周志浩， 郭秀云

(上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444)

在有限群論中，元素的可交換性是最基本最重要的性質(zhì).正因?yàn)槿绱耍藗兂３ＯＭㄟ^“較多”或“較大”交換子群來研究有限群的結(jié)構(gòu).例如，Miller等［1］早在1903年就確定了每一真子群都為交換群的有限群的結(jié)構(gòu).沿用這一思想，人們研究了每一個(gè)2-極大子群都為交換群的有限p-群(A2群)的結(jié)構(gòu).Kazarin［2］，Sheriev［3］，Berkovich等［4］都曾經(jīng)獨(dú)立地研究過這類群.經(jīng)過長(zhǎng)期努力，人們終于給出了這類群的完全分類［5］.本工作研究非交換子群的共軛類個(gè)數(shù)較小時(shí)有限群的結(jié)構(gòu)，特別地，對(duì)非交換子群共軛類個(gè)數(shù)為2的有限非p-群給出了完全分類.

本工作中所研究的群都是有限群，沒有特別說明的概念和術(shù)語均為標(biāo)準(zhǔn)的.設(shè)H是群G的非交換子群，則{Hg|g∈G}是G的一個(gè)非交換子群共軛類，記G的非交換子群共軛類的個(gè)數(shù)為γ(G).

1 基本定義和預(yù)備引理

下面給出本工作將要用到的一些基本定義和基本結(jié)果.

定義1 稱Sylow q-子群正規(guī)的內(nèi)冪零群為q-基本群.

定義2 如果群G的每個(gè)真子群皆為交換(冪零)群，但G不是交換(冪零)群，則稱G為內(nèi)交換(冪零)群.

內(nèi)交換群的結(jié)構(gòu)如下.

定理1［1］設(shè)G是內(nèi)交換群，則G只有下列互不同構(gòu)的類型.

(1)當(dāng)G為冪零群時(shí)，G必為q-群.

①四元數(shù)群：q=2，G=Q8=〈a，b|a4=1，b2= a2，ba=a－1b〉;

②亞循環(huán)群：G=Mn，m，q=〈a，b|aqn=bqm=1，ab=a1+qn－1〉，其中n≥2，m≥1;

③非亞循環(huán)群：G=Nn，m，q=〈a，b，c|aqn=bqm= cq=1，［a，b］=c，［c，a］=［c，b］=1〉，其中n≥1，m≥1，并且當(dāng)q=2時(shí)，m+n≥3;

下面給出內(nèi)冪零群的性質(zhì).

定理2［6］設(shè)G為內(nèi)冪零群，則G有下列性質(zhì)：

(1)|G|=paqb，p≠q均為素?cái)?shù)，且適當(dāng)選擇符號(hào)，可有G的Sylow q-子群QG，而Sylow p-子群P循環(huán)，且P在G中非正規(guī)，并有Φ(P)≤Z(G);

(2)Φ(Q)≤Z(G)，特別地，c(Q)≤2;

(3)若q＞2，則 exp(Q)=q;而若q=2，則exp(Q)≤4.

通過賦予群的極大子群一些條件，可對(duì)群的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生如下影響.

定理3［7］設(shè)H為群G的極大子群，若H冪零，且H的Sylow 2-子群的冪零類≤2，則G可解.

引理1［7］設(shè)群G的極大子群恰有2個(gè)共軛類，則G可解.

為方便起見，給出如下單群A5的極大子群.

引理2［8］設(shè)M是由5次交錯(cuò)群G=A5的極大子群的集合，則M={NG(Gp)|Gp∈Sylp(G)，p∈{2，3，5}}，且

以下的Maschke定理和Hall-Higman簡(jiǎn)化定理是群在群上作用的重要結(jié)果.

定理4［7］(Maschke定理) 設(shè)π'-群H作用在交換π-群G上，A為G的H-不變子群，并且為G的直因子，即存在B≤G，使G=A×B，則必可找到G的某個(gè)H-不變子群K，使G=A×K成立.

定理5［7］(Hall-Higman簡(jiǎn)化定理) 設(shè)π'-群H非平凡地作用在π-群G上，但平凡地作用在G的每個(gè)H-不變真子群上，則G為p-群，并且有

(1)H不可約地作用在G/G'上，且［G，H］=G，CG(H)=G'，CG/G'(H)=;

(2)若G交換，則G為初等交換p-群，若G非交換，則G'=Z(G)=Φ(G);

(3)Z(G)是初等交換p-群;

(4)若p≠2，則exp(G)=p.

2 主要結(jié)果

下面研究群G中非交換子群的共軛類個(gè)數(shù)較小時(shí)有限群G的結(jié)構(gòu).首先證明如下定理.

定理6 設(shè)G是一個(gè)群，如果γ(G)≤3，則G為可解群.

