胡寶安，劉俊峰，李亞玲

(軍事交通學(xué)院基礎(chǔ)部，天津 300161)

系數(shù)含時(shí)滯的階段結(jié)構(gòu)捕食模型的穩(wěn)定性

胡寶安，劉俊峰，李亞玲?

(軍事交通學(xué)院基礎(chǔ)部，天津 300161)

研究一類系數(shù)含時(shí)滯的階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)，分析了平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，給出了邊界平衡點(diǎn)(1,0)全局漸近穩(wěn)定的充要條件和系統(tǒng)一致持續(xù)生存的充分條件，證明了正平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定則全局漸近穩(wěn)定的結(jié)論.

階段結(jié)構(gòu)捕食模型；時(shí)滯；穩(wěn)定性

物種在生存過程中都要經(jīng)歷不同的生命階段，因此人們將時(shí)滯引入了變量中，建立了變量含時(shí)滯但變量系數(shù)不含時(shí)滯的階段結(jié)構(gòu)模型[1].考慮到物種在不同階段的存活率與這一階段經(jīng)歷的時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)這一事實(shí)，學(xué)者們建立了變量和變量系數(shù)都含有時(shí)滯的階段結(jié)構(gòu)模型[2-3].本文假設(shè)沒有捕食者種群時(shí)，食餌種群服從Logistic增長(zhǎng)規(guī)律，捕食種群分為成年和幼年兩個(gè)階段，幼年到成年的成熟期τ≥0，幼年成熟期內(nèi)的死亡率γ≥0，成年捕食者的轉(zhuǎn)化率依賴幼年成熟時(shí)間和死亡率，建立如下階段結(jié)構(gòu)捕食模型：

其中，x,y1,y分別表示食餌數(shù)量、捕食者幼年和成年數(shù)量，α,b,r,K,d,p為正常數(shù).

系統(tǒng)（1）的第二個(gè)方程由其它兩個(gè)方程決定，為了討論方便，通過無量綱化，考慮系統(tǒng)：

其中，g=bpK/r，β=d/r，ω=αK.容易證明系統(tǒng)（2）滿足初始條件的解存在且恒為正.由比較定理可知系統(tǒng)（2）任意正解滿足：

1 平衡點(diǎn)分析及其局部穩(wěn)定性

2 平衡點(diǎn)(1,0)的全局穩(wěn)定性

這一部分將證明ge?γτ≤β(1 +ω)是平衡點(diǎn)(1,0)全局漸近穩(wěn)定的充要條件，其生物意義是顯而易見的，即在食餌數(shù)量達(dá)到最大時(shí)，成年捕食者的轉(zhuǎn)化率不超過其死亡率，捕食者種群將最終絕滅.為了證明這一結(jié)論，引入下面的引理.

引理1[5]考慮方程x′(t) =ax(t?τ) ?bx(t)，其中a,b,τ>0，當(dāng) ?τ≤t≤0時(shí)，x(t)>0，對(duì)該方程的任意正解有：

1）如果a

2）如果a>b，則 limt→∞x(t)=+∞.

定理3 系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)(1,0)全局漸近穩(wěn)定的充分必要條件是ge?γτ≤β(1 +ω).

證明：由前面局部穩(wěn)定性分析可知必要性成立，只需證明充分性.

由系統(tǒng)（2）解的恒正性可知x′(t)0，當(dāng)t>T時(shí)x(t)<1.若不然則存在t0>T滿足：

定理證畢.

3 系統(tǒng)的一致持續(xù)生存與正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

引理3 假設(shè)T(t)滿足（16）式，且滿足：

1）存在t0> 0，當(dāng)t>t0時(shí)，T(t)是緊的，

2）T(t)在X中耗散，

3）T(t)是一致持續(xù)生存的，

則T(t)在X0中存在一個(gè)全局吸引子.

定理4 若ge?γτ>β(1 +ω)，則系統(tǒng)（2）是一致持續(xù)生存的.

定理2結(jié)合引理3，有下面結(jié)論.

定理5 若ge?γτ>β(1 +ω)，則系統(tǒng)（2）正平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定的充分條件是E*是局部漸近穩(wěn)定.

推論2 若ge?γτ>β(1 +ω)，x0是（15）在(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)，則系統(tǒng)（2）正平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的充分條件是x0≤x* ≤1.

4 小 結(jié)

下面就系統(tǒng)（2）中幼年成熟期的死亡率γ≠0（系統(tǒng)參數(shù)含時(shí)滯τ）和γ=0（系統(tǒng)參數(shù)不含時(shí)滯τ）相應(yīng)的結(jié)果進(jìn)行分析比較，從中可以看出這種含時(shí)滯參數(shù)的階段結(jié)構(gòu)模型更具有實(shí)際意義.

