郭建鋒，趙 俊

1.信息工程大學(xué)理學(xué)院，河南鄭州450001；2.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所，湖北武漢430077

1 引 言

為保證測量成果達(dá)到設(shè)計(jì)要求，在完成實(shí)測任務(wù)后，必須進(jìn)行測量數(shù)據(jù)的質(zhì)量分析。大量研究表明，粗差僅僅占到觀測量總數(shù)的1%至10%左右。粗差的存在往往對(duì)最小二乘（least－squares，LS）估計(jì)造成不良的影響，即LS估計(jì)的抗差性（robustness，又譯為穩(wěn)健性）非常差［1－12］。

對(duì)于工程技術(shù)與應(yīng)用領(lǐng)域而言［2］，抗差性可以理解為統(tǒng)計(jì)推斷中的敏感度分析理論（或者稱為擾動(dòng)分析、穩(wěn)定性分析理論）。換言之，抗差性，即估計(jì)量抵御粗差影響的能力，表現(xiàn)為平差結(jié)果對(duì)觀測異常的敏感程度［5］。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)［5－7］是檢驗(yàn)平差成果的一項(xiàng)重要指標(biāo)。因此，通過對(duì)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)量進(jìn)行敏感度分析構(gòu)造探測與識(shí)別觀測異常的統(tǒng)計(jì)量，具有顯著的物理意義。

在粗差探測法中，假定隨機(jī)模型能夠客觀反映觀測量之間的（相對(duì)）精度及統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，把粗差問題歸結(jié)為函數(shù)模型與實(shí)際模型的偏離。如果擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果不顯著，說明在一定顯著性水平上，平差成果達(dá)到了要求，可以采納；否則就表明當(dāng)前的函數(shù)模型不能準(zhǔn)確描述觀測量之間或觀測量與未知參數(shù)之間的物理或者幾何關(guān)系［6，13］。需要指出的是，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)雖然能夠檢驗(yàn)出粗差的存在與否，但卻不能探測和準(zhǔn)確定位有幾個(gè)觀測量以及具體是哪幾個(gè)觀測量受到了多大量級(jí)的粗差污染［13，15］。

在粗差的探測與識(shí)別中，通常采用正態(tài)檢驗(yàn)、學(xué)生氏t檢驗(yàn)以及τ檢驗(yàn)等，而構(gòu)造相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量既可基于局部敏感度指標(biāo)，亦可基于LS殘差。本文對(duì)實(shí)施粗差探測與識(shí)別的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量進(jìn)行了比較分析，得到如下結(jié)論：① 相關(guān)觀測情形，局部敏感度指標(biāo)比LS殘差的檢驗(yàn)功效大，若單位權(quán)中誤差精確已知，宜采用基于標(biāo)準(zhǔn)化局部敏感度指標(biāo)的正態(tài)檢驗(yàn)；② 單位權(quán)中誤差未知時(shí)，τ檢驗(yàn)理論本身存在固有缺陷，而學(xué)生氏t檢驗(yàn)或?qū)⒃斐伞凹{偽”錯(cuò)誤的增加，較為穩(wěn)妥的方案是仍然采用正態(tài)檢驗(yàn)，但將標(biāo)準(zhǔn)化局部敏感度指標(biāo)中的單位權(quán)中誤差以其抗差LMS（least median of squares）估計(jì)代替。

2 模型描述

考慮如下線性Gauss－Markov模型［5－7］

式中，A為n×u（n－u＞1）列滿秩設(shè)計(jì)陣；X為u×1未知參數(shù)向量；L為n×1觀測向量；e為相應(yīng)的誤差（噪聲）向量，其方差－協(xié)方差陣為這里對(duì)稱正定陣P為觀測量的先驗(yàn)權(quán)陣，而通常稱為單位權(quán)方差因子。

基于LS原理，可得到模型（1）中未知參數(shù)的LS估計(jì)為［5－7］

相應(yīng)的殘差向量為

式中，R＝I－A（ATPA）－1ATP以矩陣形式反映平差結(jié)構(gòu)，是質(zhì)量的全面度量，稱為平差因子陣［12］。

容易驗(yàn)證平差因子陣R冪等，并具以下有用性質(zhì)

基于此，LS殘差的加權(quán)平方和Ω＝VTPV亦可表示為［13－16］

3 基于敏感度分析的統(tǒng)計(jì)量

3.1 標(biāo)準(zhǔn)化局部敏感度指標(biāo)