證明 分別考慮γ(G)=n(n=0，1，2，3)的情形.

(1)當(dāng)γ(G)=0時(shí)，G為交換群，當(dāng)然G是可解的.

(2)當(dāng)γ(G)=1時(shí)，G為內(nèi)交換群，G也是可解的.

(3)當(dāng)γ(G)=2時(shí)，設(shè)H是G中非交換的真子群，則由γ(G)=2可知，G中非交換的真子群必與H共軛，且H為G的極大子群.若G中每一個(gè)極大子群皆與H共軛，則G只有一個(gè)極大子群的共軛類，從而是循環(huán)群，這與G非交換矛盾.因而，G中存在極大子群A使得A為交換群.根據(jù)定理3，G為可解群.

(4)當(dāng)γ(G)=3時(shí)，G中有2個(gè)非交換真子群共軛類，并由上面的證明可知，這些共軛類中的子群是G的極大子群.若G中存在交換的極大子群，則由定理3可知，G可解，否則G的極大子群恰有2個(gè)共軛類.根據(jù)引理1可知，G為可解群.

下面舉例說明當(dāng)γ(G)=4時(shí)不能保證G的可解性，從而得出定理6給出的界是最好的.

例1 5次交錯(cuò)群A5中的非交換子群共軛類的個(gè)數(shù)是4，即γ(A5)=4.

下面給出本工作的主要結(jié)果.

定理7 設(shè)G是一個(gè)群，|π(G)|≥2，如果γ(G)=2，則G必定同構(gòu)于下列群之一：

(1)G=Q8×Zp，p為奇素?cái)?shù);

(2)G=Mn，m，q×Zp，其中Mn，m，q是定理1中的亞循環(huán)群情形，并且p，q為互異的素?cái)?shù);

(3)G=Nn，m，q×Zp，其中Nn，m，q是定理1中的非亞循環(huán)群情形，并且p，q為互異的素?cái)?shù);

(4)G=Q8×|Z3=〈x，y，z|x4=y4=z3=1，y2= x2，yx=x－1y，xz=y，yz=xy〉;

(5)G=N1，1，q×|Zp，其中q為奇素?cái)?shù)，|N1，1，q|= q3，p，q為互異的素?cái)?shù)，Zp平凡地作用在N1，1，q的每個(gè)Zp-不變真子群上;

(6)G=Q×|P，其中|G|=pα+1qβ，Q∈Sylq(G)為初等交換q-群，P=〈y〉∈Sylp(G)為G的極大子群，并且子群H=〈yp〉Q為定理1中的q-基本群;

(9)G=Q×|P，其中|G|=pαq2β，Q∈Sylq(G)為齊次循環(huán)q-群，exp(Q)=q2，P∈Sylp(G)為pα階循環(huán)群，并且商群G/Φ(Q)為定理1中的q-基本群，〈yp〉在Q上的作用是平凡的;

(10)G=H×Zt，其中H為定理1中的q-基本群，p，q，t為互異素?cái)?shù).

證明 設(shè)H為群G的非交換真子群，則由γ(G)=2且G本身非交換可知，G的所有非交換真子群都與H共軛，并且H的所有真子群都是交換的，即γ(H)=1.進(jìn)一步可知，H為G的極大子群.

如果G是冪零群，則H也是冪零群.根據(jù)定理1中的情況(1)可知，H為 G的 Sylow q-子群，且|G∶H|=p(p≠q).因此，有G=H×P，其中P∈Sylp(G)為p階循環(huán)群.由定理1中的情況(1)可知，G為(1)，(2)，(3)型群.

以下假設(shè)G不是冪零群.若H是冪零群，則G是內(nèi)冪零群.根據(jù)定理2中的情況(1)以及H的極大性可知，H一定包含G中正規(guī)的非交換Sylow q-子群.又由γ(H)=1可知，H正是G中正規(guī)的Sylow q-子群，且|G∶H|=p(p≠q是素?cái)?shù)).

如果H為四元數(shù)群Q8，由Aut(Q8)=S4知，p= 3，這表明G為定理7中的(4)型群.

如果H為亞循環(huán)群Mn，m，q，則Z(H)=Φ(H)=〈aq，bq〉，H'=〈aqn－1〉.根據(jù)定理5中的情況(2)可知，m=1，n=2.此時(shí)，exp(H)=q2＞q，根據(jù)定理5中的情況(4)得，q=2，于是 H=D8.因?yàn)锳ut(D8)=D8，所以H≠M(fèi)n，m，q.

如果 H為非亞循環(huán)群 Nn，m，q，則Z(H)= Φ(H)=〈aq，bq，c〉，H'=〈c〉.根據(jù)定理5中的情況(2)可知，m=n=1.因此，q為奇素?cái)?shù)，G為定理7中的(5)型群.