從正平衡點(diǎn)存在的條件ge?γτ>β(1 +ω)和(x*,y*)的表達(dá)式可以看到，當(dāng)γ≠0時(shí)，正平衡點(diǎn)的存在性和值都依賴于τ.隨著τ的增加，x*增加，y*減小.當(dāng)τ增加到使ge?γτ=β(1 +ω)成立的τ值時(shí)，(x*,y*)就變?yōu)?1,0).根據(jù)定理 3，當(dāng)τ大于等于這一值（ge?γτ≤β(1 +ω)）時(shí)，正平衡點(diǎn)將不存在且平衡點(diǎn)(1,0)全局漸近穩(wěn)定.而當(dāng)γ=0時(shí)，正平衡點(diǎn)的存在性和值都和τ無關(guān).

根據(jù)定理 5結(jié)合文獻(xiàn)[3]的結(jié)論，對(duì)于系統(tǒng)（2），當(dāng)γ≠0時(shí)，正平衡點(diǎn)在τ的有限值范圍內(nèi)，或者始終漸近穩(wěn)定，或者經(jīng)過有限次開關(guān)現(xiàn)象最終穩(wěn)定.但當(dāng)τ大于這一值時(shí)，正平衡點(diǎn)都將消失，捕食者種群將絕滅.當(dāng)γ=0時(shí)，隨著成熟時(shí)間τ的增加，正平衡點(diǎn)或者始終漸近穩(wěn)定，或者由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定（振動(dòng)）并始終保持不穩(wěn)定且出現(xiàn)一些復(fù)雜的振動(dòng)現(xiàn)象.

這些結(jié)果一方面反映了系統(tǒng)（2）的解對(duì)幼年成熟期τ的敏感性，另一方面也說明了含時(shí)滯參數(shù)系統(tǒng)能夠較好地反映現(xiàn)實(shí)事實(shí).因?yàn)槿绻啄瓿墒炱讦舆^大，幼年個(gè)體的存活率降低，就會(huì)影響到單個(gè)成年個(gè)體的轉(zhuǎn)化率ge?γτ( 1+ω)?1x.當(dāng)τ增加到使成年個(gè)體的最大可能轉(zhuǎn)化率ge?γτ(1+ω)?1比成年個(gè)體的死亡率β小(ge?γτ(1+ω)?1≤β)時(shí)，捕食者個(gè)體必然絕滅.但是對(duì)于γ=0，不管τ有多大，成年個(gè)體或者穩(wěn)定在一定的水平，或者出現(xiàn)復(fù)雜的振蕩現(xiàn)象，這與實(shí)際有些差別.

[1]Wang W D, Chen L S. A Predator-prey System with Stage-structure for Predator [J]. Computers Math Applic, 1997, 8: 83-91.

[2]Aiello W G, Freedman H I. A time-delay model of single species growth with stage structure [J]. Math Biosci, 1990, 101: 139-153.

[3]Gourley S A, Kuang Y. A stage structured predator-prey model and its dependence on maturation delay and death rate [J]. J Math Biol, 2004, 49: 188-200.

[4]Beretta E, Kuang Y. Geometric stability switch criteria in delay differential systems with delay dependent parameters [J]. Siam J Math Anal, 2002, 33: 1144-1165.

[5]Xiao Y N, Chen L S. Modeling and analysis of a predator-prey model with disease in the prey [J]. Math Biosci, 2001, 171: 59-82.

[6]Kuang Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics [M]. Boston: Academic Press, 1993.

Stability of Stage Structured Predator–prey Model with Delay Dependent Parameters

HU Bao’an, LIU Junfeng, LI Yaling
(General Courses Department, Military Transportation University, Tianjin, China 300161)

A class of stage structured predator-prey model with delay dependent parameters was studied. After local stability of equilibriums point being analyzed, accompanied by sufficient condition for system’s uniform persistence, necessary and sufficient conditions for the global asymptotical stability of the boundary equilibrium (1, 0) were given. Results showed that the locally asymptotically stable in positive equilibrium point decides the global asymptotical stability.

Stage Structured Predator-prey Model; Delay; Stability

(編輯：王一芳)

O175.14

A

1674-3563(2012)02-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.02.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2011-09-14

胡寶安(1973- )，男，河南內(nèi)鄉(xiāng)人，副教授，碩士，研究方向：常微分方程.? 通訊作者，952155382@ qq.com