李彩霞，何勝男，田雷霞

河南省新鄉(xiāng)市河南師范大學(xué)，河南新鄉(xiāng) 453007

1 問題重述

隨著城市經(jīng)濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加,人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出.對城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證,以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評價,研究人類活動影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式,日益成為人們關(guān)注的焦點。

按照功能劃分,城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等,分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、……、5類區(qū),不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同。

現(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查.為此,將所考察的城區(qū)劃分為間距1km左右的網(wǎng)格子區(qū)域,按照每平方公里1個采樣點對表層土（0cm～10cm深度）進(jìn)行取樣、編號,并用GPS記錄采樣點的位置.應(yīng)用專門儀器測試分析,獲得了每個樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù).另一方面,按照2km的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣,將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。

附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息,附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度,附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。

現(xiàn)要求你們通過數(shù)學(xué)建模來完成以下任務(wù)：

1）分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度；

2）通過數(shù)據(jù)分析,說明重金屬污染的主要原因；

3）分析重金屬污染物的傳播特征,由此建立模型,確定污染源的位置。

2 模型假設(shè)

1）假設(shè)各元素濃度的測量準(zhǔn)確無誤；

2）假設(shè)重金屬元素是從高濃度到低濃度擴散；

3）假設(shè)重金屬元素向3個方向上的擴散系數(shù)相同,且不受降雨等外部因素影響。

3 模型的建立和求解

3.1 問題一：模糊數(shù)學(xué)模型[1]

傳統(tǒng)評價方法僅僅考慮了重金屬污染物濃度超標(biāo)的情況,未考慮重金屬本身的毒性作用,這就有可能掩蓋有些濃度低但毒性大的有毒物的污染作用,因此,采用基于雙權(quán)重因子的模糊數(shù)學(xué)模型綜合考慮重金屬濃度和毒性作用進(jìn)行評價更為全面合理.根據(jù)模糊評價的原理、步驟及查得的土壤重金屬污染程度分級標(biāo)準(zhǔn)及生物毒性指數(shù)（如表1）進(jìn)行求解。

表1 土壤重金屬污染程度分級標(biāo)準(zhǔn)及生物毒性指數(shù)

模型的求解過程具體如下：根據(jù)附表一實測數(shù)據(jù)各區(qū)各重金屬元素求得的平均值和表2的數(shù)據(jù),計算各重金屬元素對應(yīng)于各土壤重金屬環(huán)境質(zhì)量等級的隸屬度函數(shù),得到關(guān)系模糊矩陣。如功能區(qū)一經(jīng)計算后得到的關(guān)系模糊矩陣為：

由附表1實測數(shù)據(jù)和表2數(shù)據(jù)得到功能區(qū)一各個重金屬參評因子的權(quán)重

根據(jù)功能區(qū)一的模糊關(guān)系矩陣和對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)可得出功能區(qū)一對評價等級的隸屬度,再根據(jù)最大隸屬度原則,確定各樣品的污染程度,此即為土壤環(huán)境質(zhì)量分級。

其他四區(qū)的具體做法和功能區(qū)一樣,在這里不再贅述,結(jié)果見下表。

表2 模糊綜合評價結(jié)果

山區(qū) 0.6664 0.2201 0.1135 0 0 清潔主干道路區(qū) 0.0781 0.6324 0.1979 0.0916 0 尚清潔公園綠地區(qū) 0.1842 0.3912 0.4246 0 0 輕污染

3.2 問題二：主成分分析數(shù)學(xué)模型

八種重金屬元素在五個功能區(qū)的分布不同,對區(qū)內(nèi)重金屬污染的影響也不同,故該模型采用主成分分析法建立,通過SPSS軟件分別得到五個功能區(qū)的主成分值，進(jìn)而得到各功能區(qū)污染的主要因素.

