耿潔，劉向東，王亮

(北京理工大學(xué)自動化學(xué)院，北京100081)

0 引言

高超聲速飛行器飛行跨度范圍大，飛行環(huán)境復(fù)雜多變，且飛行器機(jī)身與推進(jìn)系統(tǒng)嚴(yán)重耦合［1］，高速飛行使得此類飛行器對外形和空氣動態(tài)參數(shù)以及大氣條件的變化非常敏感。另外，在高超聲速條件下，風(fēng)洞試驗(yàn)地面設(shè)備不足以及飛行測試的困難，導(dǎo)致其大氣特性和氣動特征難以量測和估計(jì)。以上特點(diǎn)均導(dǎo)致了飛行器模型中存在不確定性，鑒于模型的不確定性對高超聲速飛行器的控制系統(tǒng)具有很強(qiáng)的不利作用，因此，高精度，高魯棒性的控制方法設(shè)計(jì)一直是高超聲速飛行器動態(tài)特性及其控制研究的主要目標(biāo)。

滑?？刂谱鳛橐环N變結(jié)構(gòu)控制方法對滿足匹配條件的外部擾動和參數(shù)不確定性不敏感，是解決高超聲速飛行器控制器設(shè)計(jì)的一個(gè)較好方法。然而，傳統(tǒng)的普通滑模控制存在抖振現(xiàn)象，限制了其發(fā)展與應(yīng)用。目前，已經(jīng)提出了消除滑模控制抖振問題的多種方法。其中比較典型的是邊界層法，即采用連續(xù)的函數(shù)(飽和函數(shù)或sigmoid 函數(shù)等)來替代產(chǎn)生切換控制動作的符號函數(shù)或者不連續(xù)的控制量，但邊界層的引入降低了系統(tǒng)的控制精度。目前采用更多的是動態(tài)滑模方法［2］以及高階滑模方法［3］。動態(tài)滑?；蛘吒唠A滑模能夠產(chǎn)生連續(xù)的控制量以及更高的控制精度，同時(shí)又保留了傳統(tǒng)滑?？刂扑哂械膬?yōu)點(diǎn)，能有效地減少抖振并提高系統(tǒng)的控制精度。

本文針對高超聲速飛行器縱向模型來研究動態(tài)滑模飛行控制器的設(shè)計(jì)問題。

1 高超聲速飛行器縱向動力學(xué)模型

本文采用通用高超聲速飛行器在平穩(wěn)巡航條件下的縱向模型［4］:

式中:v 為速度;γ 為飛行路徑角;h 為高度;α 為攻角;q 為俯仰角速率;m 為飛行器質(zhì)量;ρ 為空氣密度;A 為參考面積;CL、CD、CT分別為升力系數(shù)、阻力系數(shù)、推力系數(shù):CL=0.620 3α，CD=0.645 0α2+0.004 337α + 0.003 772， CT=升力L =0.5ρv2ACL;阻力D=0.5ρv2ACD;推力T=0.5ρv2ACT.

CM(α)、CM(q)、CM(δe)分別是由于攻角、俯仰角速率、升降舵偏角產(chǎn)生的力矩系數(shù):

俯仰力矩:

發(fā)動機(jī)動態(tài)方程采用典型二階系統(tǒng)模型:

式中:β 為發(fā)動機(jī)的節(jié)流閥給定;βc為節(jié)流閥給定的指令信號。

在假定的參數(shù)標(biāo)稱值中加入隨機(jī)變化量來表示參數(shù)的不確定性:

式中，m0，I0，A0，ce0，ρ0分別表示為高超聲速飛行器相關(guān)參數(shù)的標(biāo)稱值。

2 模型線性化處理

在高超聲速飛行器巡航段，期望的飛行器速度和高度分別為vd與hd，速度和高度誤差分別為eV=v－vd，eH=h－h(huán)d.其控制任務(wù)是通過控制輸入升降舵偏轉(zhuǎn)角δe和發(fā)動機(jī)的節(jié)流閥給定βc的調(diào)節(jié)，最終使誤差eV和eH為0，使得飛行器按照設(shè)定的高度和速度巡航飛行。

針對(1)式表示的高超聲速飛行器縱向模型，運(yùn)用全狀態(tài)反饋進(jìn)行輸入/輸出線性化，對輸出飛行速度v 和高度h 分別微分n 次和m 次，直到控制輸入升降舵偏轉(zhuǎn)角δe和發(fā)動機(jī)的節(jié)流閥給定βc出現(xiàn)在微分式子中:

可見，經(jīng)過對v 三次微分和對h 四次微分可以得出控制輸入量。且:

進(jìn)而輸出動力學(xué)方程能夠?qū)懗?/p>

考慮(3)式所示的模型不確定性，由于參數(shù)ρ與s 總是一起出現(xiàn)在飛行器的動態(tài)方程中，因而將這2 個(gè)參數(shù)合并為ρA，從而定義參數(shù)向量p=［ρAce1/m 1/Iyy］，則參數(shù)向量p 的不確定部分相應(yīng)表示為Δp=［ΔρAΔce1/Δm 1/ΔIyy］.

