焦靈俠

（西安工業(yè)大學(xué) 北方信息工程學(xué)院，陜西 西安 710032）

倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的被控對(duì)象，用于檢驗(yàn)各種控制算法，其本身是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合、多變量、自然狀態(tài)下不穩(wěn)定的系統(tǒng)。在控制過(guò)程中能有效地反映控制過(guò)程中的許多關(guān)鍵問(wèn)題如非線性問(wèn)題、系統(tǒng)的魯棒性問(wèn)題、隨動(dòng)問(wèn)題、鎮(zhèn)定問(wèn)題及跟蹤問(wèn)題等。倒立擺在控制理論研究中是一種較為理想的實(shí)驗(yàn)裝置。倒立擺系統(tǒng)與機(jī)器人的站立和行走、通信衛(wèi)星的實(shí)時(shí)穩(wěn)定等有很大的相似性，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論和實(shí)際意義。

1 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

在忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。二級(jí)倒立擺[1]示意圖如圖1所示。

圖1 二級(jí)倒立擺示意圖Fig.1 Two-stage pendulum schematic diagram

系統(tǒng)的動(dòng)能：

倒立擺參數(shù)定義如下：

m1擺桿1的質(zhì)量 0.05 kg

m2擺桿2的質(zhì)量 0.13 kg

m3擺桿3的質(zhì)量 0.236 kg

M小車質(zhì)量 0.584 kg

g重力加速度 9.8 m/s2

l1擺桿1中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離 0.077 5 m

l2擺桿2中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離 0.25 m

F作用在系統(tǒng)上的外力 N

θ1擺桿1與豎直方向的夾角 rad

θ2擺桿1與豎直方向的夾角 rad

其中T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為系統(tǒng)的勢(shì)能，L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。i=1，2，3…，fi為系統(tǒng)在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上的外力。在二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有3個(gè)，分別為 x，θ1，θ2。

其中 TM，Tm1，Tm2，Tm3分別為小車的動(dòng)能， 擺桿 1的動(dòng)能，擺桿2的動(dòng)能和質(zhì)量塊的動(dòng)能。

擺桿1的動(dòng)能：Tm1=T′m1+T′m2

其中T′m1，T′m2分別為擺桿1的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。

擺桿2的動(dòng)能：Tm2=T′m1+T″m2

其中T′m2，T′m2分別為擺桿2的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。

系統(tǒng)的動(dòng)能為：

系統(tǒng)的勢(shì)能為：

由于系統(tǒng)在θ1，θ2廣義坐標(biāo)下沒(méi)有外力作用，所以由拉格朗日方程得：

將其在平衡位置附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，代入?yún)?shù)值：

則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

2 倒立擺系統(tǒng)模糊控制器的設(shè)計(jì)

采用的控制思想是將一個(gè)復(fù)雜的多輸入/單輸出的模糊控制器，分解成簡(jiǎn)單的多輸入/單輸出的模糊控制器[2]?？刂破鞯妮斎霝榭刂谱兞颗c給定值的偏差和偏差的變化，該方法能夠較嚴(yán)格的反映控制系統(tǒng)中輸出變量的動(dòng)態(tài)特性，且控制方法簡(jiǎn)單，控制時(shí)能及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，對(duì)分別控制小車和擺桿有很大作用。

2.1 模糊控制器的降維

若輸入變量采用常規(guī)的控制變量與給定值的偏差和偏差的變化，模糊控制器輸入就有6個(gè)，每個(gè)變量定義6個(gè)模糊子集，模糊控制規(guī)則最多有66個(gè)，不利于規(guī)則的完整制定，將引起“規(guī)則爆炸”問(wèn)題，所以需要對(duì)輸入變量進(jìn)行降維。

本章是用模糊控制和最優(yōu)控制相結(jié)合的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)模糊控制器的降維，使其變成二維模糊控制器[5]。把小車的位移、上擺的擺角、下擺的擺角綜合成一個(gè)變量E，將小車的速度、上擺的角速度、下擺的角速度綜合成另一個(gè)變量EC，E和EC作為模糊控制器的輸入，電機(jī)輸出的控制力u作為輸出，由此可以設(shè)計(jì)一個(gè)二維模糊控制器。

首先利用最優(yōu)控制中的線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器控制原理求得最佳狀態(tài)反饋控制向量的矩陣，即反饋矩陣K：

系統(tǒng)的狀態(tài)向量為：

對(duì)于二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，上擺桿即擺桿2的控制難度最大，分別選擇 θ2、θ˙2為控制主元，對(duì)應(yīng)的系數(shù)記為：kθ=kθ2，kθ˙=kθ˙2

融合函數(shù)的輸出向量記為：

融合函數(shù)的輸出方程為：

通過(guò)把多個(gè)輸入變量降維，得到了綜合誤差E和綜合誤差率EC：

通過(guò)信息融合的方法，將二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的6個(gè)輸入變量化為2個(gè)輸入變量，減少了模糊控制器的輸入，實(shí)現(xiàn)了控制器的降維。

根據(jù)二級(jí)倒立擺模型的參數(shù)，基于MATLAB強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算功能[3]，可以利用命令 K=lqr（A，B，Q，R），得到反饋矩陣K：

由此得到綜合誤差E和綜合誤差變化率EC。

2.2 模糊控制器的設(shè)計(jì)

1）確定輸入變量和輸出變量

E和EC作為輸入變量，u作為輸出變量

2）E、EC、u 隸屬度函數(shù)的設(shè)計(jì)

圖2 E和EC隸屬度函數(shù)曲線Fig.2 Membership function curves of E and EC

圖3 u的隸屬度函數(shù)曲線Fig.3 Membership function curves of u

3）模糊推理

采用Mamdani最小運(yùn)算規(guī)則。

4）模糊控制規(guī)則

根據(jù)輸入/輸出論域上的模糊語(yǔ)言變量劃分NB（負(fù)大），NM（負(fù)中），NS（負(fù)小），ZO（零），PS（正?。琍M（正中），PB（正大），設(shè)計(jì)模糊推理規(guī)則如表1所示。

表1 模糊控制規(guī)則Tab.1 Rules of fuzzy control

5）解模糊

重心法。

3 仿 真

二級(jí)倒立擺系統(tǒng)Simulink仿真模型如圖4所示。

圖4 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)simulink仿真模型Fig.4 Simulation model of two-stage pendulum

二級(jí)倒立擺系統(tǒng)仿真曲線如圖5所示。

圖5 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)仿真曲線Fig.5 Simulation curve of two-stage pendulum

4 結(jié) 論

通過(guò)設(shè)計(jì)融合函數(shù)實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺模糊控制器的降維，成功解決了模糊“規(guī)則爆炸”問(wèn)題。同時(shí)建立了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)仿真模型，仿真效果較好。

最優(yōu)控制與模糊控制相結(jié)合的方法可以實(shí)現(xiàn)二級(jí)倒立擺的模糊控制，控制效果良好，結(jié)果表明模糊控制能夠使倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定且具有一定的抗干擾性能。

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