將LS殘差的加權(quán)平方和對(duì)第i個(gè)觀測量li進(jìn)行微分，得到［13－14］

式中，hi表示第i個(gè)分量為1，其余分量皆為0的n維單位向量。

顯然，?Ω／?li衡量的是Ω對(duì)第i個(gè)觀測值的擾動(dòng)的敏感程度。注意到

因此統(tǒng)計(jì)量

可用于檢驗(yàn)Ω對(duì)第i個(gè)觀測量的擾動(dòng)是否“敏感”。

根據(jù)已知數(shù)據(jù)可以計(jì)算出w統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量的取值，其絕對(duì)值越大，表明Ω對(duì)第i個(gè)觀測量的擾動(dòng)越“敏感”，故而li受到粗差污染的可能性就越大。因此，稱為第i個(gè)觀測量的標(biāo)準(zhǔn)化局部敏感度指標(biāo)［13－14］。

應(yīng)該指出的是，這里的wi即為可靠性理論中Baarda［17］導(dǎo)出的w統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量。

3.2 外部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)

通過對(duì)局部敏感度指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，可以有效消除量綱的影響，這對(duì)于多源數(shù)據(jù)融合的質(zhì)量控制問題意義尤為重要。然而，得到標(biāo)準(zhǔn)化局部敏感度指標(biāo)的前提是先驗(yàn)單位權(quán)中誤差精確已知，否則就無法利用w統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

在測量實(shí)踐中，先驗(yàn)單位權(quán)中誤差往往未知［5－7，12］。為此，本文提出如下服從自由度為nu－1的學(xué)生氏分布的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量

當(dāng)存在多個(gè)粗差時(shí)，LS殘差的加權(quán)平方和Ω往往偏大。由定義不難知道，這或?qū)?dǎo)致外部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)普遍偏小，進(jìn)而造成“納偽”錯(cuò)誤的增加。因此，基于外部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)探測和識(shí)別粗差潛在一定的風(fēng)險(xiǎn)。

3.3 內(nèi)部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)

單位權(quán)中誤差未知時(shí)，還可通過構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行粗差的探測與識(shí)別，這里為平差模型式（1）中的驗(yàn)后單位權(quán)方差因子。稱為內(nèi)部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)。

統(tǒng)計(jì)量式（10）亦可表達(dá)為服從學(xué)生氏分布的統(tǒng)計(jì)量ti的函數(shù)，即

Thompson將統(tǒng)計(jì)量τi服從的分布稱為自由度為n－u的τ分布［18］。在測量質(zhì)量控制中，τ檢驗(yàn)是應(yīng)用最為廣泛的統(tǒng)計(jì)量之一［5，18－24］。

Beta分布的一個(gè)顯著特點(diǎn)是其僅僅在單位區(qū)間（0，1）內(nèi)取值［5］，于是得到

注意到關(guān)系式

有

式（15）表明，服從τ分布的統(tǒng)計(jì)量之絕對(duì)值存在上界，而且該上界僅取決于該統(tǒng)計(jì)量的自由度。

4 基于殘差的統(tǒng)計(jì)量

在經(jīng)典測量平差中僅涉及獨(dú)立等權(quán)觀測數(shù)據(jù)，這種情況下，線性最小二乘平差理論中最基本的關(guān)系式ATPV＝O退化為

因此，在傳統(tǒng)的粗差探測與識(shí)別中，均以殘差作為對(duì)象研究問題。

4.1 標(biāo)準(zhǔn)化殘差

若先驗(yàn)單位權(quán)中誤差精確已知，可構(gòu)造如下稱為標(biāo)準(zhǔn)化殘差的統(tǒng)計(jì)量［17］

探測和識(shí)別粗差。

及

式中，ri表平差因子陣R的第i個(gè)對(duì)角元。

依據(jù)Cauchy－Schwarz不等式，有

由此得到

一個(gè)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量的檢驗(yàn)功效是顯著性水平和非中心化參數(shù)的單調(diào)增函數(shù)［25］，因此統(tǒng)計(jì)量wi比標(biāo)準(zhǔn)化殘差的檢驗(yàn)功效要大，或者等價(jià)的，比統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效要大。

事實(shí)上，統(tǒng)計(jì)量Ti為一致最大檢驗(yàn)功效統(tǒng)計(jì)量［24］。也就是，在給定的顯著性水平上，利用Ti（或wi）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)犯“納偽”錯(cuò)誤的概率比使用任何其他的統(tǒng)計(jì)量都要小。

相反，若事先指定顯著性水平和檢驗(yàn)功效，統(tǒng)計(jì)量所對(duì)應(yīng)的非中心化參數(shù)將唯一確定，由式（21）立即可知：一致最大檢驗(yàn)功效統(tǒng)計(jì)量Ti（或wi）對(duì)應(yīng)的最小可探測粗差指標(biāo)［16－17，25］不會(huì)超過統(tǒng)計(jì)量（或標(biāo)準(zhǔn)化殘差），換言之，一致最大檢驗(yàn)功效統(tǒng)計(jì)量Ti（或wi）較統(tǒng)計(jì)量（或）對(duì)粗差更敏感。

