黃世偉，張?chǎng)涡?，陳海平，李英楠，韋 寧

（廣西大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧 530004）

在現(xiàn)代汽車(chē)設(shè)計(jì)中，對(duì)汽車(chē)的各種使用性能要求越來(lái)越高，乘員舒適性和貨物安全性，占據(jù)著重要的地位。鋼板彈簧是汽車(chē)懸架系統(tǒng)中一種常用的彈性元件[1]，彈性地連接車(chē)身與車(chē)橋，起到緩和車(chē)輛所受沖擊力和衰減車(chē)輛振動(dòng)的作用。鋼板彈簧的剛度，是一個(gè)重要的性能參數(shù)，合理的計(jì)算出鋼板彈簧剛度系數(shù)，是汽車(chē)設(shè)計(jì)人員一直努力方向。

板簧安裝如圖1所示。板簧工作前，用起定位作用的中心螺栓連接，把鋼板彈簧用中心螺栓夾緊后放在車(chē)橋上，再按照一定的距離，彈簧各片中部用兩個(gè)對(duì)稱(chēng)布置的U型騎馬螺栓夾緊[2~3]。

圖1 鋼板彈簧安裝示意圖

本文研究對(duì)象是共有5單片板簧所構(gòu)成的等截面式鋼板彈簧，各片幾何尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 鋼板彈簧參數(shù)表（mm）

由于鋼板彈簧受力復(fù)雜，本文只考慮上下方向的垂直載荷作用，所受載荷如圖2所示。

圖2 鋼板彈簧受力示意圖

在ANSYS中，通過(guò)設(shè)置不同的摩擦系數(shù)，來(lái)模擬不同的接觸情況。本文摩擦系數(shù)為MU=0.12。

1 兩單片板簧有限元分析

1.1 建立有限元分析及劃分網(wǎng)格

分析時(shí)，可以忽略?xún)善寤芍g的尼龍墊片、鋼板彈簧卷兒和中心螺栓。鋼板彈簧中間部分被兩個(gè)U型螺栓夾緊，可以認(rèn)為中間的部分是固定不動(dòng)的，而兩U型螺栓之外的部分，認(rèn)為是接觸的。采用SOLID92實(shí)體單元對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分[6~7]。

進(jìn)行剛度分析時(shí)，選用TARGE170和CONTA174這兩種面-面接觸單元來(lái)模擬[8]，指定第二片的上表面為目標(biāo)面，與之相接觸的第一片下表面為接觸面。

1.2 約束及加載

兩U型螺栓之間的彈簧各片之間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)和摩擦[4~5]，把板簧中間部分粘接起來(lái)。兩U型螺栓之外部分，認(rèn)為各片之間在外載荷作用下，有相對(duì)滑動(dòng)、摩擦與磨損。在鋼板彈簧弧形頂端的中間部分，加載位移載荷，受垂直向下載荷為6 500 N。

1.3 結(jié)果分析

本文分析的是剛度不變的板簧，可以利用最小二乘法進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，得到兩片板簧的整體剛度。然后整體剛度減去第一片板簧的剛度，就可以得到第二片剛度。當(dāng)板簧長(zhǎng)度為1 200 mm、寬度為60 mm、厚度為9 mm時(shí)，其平均剛度為98.23 N/mm。

1.4 鋼板彈簧剛度與幾何參數(shù)關(guān)系

利用有限元分析方法，固定第一片鋼板彈簧的幾何尺寸不變，只改變第二片鋼板彈簧的長(zhǎng)度，保持寬度、厚度均不變，計(jì)算得到兩片整體的總剛度，然后用總剛度減去第一片的剛度，則得到第二片的剛度。同樣，可以得到下列剛度與寬度、厚度的關(guān)系。得到的離散數(shù)據(jù)如下表2、表3、表4所示。

表2 剛度—長(zhǎng)度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

表3 剛度—寬度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

表4 剛度—厚度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

由以上可知，任何一個(gè)參數(shù)改變，都可以求得鋼板彈簧的剛度。

2 鋼板彈簧剛度與幾何參數(shù)關(guān)系

2.1 鋼板彈簧剛度與長(zhǎng)度之間的關(guān)系

對(duì)長(zhǎng)度與剛度之間的依賴(lài)關(guān)系，進(jìn)行最小二乘法曲線(xiàn)擬合。可以斷定因變量和自變量之間符合線(xiàn)性關(guān)系，如圖3所示。

