王 磊

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧葫蘆島 125105；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院，遼寧阜新 123000）

由于在社會科學(xué)以及工程領(lǐng)域的運動問題研究中模糊性的大量存在，模糊微分方程的研究越來越受到關(guān)注［1－5］。而模糊線性微分系統(tǒng)（模糊微分方程組）的研究則是近幾年被提出的［6］；文獻［7］利用λ－水平截集研究模糊線性微分系統(tǒng)初值問題；文獻［8］從測度論的角度研究了一階模糊線性微分系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu)；文獻［9－10］將λ－水平截集表示成復(fù)數(shù)，從而把模糊線性微分系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成經(jīng)典的常微分線性系統(tǒng)，分別研究了模糊初值和系數(shù)矩陣為模糊矩陣2種情形下系統(tǒng)的解；文獻［11］利用一種新的擴展原理研究了一階微分方程組模糊初值問題；文獻［12］利用特征值和特征向量法研究了由結(jié)構(gòu)元法線性生成的模糊線性微分系統(tǒng)的解析解。

以上方法都是求模糊微分系統(tǒng)的解析解，然而由微分方程理論可知只有少數(shù)的微分系統(tǒng)才有解析解，所以有必要研究模糊微分系統(tǒng)的近似解析解。因此，本文利用結(jié)構(gòu)元方法將模糊微分系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成分明的線性微分系統(tǒng)，進而利用變分迭代法［13－14］給出方程的近似解析解。

1 預(yù)備知識

定義1 設(shè)E為實數(shù)域R上的模糊集，若隸屬函數(shù)E（z），z∈R滿足：①E（0）＝1；②在區(qū)間［－1，0）上E（z）是單增右連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（0，1］上是單降左連續(xù)函數(shù)；③ 當(dāng)－∞＜z＜－1或 1＜z＜＋∞時，E（z）＝0，且E（－z）＝E（z），稱E為R上的對稱模糊結(jié)構(gòu)元［15］。

定理1 設(shè)E是R上的任意模糊結(jié)構(gòu)元，又設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間［－1，1］上是單調(diào)有界的，＾f（t）是f（t）的延拓集值函數(shù)，則＾f（E）是R上有界閉模糊數(shù)，且＾f（E）的隸屬函數(shù)為E（f－1（t）），這里f－1（t）是f（t）關(guān)于變量t和y的輪換對稱函數(shù)（若f（t）是連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)的，則f－1（t）是f（t）的反函數(shù)）［15］。

定義2 設(shè)二元函數(shù)g（t，y）＝f（t）＋ω（t）y，其中f（t）和ω（t）在T?R上有界，且ω（t）非負，易知函數(shù)g（t，y）關(guān)于y在［－1，1］上單調(diào)有界，對于給定的對稱結(jié)構(gòu)元E，稱（1）式為模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成的關(guān)于變量t的模糊值函數(shù)［15］，即

對于給定t∈T，f（t）和ω（t）≥0都為常數(shù)，則（1）式為由模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成的模糊數(shù)。

定理2 設(shè)模糊值函數(shù)~x（t）由對稱模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成，即~x（t）＝f（t）＋ω（t）E，且ω（t）非負，若函數(shù)f（t）和ω（t）可導(dǎo)［15］，則

定理2表明，對于模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成的模糊值函數(shù)~x（t），其導(dǎo)函數(shù)也是由結(jié)構(gòu)元E線性生成的模糊值函數(shù)。

2 模糊線性微分系統(tǒng)的變分迭代法

2.1 線性生成的模糊線性微分系統(tǒng)

線性微分系統(tǒng)：

其中，A＝（aij）n×n∈Rn×n；），…，。

其中，ui（t）、vi（t）為未知函數(shù)，且vi（t）≥0，有

將方程（4）、（5）帶入系統(tǒng)（3），得2個分明的線性微分系統(tǒng)：

和

其中，c＝（c1，c2，…，cn）T；d＝（d1，d2，…，dn）T；A′＝（a′ij）n×n（i，j＝1，2，…，n）；ω（t）＝（ω1（t），ω2（t），…，ωn（t））T；φ（t）＝（φ1（t），φ2（t），…，φn（t））T，且

