林文賢

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東潮州 521041）

1 引言

為了統(tǒng)一微分和差分，1988年德國學(xué)者Stefan Hilger在他的博士論文[1,2]中首次提出了測度鏈微積分（The calculus of measure chains）.他的博士導(dǎo)師Bernd Aulbach教授指出，這種新的微積分有三個主要目的：統(tǒng)一、推廣和離散化（Unification-Extension-Discretization）.而對于許多情況，只需考慮測度鏈（measure chains）的一種情形——時標（Time Scale）.一個時標指的是實數(shù)集?的任一非空閉子集，它具有由?誘導(dǎo)的拓撲以及?中的順序關(guān)系，通常用記號T表示.對于定義在T上的函數(shù) y，考慮其上的所謂 Δ-導(dǎo)數(shù) yΔ和n階時標動力方程（Dynamic Equations on Time Scale）f(t,y,yΔ,yΔΔ,…,yΔn)=0.當T=?為實數(shù)集時，這種導(dǎo)數(shù) yΔ是通常的導(dǎo)數(shù)y′，這些動力方程即是微分方程；而當T=?為整數(shù)集時，這種導(dǎo)數(shù)yΔ是通常的前差分Δy（the forward difference）這些動力方程則是差分方程.特別重要的是，除了T=?和T=?外，還有許多十分有趣的其它形式的時標，如T=q?:={qk|k∈?}?{0}，其中 q＞1；T=h?:={hk|k∈?}，其中 h＞0；其中a,b＞0；T={tk|k∈?}，其中對所有k∈?有tk∈R且tk＜tk+1.

這些時標給我們提供廣泛的應(yīng)用空間.需要強調(diào)的是：盡管微分方程和差分方程有許多類似的結(jié)果，但仍然存在大量本質(zhì)上完全不同的性質(zhì)和結(jié)論.

對時標理論（The theory of time scale）的研究，既是數(shù)學(xué)理論自身發(fā)展的需要，也是實際問題的需要.時標理論的研究不僅能把微分方程理論和差分方程理論很好地結(jié)合在一起，而且所有結(jié)果比微分方程和差分方程理論的更為廣泛，它能夠把這些古典情形擴充到“兩者之間”，例如擴充到所謂的q-差分方程（在量子理論方面有重要的應(yīng)用）.由于實際模型所對應(yīng)的時標動力方程可解決把停止——開始行為和連續(xù)行為結(jié)合在一起的問題，因此計算機網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)、工程技術(shù)、物理等領(lǐng)域的許多現(xiàn)象用時標動力方程來描述，更能揭示其本質(zhì)屬性.譬如，利用這一理論建立的昆蟲種群模型和電網(wǎng)模型更符合實際[3,4].

文獻[5]中稱“這種時標動力方程是更能反映現(xiàn)實世界的方程式”.

近十幾年來，對時標上動力方程的振動性和非振動性理論的研究已經(jīng)得到國內(nèi)外許多學(xué)者的極大關(guān)注，發(fā)展迅速，取得了大量的成果[6-18].

本文將考慮如下的一類二階非線性變時滯中立型時標動力方程

其中自變量t在時標T上變化.這里sup T=∞且h(t)→∞(t→∞).

在T上本文定義了前跳算子 σ(t):=inf{s∈T:s＞t}和后跳算子 ρ(t):=inf{s∈T:s＜t}.對于函數(shù)f:T→?，我們說 fΔ(t)是 f在t∈T處的Δ-微分，如果

存在（此處 fΔ(t)要求t∈Tk:=T{m}，如果m存在，其中m是指T的最大孤立點），并且對任意的ε＞0，存在U=(t-δ,t+δ)?T 使得

對所有t∈T成立. f的Δ-微分與其步差算子 μ(t)?σ(t)-t之間存在著重要關(guān)系 fσ=f+μfΔ，其中fσ=f°σ.對任意的兩個Δ-微分的函數(shù) f和g，其乘積與商的Δ-微分分別為

不妨設(shè)Crd(T,S)是表示T上的所有右稠連續(xù)函數(shù) f:T→S??的一個集合.稱 f在t∈T上是右稠連續(xù)的，如果 f在所有右稠密點連續(xù)（所謂右稠密點是指滿足σ(t)=t的點）且在所有的左稠密點（ρ(t)=t）和右發(fā)散點（σ(t)＞t）的左極限存在.文獻[3]表明右稠密點連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).其Cauchy積分由 ∫abfΔ(t)Δt=f(b)-f(a)定義，其中 t∈T.如果 a∈T,sup T=∞且 f是[a,∞)上的右稠連續(xù)函數(shù)，則可定義廣義積分如下如果極限存在，稱廣義積分是收斂的，如果極限不存在，則稱廣義積分是發(fā)散的.當a,b∈T,f,g∈Crd時，有[3]

