殷紅燕

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

1 問題的引入

本文考慮下面一類具有擾動(dòng)的向日葵方程:

其中a是分支參數(shù)，ε，μ，b是實(shí)的參數(shù)，并且0＜ε?1，r＞0，b＞0.ω=ω0(1-εη)，η 為去諧參數(shù).

先把方程(1)寫成如下等價(jià)形式:

令t=sr，α(rs)=x(s)，β(rs)=y(s)，且仍記s=t，則有:

系統(tǒng)(3)又有如下等價(jià)形式:

系統(tǒng)(4)在v=0時(shí)，線性部分的特征方程是:

在文［1］中，已經(jīng)討論了系統(tǒng)(1)在v=0時(shí)的Hopf分支情況.文［1］中的結(jié)論是:當(dāng)v=0時(shí)，系統(tǒng)(4)在μ=0時(shí)存在Hopf分支，且分支發(fā)生在μ＜0方向，并且分支周期解是穩(wěn)定的.在文［2］中，討論了一類比較簡(jiǎn)單的擾動(dòng)的向日葵方程的Hopf分支，得到了方程的調(diào)和解分支.本文將進(jìn)一步考慮一類較復(fù)雜的擾動(dòng)系統(tǒng)，即系統(tǒng)(4)在經(jīng)歷Hopf分支時(shí)，加上周期擾動(dòng)所起的作用，即v≠0的情況.主要考慮周期擾動(dòng)頻率接近于σ0/2的情形，這里σ0是系統(tǒng)(4)的臨界固有Hopf分支頻率.

2 系統(tǒng)的簡(jiǎn)化

利用文［2］中的方法可以把系統(tǒng)簡(jiǎn)化.首先對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行尺度變換，令，則(4) 式化為:再將變換后的系統(tǒng)寫成滯后型泛函微分方程的形式.令C=C(［-1，0］，R2)，L(εμ) 是C［-1，0］到R2上的有界線性算子族.于是由Riesz表示定理［3］，存在一個(gè)二階的、分量為有界變差函數(shù)的矩陣函數(shù)η(.，μ):［-1，0］→R2，使對(duì)任意φ∈C［-1，0］，有.事實(shí)上，只要取

即可，其中 δ(θ) 是 Dirac δ-函數(shù).

對(duì) φ ∈C［-1，0］，定義:

同時(shí)，由于對(duì)Ut=U(t+θ) ∈C［-1，0］，有記U=(x，y)T于是系統(tǒng)(6)可寫成:事實(shí)上，當(dāng)θ=0時(shí)，(7)式就是(6)式［4］.

令Λ={iσ0，-iσ0}是方程(5)的一對(duì)純虛根，使用文［5］或文［6］的方法可以把方程(7)的解Ut分解到二維特征空間及其補(bǔ)空間上去，方程(7)可分解為:

3 次調(diào)和解的存在性與穩(wěn)定性

下面討論次調(diào)和共振情形下分支解的存在性與穩(wěn)定性.對(duì)系統(tǒng)(8)的前2個(gè)方程施行積分平均法［6，7］，可以揭示出該系統(tǒng)的擾動(dòng)Hop f分支的性態(tài).首先引入新的時(shí)間變量τ=ωt，則.再令u1(τ)=ξsin(Jτ+φ)，u2(τ)=ξcos(Jτ+φ)，其中J=σ0/ω0.在此變化下，忽略o(ε)項(xiàng)，系統(tǒng)(8)的前2個(gè)方程可化為:

令J=1/2(二階次調(diào)和共振情形)，對(duì)方程(9)進(jìn)行積分平均得到:

從方程(11)可看出其正根的分布情況:

方程(11)有2個(gè)正實(shí)根，從方程(11)中可求得:

現(xiàn)在考慮非平凡解的穩(wěn)定性，令ξ=ξ0+υ1，φ=φ0+υ2，得到關(guān)于非平凡解的線性變分方程為:

其特征根是:

因此，如果非平凡解滿足條件

則非平凡解ξ0是穩(wěn)定的，此時(shí)ξ0所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)(1)的次調(diào)和分支解是穩(wěn)定的.

容易看出由(12)式給出的較小的非平凡解始終不滿足不等式(17)，因此是不穩(wěn)定的，而另一個(gè)解只要滿足(16)式，則必是穩(wěn)定的.

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