于是，系統(tǒng)（3）的求解便轉(zhuǎn)化為對分明的線性微分系統(tǒng)（6）和（7）的求解，文獻［12］利用特征值和特征向量法［9］給出了系統(tǒng)（6）和（7）的解。然而，大多數(shù)微分方程往往很難或不可能獲得其解析解，有時即使能求出解析解，也因表達式過于復(fù)雜而不實用，因此下面利用變分迭代法給出系統(tǒng)（6）和（7）的近似解析解。

2.2 分明線性微分系統(tǒng)的變分迭代法

為了說明變分迭代算法［13－15］的基本思想，考慮如下的非線性方程：

其中，L為線性算子；N為非線性算子；g（t）為已知的連續(xù)函數(shù)。利用變分迭代算法的思想為（9）式構(gòu)造一個校正泛函如下：

其中，λ為廣義拉氏乘子，可用變分理論最佳識別；un（t）為初始近似解（可以包含待定常數(shù)或待定函數(shù)）為限制變分量，即＝0。

下面給出如下的一階分明線性微分系統(tǒng)的變分迭代算法：

其中，y（t）＝（y1（t），y2（t），…，yn（t））T；g（t）＝（g1（t），g2（t），…，gn（t））T；B＝（bij）n×n∈Rn×n?？紤]系統(tǒng)（11）的第i個方程：

構(gòu)造校正泛函如下：

其中，yi，n（t）表示第i個方程的第n次近似解。令上述校正泛函取駐值，有

于是，得駐值條件：

由常微分方程理論，廣義拉氏乘子λi可識別為：

于是系統(tǒng)（11）的第i個方程的近似解表示為：

令i＝1，2，…，n，得系統(tǒng)（11）近似解的變分迭代算法的矩陣為：

其中，Λ＝diag［b11，b22，…，bnn］。

于是，根據(jù)算法（18）求得系統(tǒng)（6）和（7）的近似解，進而求得原模糊系統(tǒng)（3）的模糊近似解。

3 算 例

例1 考查如下的模糊線性微分系統(tǒng)：

其中，E為三角模糊結(jié)構(gòu)元。

解 根據(jù)前面討論，系統(tǒng)（19）可轉(zhuǎn)化為：

利用特征值和特征向量法［9］得系統(tǒng)（20）和（21）的解析解為：

于是系統(tǒng)（19）的模糊解為：

根據(jù)（18）式的變分迭代算法，進行6次迭代計算得系統(tǒng)（20）和（21）的近似解為（25）式、（26）式。其中分別表示u1（t）、u2（t）、v1（t）、v2（t）的近似值。

于是系統(tǒng)（19）的模糊近似解為（17）式。

取t∈［0，1］，近似解與精確解的誤差見表1所列。其中，u1（t）與（t）的誤差采用的計算公式為，其余類似。表1中的誤差反映出逼近效果較好。

表1 近似解與精確解的誤差

將t∈［0，1］進行10等分，圖1a給出了近似解＾u1（t）、＾u2（t）和精確解u1（t）、u2（t）的比較，圖1b給出了＾v1（t）、＾v2（t）和v1（t）、v2（t）的比較，反映出逼近效果較好，說明了變分迭代法的有效性。

圖1 例1近似解與精確解比較

例2 考察下面的捕食者－獵物模型［13］：

其中，E為三角模糊結(jié)構(gòu)元。

解 利用特征值和特征向量法［9］得解析解：

由（18）式的變分迭代算法，進行6次迭代計算得近似解為（31）式、（32）式。將t∈［0，1］進行10等分，圖2給出了近似解和精確解的比較，進一步說明了變分迭代法的有效性。

圖2 例2近似解與精確解比較

4 結(jié)束語

本文利用結(jié)構(gòu)元方法將模糊線性微分系統(tǒng)的模糊初值問題轉(zhuǎn)化成同解的分明線性微分系統(tǒng)的值問題，構(gòu)造了求解分明線性微分系統(tǒng)的變分迭代法，給出了模糊線性微分系統(tǒng)的模糊近似解。實際計算中可根據(jù)逼近精度需要選擇迭代次數(shù)。

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