圖3 剛度與長(zhǎng)度關(guān)系圖

圖中，

y為板簧剛度；

x1為板簧長(zhǎng)度。

設(shè)

即選取 φ0(X1)=1，φ1(X1)=X1，計(jì)算

所以得到法方程為

解得

故擬合曲線(xiàn)為

2.2 鋼板彈簧剛度與寬度之間的關(guān)系

由表3可知，剛度與寬度之間的關(guān)系如圖4所示。

圖4 剛度與寬度關(guān)系圖

設(shè)

同理，可以得到法方程為

解得

故擬合曲線(xiàn)為

2.3 鋼板彈簧剛度與厚度之間的關(guān)系

由表4可知，剛度與長(zhǎng)度之間的關(guān)系如圖5所示。

圖5 剛度與厚度關(guān)系圖

設(shè)

同理，所以得到法方程為

解得

故擬合曲線(xiàn)為

3 多元函數(shù)的最小二乘法

把上述最小二乘擬合的有關(guān)概念和結(jié)論，推廣到多元函數(shù)，利用已知的離散數(shù)據(jù)擬合多元函數(shù)。3個(gè)變量時(shí)，推廣到三元函數(shù)[10]，假定已知離散數(shù)據(jù)。

以及相應(yīng)的權(quán)系數(shù)

要求做出如下的函數(shù)。

使得

類(lèi)似一元最小二乘法問(wèn)題，系數(shù)同樣滿(mǎn)足下列方程

其中的內(nèi)積為

同樣，解正規(guī)方程組

則式(14)稱(chēng)為法方程或正規(guī)方程組，是n+1階線(xiàn)性代數(shù)方程組，其系數(shù)矩陣為

其中的基函數(shù)分別為式(16)。

則解正規(guī)方程組(19)則可得

a0,a1,…,a7。

利用最小二乘法，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表5進(jìn)行剛度與各幾何參數(shù)關(guān)系的曲線(xiàn)擬合。

表5 剛度與參數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

根據(jù)前面所討論的數(shù)學(xué)模型，本文選定的擬合模型的形式為下式（20）。

求解法方程（18），把表5實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別代入方程(16)和(20)，則得到方程(21)。

所以，解方程(21)可得

故所擬合的曲線(xiàn)為

式中，

x1為板簧長(zhǎng)度；

x2為板簧寬度；

x3為板簧厚度。

4 利用公式求出彈簧剛度

又根據(jù)彈性元件串聯(lián)公式

式中，ki（i=1，2，…，n）為鋼板彈簧各片剛度。

由于分析的是由5片板簧組成的鋼板彈簧，則把每一片的幾何參數(shù)表5代入式（22）中，可以求得單片板簧的剛度，再利用式（23），可以求出整個(gè)鋼板彈簧的剛度值。

其中，

通過(guò)把數(shù)據(jù)代入式(21)，所以可知鋼板彈簧的平均剛度為118.94 N/mm。

5 整體分析法驗(yàn)證鋼板彈簧剛度

建立整體有限元模型[9]，由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，分析一半有限元模型即可，看成是懸臂梁的形式，把彈簧中部各片粘接起來(lái)。加載集中載荷為6 500 N。則1/2鋼板彈簧有限元模型約束如圖6所示。

利用最小二乘法進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，可知整體板簧剛度的平均值為125.56 N/mm。兩種方法所得到的剛度值進(jìn)行比較，如表6。

表6 鋼板彈簧剛度計(jì)算值比較

公式擬合法計(jì)算的剛度值，與整體建模分析法相比，存在的較小誤差。所以，利用擬合的公式進(jìn)行鋼彈簧剛度的計(jì)算，有一定的借鑒意義。

6 結(jié)束語(yǔ)

考慮摩擦，非線(xiàn)性特性的單片板簧剛度，等于兩片板簧的總剛度，再減去第一片板簧的剛度；

任何一個(gè)幾何參數(shù)改變時(shí)，都可以求得鋼板彈簧的剛度；

利用擬合公式可以看出，計(jì)算的剛度值與整體建模分析法相比，存在較小誤差。

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