現(xiàn)在假設(shè)H為非冪零群.根據(jù)定理1中的情況(2)，H為q-基本群.設(shè)P1∈Sylp(H)，Q1∈Sylq(H)，又設(shè)P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G)，使得P1≤P，Q1≤Q.

首先，證明Q是G的正規(guī)子群.由G的可解性可知，G中有正規(guī)的極大子群.若H不是G的正規(guī)子群，則 G中存在正規(guī)的交換極大子群 A.設(shè)|G∶A|=r(r是素?cái)?shù))，由G=HA，|H∶H∩A|= |HA∶A|=r，即r∈π(H).這樣r=p或r=q.因?yàn)閨π(G)|≥2，所以|A|中必定含有異于r的素因子.由A的交換性可知，A的Hall r'-子群N正規(guī)于G，設(shè)G=N×|R，其中R∈Sylr(G).如果r=q，則有P1≤N.由N的Sylow p-子群在G中正規(guī)可知，P1在H中正規(guī)，與定理1中的情況(2)矛盾.于是r=p，從而Q作為A的Sylow q-子群必然為G的正規(guī)子群.

由于G為可解群且H為G的極大子群，所以|G∶H|=tm.以下分3種情形來討論.

(1)在t=p情形下，Q1=Q.由H的極大性可知，P1?H/Q為 P?G/Q的極大子群，從而|G∶H|=|P∶P1|=p，其中P為G的極大子群，且P為交換群.事實(shí)上，設(shè)M為G的包含P的極大子群，由于Q∩MM以及Q的交換性可知，Q∩MG.又由于Q∩M＜Q≤H以及Q=Q1為H的極小正規(guī)子群，所以Q∩M=1，從而P為G的極大子群.

注意到，P1為循環(huán)子群，則P為pα+1階循環(huán)群或(pα，p)型交換群.

如果P=〈y〉，則〈yp〉為P唯一的極大子群，即P1=〈yp〉，H=〈yp〉Q，這就是定理7中的(6)型群.

如果P為(pα，p)型交換群，設(shè)P=〈y〉×〈z〉，其中P1=〈y〉，zp=1.注意到，由P正規(guī)化P1Q=H可知，H為G的正規(guī)子群.而由于Q〈z〉≠H，所以Q〈z〉是交換群，Q〈z〉=Q×〈z〉.故有G=〈x1，x2，…，［y，z］=1〉，其中f(x)=xβ－dβxβ－1－…－d2x－d1在Fq上不可約，且為xp－1的因子，這就是定理7中的(7)型群.

(2)在t=q情形下，P1=P，且由Q的交換性可知，Q1為G中的正規(guī)子群.

設(shè)M是滿足條件Q1≤M＜Q的G的正規(guī)子群.如果M≠Q(mào)1，則有G=HM=PM，于是G/M=PM/ M?P/P∩M=P，這與M≠Q(mào)矛盾.所以，必定有M=Q1，由此可知，Φ(Q)≤Q1.再由Q1是H的極小正規(guī)子群可知，Φ(Q)=1或Q1.

①若Φ(Q)=1，則Q為初等交換q-群，可設(shè)Q=Q1×Q3.由Q和Q1都是P-不變的，根據(jù)定理4，可以假定Q3也是P-不變的，即PQ3為G的子群.

②若Φ(Q)=Q1，由Q的交換性，有Q'=1.設(shè)Q=〈a1〉×〈a2〉×…×〈an〉，則有Q1=Φ(Q)= Q'Qq=Qq，即〈x1〉×〈x2〉×… ×〈xβ〉=〈〉×〈〉×… ×〈〉.因此，n=β，o(ai)=q2(i= 1，2，…，β)，Q為型齊次循環(huán)q-群.

(3)在p≠t≠q情形下，P1=P，Q1=Q，且H為G中的 Hall{p，q}-子群，|G|=pαqβtm.取T∈Sylt(G)，證明TG.若G中存在正規(guī)的交換極大子群A，則必有G=HA，從而T≤A，T char AG，故有TG.若HG，則G=H×|T.由G可解可知，G中存在Sylow系，即存在u，v∈G使得PuTv=TvPu成立.再由QTv≠H可得，Q與Tv可交換.于是PuQ= (PQ)u=H正規(guī)化Tv，從而TvG，這表明G中的Sylow t-子群是正規(guī)的.

因?yàn)門，PT和QT均不與H共軛，所以它們都是交換群，從而H為G中的正規(guī)子群.由H的極大性可知，T為t階循環(huán)群，故G=H×Zt，這就是定理7中的(10)型群.

定理8 定理7中的10類群G都滿足γ(G)=2.

