情值，即

其中，μ∈［0，0.5］為收斂參數(shù)，它反應(yīng)了兩節(jié)點(diǎn)的輿情值各自向?qū)Ψ捷浨橹档姆较蚋淖兊拇笮?如果μ＝0.5，兩節(jié)點(diǎn)協(xié)商后采用的輿情值相同且等于他們商談前輿情值的平均值，即si（t＋1）＝sj（t＋1）＝si（t）＋sj（t）／2.因此，Deffuant模型的演化基于妥協(xié)原理.無論ε和μ取何值，系統(tǒng)的平均輿情值都為1／2，其在Deffuant模型中是不變的.

Deffuant模型的演化依賴于輿情空間邊界處的不穩(wěn)定性.輿情傳播的不穩(wěn)定性將促使系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)的輿情值之差拉大，從而形成具有不同輿情值的子團(tuán)體.一旦不同團(tuán)體之間的輿情值的差距就會(huì)被拉開從而大于ε.最后，系統(tǒng)演化成一系列的δ函數(shù).通常而言，子團(tuán)體中節(jié)點(diǎn)的數(shù)目與信任參數(shù)有關(guān)，而μ影響系統(tǒng)演化的收斂時(shí)間.然而，當(dāng)μ很小時(shí)，子團(tuán)體構(gòu)型也會(huì)受到μ的影響［58］.在完全圖、規(guī)則圖、隨機(jī)圖和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)ε＞εc＝0.5，系統(tǒng)中所有的節(jié)點(diǎn)擁有一樣的輿情值s＝0.5.稱之為一致相［59－60］，與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)無關(guān).當(dāng)ε＜εc時(shí)，系統(tǒng)中出現(xiàn)多個(gè)具有明顯輿情值差異的子團(tuán)體，其中每個(gè)子團(tuán)體中的節(jié)點(diǎn)具有相同的輿情值.

蒙特卡洛模擬顯示系統(tǒng)最終演化成不同子團(tuán)體的數(shù)目nc近似滿足表達(dá)式1／2ε［25］.不同子團(tuán)體的節(jié)點(diǎn)之間的輿情值相差至少一個(gè)信任參數(shù)，他們之間不能發(fā)生相互作用.因此，在相差兩個(gè)信任參數(shù)的子團(tuán)體中間不會(huì)存在另一個(gè)子團(tuán)體，所以比率1／2ε可以準(zhǔn)確地確定nc.關(guān)于Deffuant模型的大部分結(jié)果都是通過模擬得到的.然而，在特殊情況下，一些學(xué)者理論分析了Deffuant模型演化動(dòng)力學(xué)，例如，Ben－Naim利用幾率方程描述了完全圖中的Deffuant模型動(dòng)力學(xué)［61］.

受到Deffuant模型的啟發(fā)，大量學(xué)者研究了改進(jìn)的Deffuant模型.這些模型都各有側(cè)重地研究了社會(huì)系統(tǒng)中某些現(xiàn)象和特性.Lorenz等考慮了個(gè)體信任參數(shù)ε的差異性［62－66］；Ben－Naim考慮了系統(tǒng)中個(gè)體對(duì)其opinion的自發(fā)改變［67］；Carletti及其合作者考慮了外在周期擾動(dòng)對(duì)個(gè)體的影響［68］；以及我們考慮了個(gè)體收斂參數(shù)μ的差異性［69］.

3 總結(jié)與討論

以上扼要介紹了3種著名的輿情演化動(dòng)力學(xué)模型，以及前人在規(guī)則格子和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上開展的一些工作，旨在期望能為初學(xué)者提供一定的參考和幫助.對(duì)社會(huì)系統(tǒng)上輿情動(dòng)力學(xué)的研究目前仍主要處于模擬研究階段，其理論分析仍面臨著巨大的挑戰(zhàn).第一，在理論物理中，系統(tǒng)遵循的基本原理是最小作用量原理，那么在社會(huì)系統(tǒng)中人類行為遵循什么樣的基本原理，羊群效應(yīng)還是個(gè)人收益最大還是其它，以往模型中往往只能考慮其中一個(gè)對(duì)社會(huì)輿情動(dòng)力學(xué)的影響，比如多數(shù)模型（Majority－rule model）考慮的是羊群效應(yīng).尋找人類社會(huì)系統(tǒng)中遵循的基本原理仍是一個(gè)重要的研究方向，如研究人類行為動(dòng)力學(xué)，國內(nèi)的中國科技大學(xué)和上海理工大學(xué)在這方面做了大量的研究工作.第二，在互聯(lián)網(wǎng)發(fā)達(dá)的今天，輿情演化似乎可以擺脫地域的限制，但是人類活動(dòng)的局域頻繁性和全局隨機(jī)性將導(dǎo)致真實(shí)空間網(wǎng)絡(luò)中輿情傳播的研究的必要性.第三，媒體網(wǎng)絡(luò)化和互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展對(duì)輿情演化產(chǎn)生了重要的影響，例如藥家鑫事件，媒體的這種外在屬性在社會(huì)系統(tǒng)的輿情演化中扮演怎樣的角色.第四，社會(huì)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)耗散系統(tǒng)和多樣性系統(tǒng)，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)又是如何與輿情動(dòng)力學(xué)相互耦合進(jìn)行演化的.這些問題的探討有助于進(jìn)一步理解社會(huì)復(fù)雜系統(tǒng)，為輿情的防控提供一定的理論依據(jù).

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