由于相關(guān)觀測情形下統(tǒng)計(jì)量wi比標(biāo)準(zhǔn)化殘差的檢驗(yàn)功效要大，而在獨(dú)立觀測情形二者則完全一致，因此建議采用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量wi進(jìn)行粗差的探測和識(shí)別。

4.2 外部學(xué)生化殘差

先驗(yàn)單位權(quán)中誤差未知時(shí)，可構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量

這稱為外部學(xué)生化殘差［4］。

根據(jù)關(guān)系式RP－1＝RP－1RT，容易驗(yàn)證矩陣

為冪等陣，注意到

綜合上款，二次型

服從自由度為n－u－1的χ2分布［5］。

由于

依據(jù)正態(tài)隨機(jī)向量的線性組合與其二次型相互獨(dú)立的判定定理［5］可知，標(biāo)準(zhǔn)化殘差與相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，因而，外部學(xué)生化殘差服從自由度為n－u－1的學(xué)生氏分布。

與外部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)類似，當(dāng)存在多個(gè)粗差時(shí)，統(tǒng)計(jì)量或潛在一定的風(fēng)險(xiǎn)。

4.3 內(nèi)部學(xué)生化殘差

若單位權(quán)中誤差未知，還可構(gòu)造如下稱之為內(nèi)部學(xué)生化殘差的統(tǒng)計(jì)量［26］

進(jìn)行粗差的探測與識(shí)別。

由于

根據(jù)正態(tài)隨機(jī)向量的兩個(gè)二次型相互獨(dú)立的判定定理［5］與相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。因此，統(tǒng)計(jì)量

服從自由度分別為1／2、（n－u－1）／2的Beta分布。進(jìn)而，內(nèi)部學(xué)生化殘差統(tǒng)計(jì)量~τi服從自由度為n－u的τ分布［18］。

及

于是，當(dāng)擾動(dòng)量δi趨于無窮大時(shí)，第i個(gè)內(nèi)部學(xué)生化殘差的絕對(duì)值之極限為

這個(gè)結(jié)果由Baselga［20］給出。

若顧及不等式（20），還可以進(jìn)一步求出上述極限值的上界

式（29）再次驗(yàn)證了這樣一個(gè)事實(shí)，即τ檢驗(yàn)理論本身確乎存在缺陷。因而，使用τ統(tǒng)計(jì)量探測和識(shí)別粗差存在一定風(fēng)險(xiǎn)。

5 結(jié)論與建議

（1）若單位權(quán)中誤差精確已知，可采用正態(tài)檢驗(yàn)。w統(tǒng)計(jì)量反映的是χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)量對(duì)觀測值擾動(dòng)的敏感程度，因而具有明確的物理意義；作為一致最大檢驗(yàn)功效統(tǒng)計(jì)量，對(duì)于給定的顯著性水平和檢驗(yàn)功效，Ti＝（或wi）能夠探測出量級(jí)最小的粗差。

因此，進(jìn)行正態(tài)檢驗(yàn)時(shí)，w統(tǒng)計(jì)量為首選，標(biāo)準(zhǔn)化殘差次之。

（2）若σ未知，可采用τ檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)。τ檢驗(yàn)理論本身固有缺陷；而存在多個(gè)粗差時(shí)，t檢驗(yàn)或?qū)⒃斐伞凹{偽”錯(cuò)誤的增加，亦存在一定的風(fēng)險(xiǎn)。

從檢驗(yàn)功效的角度考慮，無論進(jìn)行τ檢驗(yàn)抑或t檢驗(yàn)，均建議采用基于局部敏感度指標(biāo)的檢驗(yàn)量。

（3）Robust正態(tài)檢驗(yàn)。由于τ檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)均存在一定缺陷，因此尚需對(duì)單位權(quán)方差因子未知時(shí)的粗差探測與識(shí)別作進(jìn)一步的討論。

一種較為穩(wěn)妥的解決方案是，采用具有明確物理意義的w統(tǒng)計(jì)量，而統(tǒng)計(jì)量中的未知參數(shù)σ則以其抗差LMS估計(jì)代替之［1－3，12－15］。即以

代替統(tǒng)計(jì)量wi中的先驗(yàn)單位權(quán)中誤差σ。

將基于修正的w統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)稱為Robust正態(tài)檢驗(yàn)。從數(shù)學(xué)上說，修正的w統(tǒng)計(jì)量并不嚴(yán)格服從正態(tài)分布。然而經(jīng)驗(yàn)表明，該統(tǒng)計(jì)量具有較強(qiáng)的抗差性，當(dāng)冗余觀測較多時(shí)尤為如此［1－3，12－15］。

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