證明 顯然Q8，Mn，m，q，Nn，m，q分別為定理7中的(1)，(2)，(3)型群G中非交換的極大子群，且其余的極大子群都為交換群，故這3個(gè)型群都滿足γ(G)=2.

以下設(shè)M為群G的任意極大子群.

對(duì)于定理7中的(4)型群，記H=Q8，p=3;對(duì)于定理7中的(5)型群，記H=N1，1，q.如果M≠H，則|M|中必定含有素因子p.由Sylow定理，存在g∈G，使得Zp≤Mg.于是Mg=G∩Mg=HZp∩Mg=(H∩Mg)Zp，且Zp共軛作用在H∩Mg上.注意到，H∩Mg為H的真子群，則Mg是交換的，從而M也是交換的，故這2個(gè)型群都滿足γ(G)=2.

對(duì)于定理7中的(6)型群，令H=P1Q是G的極大子群，其中P1為循環(huán)群P唯一的極大子群.若|G∶M|=pk，則Q≤M.根據(jù)Sylow定理，存在g∈G，使得 Mp≤(Mp∈Sylp(M))，于是 M=MpQ≤Q=Hg.由M的極大性可知，M=Hg.若|G∶M|= qk，由Sylow定理，存在g1∈G，使得Pg1≤M.而P為G的極大子群，所以M=Pg1是交換的，故該型群滿足γ(G)=2.

對(duì)于定理7中的(7)型群，令H=〈x1，x2，…，xβ，y〉為G的極大子群.若|G∶M|=pk，則有Q=〈x1，x2，…，xβ〉≤M.如果z∈M，則存在g∈G，使得Mp≤〈yp〉g〈z〉，其中Mp∈Sylp(M).注意到，〈yp〉及〈z〉在Q上的作用均是平凡的，于是M=MpQ≤〈yp〉g〈z〉Q是交換的.否則，存在g1∈G，使得Mp≤〈y〉g1，于是M=MpQ≤〈y〉g1Q=Hg1.由M的極大性可知，M= Hg1.若|G∶M|=qk，則存在g2∈G，使得P=〈y，z〉≤Mg2.于是Mg2=G∩Mg2=PQ∩Mg2=P(Q∩Mg2)，且Q∩Mg2為Mg2的正規(guī)子群，從而〈y〉作用在Q∩Mg2上.另一方面，由于Q為〈y〉Q=H的極小正規(guī)子群，所以Q∩Mg2=1，從而M=Pg－12是交換的，故該型群滿足γ(G)=2.

對(duì)于定理7中的(8)型群，令H=〈x1，x2，…，xβ，y〉為G的極大子群.若|G∶M|=pk，則有Q=〈x1，x2，…，xβ+1〉≤M，從而M=PQ∩M=(P∩M)Q，其中P=〈y〉.由P∩M在Q上的作用平凡可知，M是交換的.若|G∶M|=qk，則存在g∈G，使得P≤Mg.于是Mg=PQ∩Mg=P(Q∩Mg).記Q1=〈x1，x2，…，xβ〉，如果Q∩Mg=Q1，則Mg=H.如果Q∩Mg≠Q(mào)1，必有Q∩Mg=B×〈xβ+1〉，其中B＜Q1.注意到，P正規(guī)化〈xβ+1〉，則P正規(guī)化B.因?yàn)镼1是PQ1的極小正規(guī)子群，所以B=1，從而Mg=P×〈xβ+1〉是交換的，即M是交換的，故該型群滿足γ(G)=2.

對(duì)于定理7中的(9)型群，令H=PΦ(Q)為G的極大子群.若|G∶M|=qk，則存在g∈G，使得P≤Mg.因?yàn)镼為G的正規(guī)子群，所以Φ(Q)≤Φ(G)≤M，即H≤Mg，必有H=Mg.若|G∶M|=pk，則存在g1∈G，使得Mg1=PpkQ.由于Pp在Q上的作用平凡，所以M=(PpkQ)g－11是交換的，故該型群滿足γ(G)=2.

對(duì)于定理7中的(10)型群，若M≠H，則|M|中必定含有素因子t，使得Zt≤M.于是M=G∩M= HZt∩M=(H∩M)Zt=(H∩M)×Zt，所以M是交換的，故該型群滿足γ(G)=2.

結(jié)合定理7和定理8，就得到了本工作的如下主要定理.

定理9 設(shè)G是一個(gè)群，|π(G)|≥2，則γ(G)=2當(dāng)且僅當(dāng)G是定理7給出的10類群之一.

如果G為 p-群，且γ(G)=2，則G一定是A2群［5］.由于A2群已經(jīng)給出了完全的分類，所以滿足γ(G)=2的p-群可以從A2群中逐個(gè)找出，因而理論上可以給出γ(G)=2的所有群的完全分類.

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