在對飛行速度v 和高度h 用全狀態(tài)反饋進(jìn)行線性化處理過程中，考慮上述參數(shù)不確定性，可得到

ΔWi(Δp)，i=1，2 為不確定參數(shù)的組合。不確定參數(shù)偏離標(biāo)稱值較小，為了簡化計(jì)算，可進(jìn)行在標(biāo)稱值附近的泰勒展開，并且忽略高階項(xiàng)進(jìn)行估算。

因而根據(jù)(6)～(8)式，可將(4)式轉(zhuǎn)化為

式中ΔF0+ΔBU=Δv=(v1v2)T.

假定Δv 有界:|Δvi|≤Ψvi，其中i=1，2.

經(jīng)過以上步驟后，根據(jù)轉(zhuǎn)化后的模型，即(9)式進(jìn)行動態(tài)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)。

3 動態(tài)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

下面具體討論動態(tài)滑模跟蹤控制器設(shè)計(jì)過程，并給出滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)設(shè)計(jì)范圍.控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題主要是選擇矢量［βcδe］T，使速度v 和高度h 跟隨給定的期望值vd與hd.經(jīng)過反饋線性化，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了輸入輸出解耦，可以對速度通道和高度通道分別設(shè)計(jì)控制器。定義傳統(tǒng)滑模面:

式中:S 為滑模面數(shù)組;數(shù)組元素SV、SH分別為速度通道、高度通道的滑模面;滑模斜率λV、λH為正常數(shù)。

對時(shí)間求導(dǎo)可得

式中:ρ1V，ρ2V＞0;ρ1H，ρ2H＞0.這樣就得到了整個(gè)動態(tài)滑?？刂破鞯慕Y(jié)構(gòu)模型。很明顯，輔助變量χ =［χVχH］T可看作是前面定義的2 個(gè)滑模函數(shù)S 和J 的誤差。需要研究的問題就是設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制量來保證輔助滑模函數(shù)J－滑模的存在和收斂。

為了得到滿足滑模函數(shù)有限時(shí)間收斂的控制量，首先，引入引理1［5－6］.

引理1 對于如下(14)式所示微分方程的解及其導(dǎo)數(shù)將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0，

根據(jù)引理1，進(jìn)一步提出定理1 來證明動態(tài)滑?？刂破鞲骰Ｆ矫娴氖諗啃?。

定理1 考慮如(1)式描述的高超聲速縱向模型，設(shè)計(jì)傳統(tǒng)滑模平面(10)式，同時(shí)構(gòu)造輔助滑模平面(13)式，如果動態(tài)滑?？刂坡扇?15)式所示的形式:

式中:ρ3V＞0;ρ3H＞0.同時(shí)控制器參數(shù)滿足(16)～(19)式所示的條件:

整個(gè)證明過程可分為2 步:

1)輔助滑模平面J 的有限時(shí)間收斂性。首先證明JV的有限時(shí)間收斂性，參考(11)式中的表達(dá)式，由于Vd為常數(shù)，所以=0，由于，有界，λV是正常數(shù)，所以，存在正常數(shù)C1，使|2λV+|≤C1.

同時(shí)，關(guān)于輔助滑模平面JV的動態(tài)方程將變成如下形式:

將方程(13)式、(15)式代入(20)式，可得:

所以，

且

比較方程(23)式和(14)式，并根據(jù)引理1，可得到，如果動態(tài)滑?？刂破鲄?shù)滿足(16)～(17)式所示的不等式條件，那么輔助滑模平面JV將在有限時(shí)間tJV內(nèi)收斂到0，即

根據(jù)成都市醫(yī)療廢物處置中心項(xiàng)目二期廠房及擬建停車場規(guī)劃方案，修建二期廠房后邊坡需開挖，受場地用地條件限制，邊坡需采用直立開挖，開挖后形成13m高（P2邊坡）和7m高（P1邊坡）兩個(gè)工程邊坡，P1工程邊坡位于P2工程邊坡上方，距離約22～29m。P1工程邊坡開挖巖土體主要含角礫粉質(zhì)粘土及回填土組成，邊坡可能會沿著基覆交界面的含角礫粉質(zhì)粘土中薄層灰白色夾紫紅色粉質(zhì)粘土剪出；P2工程開挖邊坡主要由風(fēng)化基巖組成，邊坡會沿著層間結(jié)構(gòu)面及層間錯(cuò)動帶等軟弱結(jié)構(gòu)面剪出。

取tJ=max(tJV，tJH)，則J 在有限時(shí)間tJ內(nèi)收斂到0.

