劉 磊，趙志敏

（南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 211106）

引 言

在計算機(jī)視覺領(lǐng)域內(nèi)，空間目標(biāo)的位置和姿態(tài)是非常關(guān)鍵的參數(shù)，尤其是在視覺導(dǎo)航、目標(biāo)識別以及人機(jī)交互等方面［1，2］。圓是物體的基本幾何形狀，在許多自然景物和人造物體中大量存在，并且圓形是一種幾何特征明顯且容易識別的形狀，在圖像處理中有著其它幾何形狀無法比擬的優(yōu)點(diǎn)。圓形特征已經(jīng)被應(yīng)用在各種機(jī)器視覺相關(guān)的領(lǐng)域［3］。例如，使用圓形標(biāo)志來進(jìn)行移動機(jī)器人位置的精確估計，使用圓形標(biāo)志物來進(jìn)行三維物體的識別，以及使用圓形表面輪廓來進(jìn)行目標(biāo)的三維姿態(tài)估計等［4］。

作為姿態(tài)角的一種，俯仰角在許多領(lǐng)域起著重要作用。在火箭發(fā)射過程中，火箭的俯仰角等姿態(tài)參數(shù)是反映火箭飛行狀態(tài)的重要參數(shù)，對于分析火箭的運(yùn)動狀態(tài)等有著重要的價值［5］。無人機(jī)及其它飛行器在飛行及著陸的過程中，也需要實時估計其姿態(tài)角等參數(shù)［6，7］。在頭盔瞄準(zhǔn)具中，射擊目標(biāo)的位置是依靠頭部的運(yùn)動來確定的，頭部的俯仰角等姿態(tài)角測量，關(guān)系到射擊的命中率［8］。而在計算機(jī)視覺領(lǐng)域，通過攝像測量獲得距離等參數(shù)已經(jīng)應(yīng)用于汽車自動測距等，而攝像機(jī)的俯仰角參數(shù)直接影響著所測距離的精確度［9］。對于空間圓形目標(biāo)的姿態(tài)角，國內(nèi)外已經(jīng)開始了相關(guān)研究。Safaee－Rad等人［4］使用幾何分析的方法，提出了一種圓形目標(biāo)的三維定位問題的閉合分析解。魏振中［3，10］等人研究了中心畸變誤差及空間圓姿態(tài)識別二義性的消除問題?，F(xiàn)有的俯仰角測量方法，計算較為復(fù)雜。

現(xiàn)作為探索性研究，基于攝像機(jī)透視投影原理，對空間圓形目標(biāo)的俯仰運(yùn)動及俯仰角的測量進(jìn)行研究，提出一種測量空間圓形目標(biāo)俯仰角的方法。

1 圓形目標(biāo)的俯仰運(yùn)動及俯仰角測量

俯仰角最早出現(xiàn)在航空航天領(lǐng)域，定義為機(jī)體坐標(biāo)系X軸與水平面的夾角。當(dāng)X軸的正半軸位于過坐標(biāo)原點(diǎn)的水平面之上時，俯仰角為正，俯仰角θ的范圍為［－π／2，π／2］。

由于設(shè)定攝像機(jī)光心與圓形目標(biāo)之間的距離相對圓形目標(biāo)的直徑來說非常大，并且圓形目標(biāo)可在攝像機(jī)成像平面上完全成像，成像部位為感光器件中央或靠近中央位置，因此不考慮因攝像機(jī)鏡頭畸變等因素而帶來的影響。結(jié)合運(yùn)動分析的方法，現(xiàn)對圓形目標(biāo)的俯仰運(yùn)動進(jìn)行研究。不妨設(shè)定圓形目標(biāo)的初始位置，并根據(jù)俯仰運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)軸是否通過其圓心，將俯仰運(yùn)動分為以下兩種情況來分別進(jìn)行分析。

1.1 第一種情況

如圖1所示，OXYZ為空間圓坐標(biāo)系，OCXCYCZC為攝像機(jī)坐標(biāo)系，OC為攝像機(jī)光心。圓形目標(biāo)O-ABCD（簡稱圓O）位于攝像機(jī)正前方，圓心O與攝像機(jī)光心OC距離為l，攝像機(jī)光軸即為ZC軸，與圓O所在平面垂直并過O點(diǎn)。圓坐標(biāo)系X軸與過原點(diǎn)O的水平面的夾角即為俯仰角，初始時為0°。當(dāng)圓O圍繞Z軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時，即為俯仰運(yùn)動。正方向設(shè)定為從逆著Z軸正向看，逆時針方向運(yùn)動。

圖1 圓坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)系（情況1）Fig.1 The coordinate systems of the circle and camera（case 1）

根據(jù)攝像機(jī)透視投影原理，現(xiàn)作出圓形目標(biāo)的透視投影圖。圖2（a）為初始時圓O的透視投影成像圖，圓O所在平面為P，在成像平面P′上所成像為圓O′－A′B′C′D′。圖2（b）所示為發(fā)生俯仰運(yùn)動后的狀態(tài)，運(yùn)動后的圓標(biāo)記為OAB1CD1，所在平面為P1。旋轉(zhuǎn)軸為直徑AC所在直線（Z軸）。