3.2.1 主成分值

表3 城區(qū)主成分值

1）主成分一中各因子的載荷值比較大的是Cu、Pb分別為75.6%、76.4%；

2）主成分二中各因子的載荷值都較小。

因為工業(yè)生產(chǎn)原料和工業(yè)污染里含有大量Cu、Pb元素,因此可認(rèn)為對整個城區(qū)而言重金屬污染的主要原因是工業(yè)廢物。

表4 生活區(qū)主成分值

1）主成分一中各因子的載荷值比較大的是Cd、Cu、Pb分別為78.4%、72.9%、80.3%；

2）主成分二和三中各因子的載荷值都較小。

因子變量在Cd、Cu、Pb上有較高的載荷,是因為城市垃圾中含有的Cd、Cu、Pb、Zn平均含量分別為9、350、330和780（mg/kg）,主成分因子在Zn上的載荷不高,可能是因為Zn的毒性系數(shù)較低的緣故,另外Cu、Pb還可能來自于工業(yè)污染,Pb可能來自于尾氣排放。

表5 工業(yè)區(qū)主成分值

1）主成分一中各因子的載荷值比較大的是Cr、Cu、Pb、Zn分別為91.6%、86.8%、85.8%、85.9%；

2）主成分二中各因子的載荷值都較小。

因子變量在Cr、Cu、Pb、Zn上有較高的載荷,表明主要受工業(yè)污染排放的影響.

表6 主干道路區(qū)主成分值

1）主成分一中各因子的載荷值比較大的是Cr、Cu、Ni分別為87.4%、90.6%、88.8%；

2）主成分二中各因子的載荷值都較小。

因子變量在Cr、Cu、Ni上有較高的載荷。Ni來自于汽車車體的磨損、車胎的老化以及冶金工業(yè)等,反映了交通污染本身產(chǎn)生的影響。Cr、Cu載荷較高說明該地區(qū)受到工業(yè)污染的影響。

表7 公園區(qū)主成分值

3 0.349-0.23-0.003-0.151 0.889 0.012 0.097-0.242

1）主成分一中各因子的載荷值比較大的是Cd、Cr、Pb、Zn分別為81.1%、80.9%、78.2%、79.2%；

2）主成分二中各因子的載荷值都較小；

3）主成分三中Hg的載荷值比較大為88.9%。

公園不可能產(chǎn)生重金屬污染,考慮到公園一般位于市中心,所以不可避免的受到生活污染、工業(yè)污染、交通污染的影響,Cd、Pb、Zn可能來自生活垃圾,Cr來自工業(yè)污染,Pb來源比較廣泛。

3.3 問題三：基于擴散過程和質(zhì)量守恒的微分模型[2]

由前兩問的數(shù)據(jù)分析了解到交通區(qū)Cr、Cu有較高的載荷,說明該地區(qū)受到工業(yè)污染的影響較大,而公園區(qū)則受到生活污染、工業(yè)污染、交通污染等多方面的影響.據(jù)此,說明重金屬是由濃度高的地區(qū)擴散到濃度低的地區(qū),傳播的媒介是大氣和水,此外重金屬一個很重要的特征是難降解,即在傳播中保持質(zhì)量守恒.重金屬的傳播過程可近似于物理中的擴散過程,基于此建立微積分模型。

以u( x, y, z)表示空間某點( x, y, z)在t時刻污染物的濃度,任取空間一閉曲面S,其所圍區(qū)域為?。由于擴散,通過S,t到t+?t時間內(nèi)擴散入的重金屬質(zhì)量為

其中,,α β γ分別為曲面S上(,,) x y z處外法向量的方向角.

其中 a2, b2, c2為三個方向上的擴散系數(shù)。由于吸收衰減,在t到t +?t時間內(nèi),? 內(nèi)重金屬的減少為

其中k為吸收衰減系數(shù).

設(shè)Q(,,) x y z為(,,) x y z點上t時刻單位體積單位時間內(nèi)的重金屬排放量,S內(nèi)t到t t+?時間內(nèi)共排放的重金屬量為

同時,由于濃度變化引起S內(nèi)重金屬質(zhì)量增加量為

當(dāng)k=0與?＞0同時成立時,該點位污染源,否則該點不是污染源.

經(jīng)MATLAB求解和具體分析[3],結(jié)合上題,剔除點22,最終確定的污染源在樣本點9,182,8,257,41,232,93,29,145,49點處或附近。

[1]竇磊，周永剛，王旭，等.針對土壤重金屬污染評價的模糊數(shù)學(xué)模型的改進(jìn)與應(yīng)用.土壤通報，2007,38(1)：101-104.

[2]蔡鎖章.數(shù)學(xué)建模原理與方法.北京：海洋出版社，2000.

[3]汪嘵銀，鄒庭榮.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗.北京：科學(xué)出版社，2008.