2)傳統(tǒng)滑模平面S 的收斂性。當(dāng)經(jīng)過tJ這段時(shí)間后，由于J(t≥tJ)=0，因此，由(12)～(13)式可得

求解上述微分方程，可得

因此，可得出結(jié)論，滑模函數(shù)SV在有限時(shí)間內(nèi)，有v1(t≥tSV)=0，同樣，對 SH，可得到有效收斂時(shí)間 tSH=，取tS= max(tSV，tSH)，至此，我們可以得出結(jié)論:傳統(tǒng)的滑模平面S 以及輔助的滑模平面J 都是有限時(shí)間收斂的。并且輔助滑模平面的收斂速度要大于傳統(tǒng)的滑模平面，即有

［7］給出滑模面J 先于S 收斂的初始條件:

在仿真中取合適的參數(shù)可保證該條件滿足。

證畢。

從上面的證明過程可以看出，動態(tài)滑?？刂破鞯幕Ｆ矫媸欠謨呻A段收斂的，先是輔助滑模平面J 在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0，然后是傳統(tǒng)滑模平面S 再經(jīng)過有限時(shí)間收斂到0.

由上面的定理可知，經(jīng)過時(shí)間tS，S =0 恒成立，解下列微分方程可得到誤差隨時(shí)間的變化規(guī)律:

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

運(yùn)用MATLAB 的Simulink 仿真工具進(jìn)行33 528 m高度和馬赫數(shù)15 的飛行條件下高超聲速飛行器控制仿真實(shí)驗(yàn)，此時(shí)飛行器的平衡狀態(tài)為:v0=4 590.3 m/s，h0=33 528 m，γ0=0°，q0=0° ，α0=2.92°.高超聲速飛行器模型參數(shù)參考文獻(xiàn)［8］.選擇滑模斜率λV=λH=0.3，以及動態(tài)滑模參數(shù)ρ1V=5，ρ2V= 150，ρ3V= 1 000，ρ1H= 5，ρ2H= 150，ρ3H=1 000.初始誤差取eV(0)=－40 m/s，eH(0)=－60 m，JV(0)=－ 3.8，JH(0)=－ 2.0，SV(0)=－3.8，SH(0)=－2.0，滿足(27)式所示條件。

圖1比較了標(biāo)稱模型情況下分別運(yùn)用動態(tài)滑模與普通滑模進(jìn)行控制的仿真結(jié)果。

為了檢驗(yàn)動態(tài)滑模控制器的魯棒性，在標(biāo)稱模型中引入?yún)?shù)不確定性，將普通滑模與動態(tài)滑模的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。仿真中選取飛行器縱向模型的不確定參數(shù)的變化，如(22)式。并將普通滑模與動態(tài)滑模的仿真結(jié)果進(jìn)行比較，如圖2所示。

可看出，對于標(biāo)稱模型，普通滑模與動態(tài)滑模都可以實(shí)現(xiàn)較好的控制，采用動態(tài)滑?？刂破鲿r(shí)響應(yīng)速度有一定程度的提高，當(dāng)模型具有參數(shù)不確定性時(shí)，普通滑模的控制性能受到較大影響，高度響應(yīng)速度明顯降低，需要40 s 才能跟上給定高度信號。但是動態(tài)滑模依然能夠保持較好的控制響應(yīng)，與普通滑模相比，動態(tài)滑?？梢钥s短調(diào)節(jié)時(shí)間。所以，對于具有模型參數(shù)不確定性的情況，動態(tài)滑模具有明顯的優(yōu)勢。

圖1 標(biāo)稱模型對馬赫數(shù)為15 的速度指令和33 528 m的高度指令的響應(yīng)Fig.1 Respond to Mach 15 step velocity command and 33 528 m step altitude command with common and dynamic sliding mode controllers for nominal model

圖2 最大參數(shù)不確定性情況下動態(tài)滑模和普通滑模對馬赫數(shù)為15 的速度階躍指令和33 528 m 的高度階躍指令的響應(yīng)Fig.2 Respond to Mach 15 step velocity command and 33 528 m step altitude command with common and dynamic sliding mode controllers when using largest parameter uncertainties

如圖3所示，模型具有最大參數(shù)不確定性時(shí)動態(tài)滑模面SV、SH與普通滑模面SVC、SHC收斂情況的對比?？煽闯觯胀ɑ５牡竭_(dá)時(shí)間明顯比動態(tài)滑模要長。

圖3 動態(tài)滑模與普通滑模方法的滑模面對比Fig.3 The slide surface of common and dynamic sliding mode controllers

圖4 動態(tài)滑模與普通滑模的控制量對比Fig.4 The controlled variables for common and dynamic sliding mode controllers

如圖4所示，比較了動態(tài)滑模與普通滑模的控制量。采用動態(tài)滑模后，控制量的抖動明顯減小了。

5 結(jié)論

本文針對通用高超聲速飛行器縱向模型提出了一種動態(tài)滑模跟蹤控制方法。首先采用了輸入輸出反饋線性化，將該模型轉(zhuǎn)化為仿射型，然后引入輔助滑模面，實(shí)現(xiàn)了動態(tài)滑模面的兩階段有限時(shí)間收斂。動態(tài)滑模在保留普通滑?？刂苾?yōu)點(diǎn)的同時(shí)對不連續(xù)的控制量輸出加以積分作用，有效地降低了普通滑模的抖振現(xiàn)象。仿真結(jié)果驗(yàn)證了提出方法的有效性和魯棒性。

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