圖3為圖2的簡化示意圖。根據(jù)相似三角形原理，可以得到：

式（1）中，D1E＝B1F＝rcosα，r為圓O的半徑，α為所求俯仰角。由式（1）可得：

D′1O′與B′1O′為圓的兩個半徑DO與BO在成像平面上所成像，設(shè)其長度分別為R1和R2。因此，俯仰角的計算公式為：

若R1＞R2，俯仰角為正；若R1＜R2，俯仰角為負(fù)。

圖2 圓形目標(biāo)的成像圖（情況1）Fig.2 The perspective projection of circular object（case 1）

1.2 第二種情況

如圖4所示，O-XYZ為圓坐標(biāo)系，OCXCYCZC為攝像機(jī)坐標(biāo)系，OC為攝像機(jī)光心。圓形目標(biāo)O1－ABCD（簡稱圓O1）位于攝像機(jī)前方，圓坐標(biāo)系原點(diǎn)O與攝像機(jī)光心OC距離為l，攝像機(jī)光軸即為ZC軸，與圓O1所在平面垂直并過O點(diǎn)。圓心O1與原點(diǎn)O之間距離為h（相對l，h大小與r同量級，圓形目標(biāo)可實現(xiàn)完全成像）。圓O1繞Z軸（不經(jīng)過圓心）做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時，即為俯仰運(yùn)動。圓坐標(biāo)系X軸與過原點(diǎn)的水平面的夾角即為俯仰角，初始時為0°。正方向設(shè)定為從逆著Z軸正向看，逆時針方向運(yùn)動。

圖3 圖2的簡化示意圖Fig.3 The simplified schematic representation of Fig.2

圖4 圓坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)系（情況2）Fig.4 The coordinate systems of the circle and camera（case 2）

根據(jù)攝像機(jī)透視投影原理，作出其透視投影成像圖，圖5（a）和圖5（b）分別為初始狀態(tài)和發(fā)生俯仰運(yùn)動后的狀態(tài)。初始時，圓O1－ABCD位于平面P，其成像為圓O′1－A′B′C′D′，在平面P′上。俯仰運(yùn)動后，圓O1－ABCD標(biāo)記為圖5（b）中平面P2上的圓O2－A2B2C2D2，成像為平面P′上的橢圓O′2－A′2B′2C′2D′2。

圖6為圖5的簡化示意圖，直徑BD做俯仰運(yùn)動后記為線段B2D2，過O2點(diǎn)做線段OCO的垂線段O2E，垂足為E點(diǎn)。設(shè)直徑A2C2在成像平面上所成像A′2C′2長度為s，可以得到：

即：

式（5）中，f為攝像機(jī)的有效焦距，r為圓O1的半徑，α為所求俯仰角。

圖5 圓形目標(biāo)的成像圖（情況2）Fig.5 The perspective projection of circular object（case 2）

由式（5），可求得俯仰角的計算公式：

圖6 圖5的簡化示意圖Fig.6 The simplified schematic representation of Fig.5

2 實驗及數(shù)據(jù)

針對上述1.2節(jié)中的第二種情況進(jìn)行了實驗，實驗原理及裝置如圖4所示。實驗中，采用了一個圓形目標(biāo)，其上標(biāo)有互相垂直的兩條直徑。圓形目標(biāo)可繞旋轉(zhuǎn)軸做俯仰運(yùn)動，初始的俯仰角為0°，每當(dāng)圓形目標(biāo)運(yùn)動10°時，攝像機(jī)記錄其圖像，并通過對所獲取圖像進(jìn)行濾波、對比度增強(qiáng)等處理，獲取計算所需的直徑像素數(shù)等數(shù)據(jù)。

圖7示出了當(dāng)俯仰角分別為0°，20°和40°時，采集到的空間圓形目標(biāo)的圖像。實驗中，l＝0.9m，h＝0.15m，r＝0.045m，f＝1.36×10－4m，s值可通過比例求解得到。進(jìn)而根據(jù)式（6）進(jìn)行計算，得到一組俯仰角的計算值，如表1所示。結(jié)果顯示，在不考慮攝像機(jī)透視畸變及誤差允許的情況下，文中所提出的方法可以方便有效地計算出空間圓形目標(biāo)的俯仰角度。只是在俯仰角度的絕對值增大時，測量誤差會相應(yīng)地增大，這與攝像機(jī)成像原理及提取直徑像素的精度等因素有關(guān)。當(dāng)俯仰角為±90°時，將無法采集到圓形目標(biāo)的直徑，所以該方法測量的俯仰角范圍為（－π／2～π／2）。

圖7 實驗中所采集空間圓形目標(biāo)圖像Fig.7 The images of circular object acquired in experiment

表1 空間圓形目標(biāo)俯仰角測量值Tab.1 The measurement value of pitch angles of circular object

3 結(jié) 論

文中研究了空間圓形目標(biāo)的俯仰運(yùn)動，提出了一種基于攝像機(jī)透視投影原理的空間圓形目標(biāo)俯仰角的測量方法。根據(jù)圓形目標(biāo)的俯仰運(yùn)動旋轉(zhuǎn)軸是否通過其圓心，將俯仰運(yùn)動分為兩類。通過分析空間圓形目標(biāo)在不同姿態(tài)時的透視投影成像，使用幾何推理的方法，分別推導(dǎo)出了空間圓形目標(biāo)兩種俯仰運(yùn)動俯仰角的計算公式，并通過實驗進(jìn)行了驗證。結(jié)果表明，所提出的方法，能夠很好地實現(xiàn)空間圓形目標(biāo)俯仰角的測量。如何提高現(xiàn)場的測量和計算結(jié)果的精度，都將是進(jìn)一步的研究工作。

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