方程（1）的一個解是指定義在T的區(qū)間[b,∞)上的一個實值函數(shù)x，且在[c,∞)上滿足（1），其中c＞b足夠大使得h(t)≥b,t≥c，稱（1）的一個解x:T→?是（1）的一個最終正解，若存在t0∈T使得x在[t0,∞)是正的.考慮到時標T或許是不連續(xù)的，我們說函數(shù)x:T→?在h∈T有一個一般的零點，如果x(h)=0或者h左發(fā)散的（ρ(h)＜h）且x(h)x(ρ(h))＜0.我們說方程（1）的一個解是振動的，如果對任何r∈T存在一個t∈T滿足t＞r使得x在t有一個一般的零點.

本文的目的是利用廣義Riccati變換、完全平方技巧和參數(shù)函數(shù)而得到時標動力方程（1）的新的振動準則，推廣和包含了文獻[17,18]的結(jié)果，并且在時標上統(tǒng)一了二階中立型微分方程和差分方程解的振動性質(zhì).

2 主要結(jié)果

為方便起見，令

并且，在本文中總假設(shè)：

（a） P,Q,F∈Crd(T,R),τ∈Crd(T,T),且

（b）當t≥t0時,Q(t)非負且不恒為零；

（c） xF(x)≥0且F(x)x≥C(x≠0),其中C為正常數(shù);

（e） h(σ(t))≤σ(h(t)),h(t)≤σ(t).

下面的引理在本文中用到.從（2）式立即可以得到下面第一個引理.

引理1 假設(shè) f和g都是Δ-可微的，則

引理2[17]假設(shè)條件（d）成立，則σ～(h(t))=h(σ(t))，其中指上的前跳算子.

引理3[17]假設(shè)條件（d），(e)成立，如果 yΔΔ≤0,t∈T.令代表=h(T)上的微分，則

引理4 若x(t)是方程（1）的一個非振動解，則有yΔ＞0且yΔΔ(t)≤0,t≥t1.

證明 假設(shè)x(t)是方程（1）的一個非振動解.不失一般性，不妨設(shè)x(t)為一最終正解.即x(t)＞0 ， t≥T0＞t0.由 條 件(a)， 存 在 t1≥T0使 得 y(t)≥x(t)＞0,t≥t1.于 是,存 在 t1≥t?≥t0,使 得從方程(1)可知

因為Q(t)非負且不恒為零,故yΔ(t)最終定號.我們斷言yΔ(t)＞0,t≥t1.否則，存在t2≥t1，使得yΔ(t2)=-β＜0 且 yΔ(t)≤-β ，對每一個 t≥t2成立.故有

而這與“ y(t)＞0,t≥t1”相矛盾.因此有 yΔ＞0 且 yΔΔ(t)≤0,t≥t1.證畢.

證明 假設(shè)x(t)是方程（1）的一個非振動解，不失一般性，不妨設(shè)x(t)最終為正，即存在t1≥t0，使得當t≥t1時有y(t)＞0,x(h(t))＞0（若x(t)最終為負，證明類似）.定義

從（2）式和引理1有

由引理4有 yΔ＞0 且 yΔΔ(t)≤0,t≥t1.由引理3，易知對一切 t≥t1有 y(h(t))≤x(h(σ(t)))且yΔ～(h(t))≥yΔ(h(t))≥yΔ(σ(t)).由 （3） 式有

由(7)和 (c),方程(1)可寫成

根據(jù)條件(d)，（6）和（8）式，可得

對上述的不等式從t1到t(≥t1)積分得

在上式中，讓t→+∞，在上式兩端取上極限，則可知與條件（5）相矛盾.定理1得證.

注1 當P(t)≡0時，定理1就成為文獻[17]的結(jié)論.

定理2 假設(shè)將條件(a)～(e)成立，記

（Ⅰ） H(t,t)=0,t≥t0;在D0上，H(t,s)＞0;

（Ⅱ）H(t,s)在D0上對s連續(xù)且有非正的偏導(dǎo)數(shù).即(t,s)∈Crd(D0,?)，(t,s)≤0;

證明 假設(shè)x(t)是方程（1）的一個非振動解，不失一般性，不妨設(shè)x(t)最終為正 (若x(t)最終為負，證明類似）.仿定理1定義w(t)，則由定理1的證明可以得到(9)式，即

將上式的t用s替換后兩邊同乘以H(t,s)k(s)，積分且由（Ⅲ）得

所以

對于t≥t1由條件（Ⅱ）有

因此

這與（10）矛盾.定理2得證.

注2 當P(t)≡0時，定理2就成為文獻[18]的結(jié)論.

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